книги / Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем

где

к (Z) = Z\ga[n]\ = S gn\n]2-л

п=0

— дискретная передаточная функция разомкнутой импульсной системы;

Рис. 9.2. Графики некоторых типовых импульсов

Таким образом, дискретную передаточную функцию К (г) можно определить как отношение z-преобразования выходной величины к г-преобразованию входной величины

ной части системы и ее можно считать известной, если задана структурная схема этой части системы; /<"ф (р) — передаточная, функция элемента, который реально отсутствует. Она, как отме­ чалось ранее, определяется формой, амплитудой и длительностью импульса. Для определенности в дальнейшем будем считать, что если на вход этого фиктивного формирующего элемента подается единичный 6-импульс, то на его выходе формируется импульс

Найдем передаточные функции таких элементов, формирующих импульсы, вид которых используется наиболее часто при аппро­ ксимации реальных импульсов, имеющих место в ОЭС.

151

ность импульса. Функция веса формирующего элемента определится выражением

Применив к этой функции преобразование Лапласа, найдем

ут

1<Ф(р) — j е~р/ dt = (1 — е-УРт)/р.

о

Следовательно, дискретная передаточная функция разомкну­

Второе слагаемое необходимо рассчитывать с учетом смещения е = 1 — у.

Если длительность импульса очень мала по сравнению с перио­ дом дискретности т <£ Т (у < 1), то для приближенных расчетов

Второе равенство обусловлено свойством линейности 2-пре- образования. В ОЭС с использованием ЦВМ уровень сигнала обычно запоминается на весь период замыкания ключа (т = Т, у = 1). В этом случае передаточная функция формирующего эле­ мента имеет вид

#ф(Р) = (1 —е-*>т)/р.

Поскольку е~рТ = 2-1, то окончательно получим

Благодаря линейности 2-преобразования, дискретная переда­ точная функция разомкнутой импульсной системы определится выражением

К (г) = г {— ( РТ Коо)) - ± = L z (-SijgL)• (9.13)

Треугольный импульс. Пусть импульс представляет собой рав­ нобедренный треугольник (рис. 9.2, б) с длительностью т = уТ и высотой, равной единице. Начало оси времени совмещено с середи-

152

ной импульса. Тогда функция веса формирующего элемента опре­ делится выражением

f 1 -f- 2t/(yT) при —уТ12 с / < 0;

Применив к этой функции преобразование Лапласа, найдем ЯфМ = - ^ Г (ew™ — е-№Т/*)2= * г (1еурт/2 + е-урт/2_2). (9.15)

Если совместить начало оси времени с левой границей импульса (это соответствует тому, что на выходе формирующего элемента импульс появляется лишь после прихода единичного 6-импульса на его вход), то получим

Если у 1, то, разложив показательные функции в ряд Тейлора и ограничившись членами второго порядка малости, передаточную функцию формирующего элемента получим в следующем виде: Кф (р) *** уТ/2. Это соответствует площади единичного треуголь­ ного импульса.

Трапециевидный импульс. Пусть импульс на выходе форми­ рующего элемента имеет форму равнобедренной трапеции (рис. 9.2, в) длительностью т = уТ и длительностями переднего и ваднего фронтов тф = цТ. Начало отсчета оси времени совмещено с серединой импульса. Функция веса при этих условиях имеет вид

Кф (р) = (v — ц) т.

153

Косинусный импульс. На выходе формирующего элемента форма импульса описывается функцией косинуса (рис. 9.2, а) и функция веса имеет вид

f cosШ!уТ) при \tI < v772;

(9.20)

Как следует из этой формулы, у основания импульс имеет дли­ тельность т = уТ и начало отсчета времени совмещено G серединой импульса.

Применив к функции веса (9.20) преобразование Лапласа, «аидем

Если сдвинуть начало отсчета времени к левой границе им­ пульса, то получим

При малой относительной длительности выходного импульса, •когда выполняется условие у <С 1» после разложения показатель­ ной функции в ряд Тейлора и отбрасывания членов, содержащих множитель (уТ)2, получим Кф(р) «=* 2уТЫ.

Косинус-квадратный импульс. В этом случае форма импульса на выходе формирующего элемента (рис. 9.2, д) при совмещении начала отсчета времени с серединой импульса описывается функ­ цией

Применив к этой функции преобразование Лапласа, получим

ненциальную функцию в ряд Тейлора и исключив члены, содер­ жащие множитель (уТ)2, получим приближенную передаточную

Уголковый отражатель освещается импульсами излучения лазера. Частота -следования прямоугольных импульсов /л = 20 Гц при длительности тп = 0,005 с. Мощность излучения лазера в импульсе Фл = 50 Вт, В любом поперечном те-

154

чёнии пучок излучения представляет собой окружность. Расходимость излу­

Рис. 9.3. Структурная схема системы слежения за уголковым отражателем при непрерывном сигнале

200 В*Вт-**мм“ *. В качестве исполнительного устройства используется электро­ двигатель с редуктором. Двигатель имеет номинальную частоту вращения лн =

инерционность якоря двигателя, а также вращаемых элементов редуктора и конструкции системы. Требуемая максимальная угловая скорость сложения 2 град/с. Усилитель является безынерционным звеном с коэффициентом усиления

неподвижной системе координат, начало которой совмещено с центром карданова подвеса следящей системы. Ошибкой, которая подлежит устранению, яв­ ляется величина -O' (I) = 0* (/) — 0 2 (0» представляющая собой угол рассогла­ сования между направлением на уголковый отражатель и оптической осью при­ емной системы; положение этой системы определяется углом 0 а(t) в той же непод­ вижной системе координат. Обратная связь, таким образом, осуществляется непосредственно через оптическую систему без каких-либо дополнительных уст­ ройств.

Импульсный характер ввода информации об угле рассогласования обуслов­ лен временной структурой лазерного излучения,

С учетом сделанных замечаний структурная схема системы в замкнутом состоянии при непрерывном сигнале может быть представлена в виде, изобра­ женном на рис. 9.3. Внутри прямоугольников вписаны передаточные функции соответствующих элементов, а между ними — входные и выходные сигналы и их размерности.

Найдем численные значения коэффициентов передачи всех элементов по исходным данным.

1.Оптическая приемная система и фотоприемник. Поскольку координатн

бражение уголкового отражателя в фокальной плоскости отклонено от оптичес­ кой оси системы на 1 мм. Следовательно, за выходную величину оптической си­ стемы должно быть принято произведение падающего на фотопрнемннк потока

155-

излучения Ффп на смещение изображения /см. Так как размерность угла рассогла­

156

турной схемой дискретная передаточная функция разомкнутой системы опреде­ лится формулой

*■» = 2 { К ф ( р > <p» = z lr T "р U + т » } - ^ ( H T T W ) •

Для приведения к табличному виду разложим функцию в фигурных скоб­ ках на простые дроби

К (г) = yTKZ {1Ip- 7У(1 + Г#)).

Обращаясь к табл. 8 . 1 , найдем К (2 ) = уТК (1 — 4) г/(г— 1) ( г - 4 ) ,

где d = e"r/T l = е“ 0,25 — 0,78.

Подставив численные значения входящих в формулу величин, получим

К{& - (2 _ 1) (z — 0,78)

0,112

2а — 1,782 + 0,78 •

Для нахождения дискретной пере­ даточной функции К (щ) сделаем подста­ новку г = (1 + ш) /( 1 — о>). В резуль­ тате найдем

К (А) = уК (1 + №Т*14)ЩХ (1 + ЦТ2)],

где

Т2= Т (I + d)j2 (1 — d) = 0,203 с.

Подстановка числовых значений всех входящих в формулу величин дает К (А ) = 10 [1 + (0.025)2 А,2.]/[А (1 + /0.203Ц].

Отсюда можно найти логарифмическую амплитудную и фазовую частотные характеристики:

6 Л 1 + (0,203)“ Л2 Ч' (К) = argК (/Я) = —я/ 2 — arctg 0.203Л.

Вид этих характеристик приведен на рис. 9.5.

§ 9.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТЫХ ОЭС С ЦВМ

Как было показано на рис. 1.25, функциональная схема одно­ канальной ОЭС с ЦВМ включает непрерывную часть ОЭС и встроен­ ный цифровой вычислитель. При этом современную ЦВМ можно разбить на три части: входное устройство, процессор и выходное устройство.

В замкнутых ОЭС входное устройство выполняет три функции! преобразует непрерывные величины s (t) и у (t) в цифровой (обычно двоичный) код s (/), у (/) (квантует сигналы по уровню), формирует

157

разность х = s — у и вводит эту разность в процессор в дискрет­ ные моменты времени с интервалом 7\ (квантует сигнал по вре­ мени). Таким образом, в структурной схеме ЦВМ входное устрой­ ство может быть представлено двумя элементами: преобразовате­ лем непрерывной величины в код (Н—К) и ключом. Обычно раз­ рядность кода бывает достаточно высокой и преобразователь Н— К в структурной схеме приближенно можно считать линейным безы­ нерционным звеном с крутизной статической характеристики /ен_к = l/^i, где бА— шаг квантования по уровню.

Процессор обрабатывает вводимую в него информацию по зало­ женной программе. Чаще всего эта программа реализует решение разностных уравнений, связывающих входную х и выходную хг величины. В таком случае в структурной схеме процессор может быть представлен звеном с дискретной передаточной функцией

где Хх (z) и X (z) — 2-преобразования от выходной хх [п ] и вход­ ной х [п] решетчатых функций.

При этом по условиям устойчивости всегда должно выпол­ няться условие т < п. Если положить, что имеет место предель­ ный случай т = п = k и поделить числитель и знаменатель на г*, то получим вторую запись дискретной передаточной функции процессора в виде

= Ь0х \п1+ bxx [п — 1] + ... + bhx [п — k\. (9.28)

Выходное устройство ЦВМ, стоящее после процессора, осу­ ществляет преобразование сигнала, представленного в виде кода хх, реализуемого комбинацией последовательных или параллель­ ных импульсов, в напряжение и подает это напряжение в непре­ рывную часть ОЭС в дискретные моменты времени с интервалом То, в общем случае отличающемся от интервала 7\. Поскольку на непрерывную часть системы сигнал должен подаваться и внутри интервала Тг, то выходное устройство еще осуществляет по тому или иному закону экстраполяцию сигнала на время размыкания ключа Тг. Процесс экстраполяции сигнала может быть учтен по­ средством включения в структурную схему ЦВМ элемента с пере­ даточной функцией Къ (р), определяемой точно так же, как и пере­ даточная функция формирующего элемента /Сф (р) в импульсной системе.

Наибольшее распространение получили экстраполяторы нуле­ вого и первого порядка. В экстраполяторе нулевого порядка значе­

158

ние величины хъ выданное преобразователем К—Н в некоторый момент времени, запоминается на интервал Т2 до следующего за­ мыкания ключа (рис. 9.6). Как следует из формулы (9.12), такой экстраполятор имеет передаточную функцию

В экстраполяторах первого порядка сигнал внутри интервала Т2 меняется по линейному закону с крутизной, соответствующей обратной разности решетчатой функции хг [/г] в момент замыкания ключа. Геометрический смысл этой экстраполяции можно уяснить

из рис. 9.7. Закон изменения сигнала на выходе экстраполятора от момента пТ2до момента (п 4- 1) 7V согласно работе [2], имеет вид

Можно показать, что в этом случае передаточная функция экстраполятора имеет вид

Таким образом, в структурной схеме ЦВМ выходное устройство необходимо представлять ключом Т2> преобразователем кода в не­ прерывную величину (К—Н) и экстраполятором с передаточной функцией Кэ (р). Если преобразователь К—Н имеет большую выходную разрядность, то можно считать, что он является линей­ ным безынерционным звеном с коэффициентом &к-н = 62, где 62 — шаг квантования сигнала на выходе преобразователя К—Н.

Теперь для того, чтобы составить структурную схему системы с ЦВМ', необходимо еще учесть время т3, затрачиваемое опера­ циями в ЦВМ от момента ввода в нее информации, т. е. от момента замыкания ключа 7\ до момента подачи выходного сигнала на непрерывную часть системы. Обычно можно считать, что это время является чистым запаздыванием. Тогда для учета его перед непре­ рывной частью системы необходимо включить звено запаздывания с передаточной функцией

159

С учетом всего сказанного для случая линеаризованных харак­ теристик преобразователей Н—К и К—Н структурная схема замкнутой ОЭС с ЦВМ по управляющему сигналу может быть представлена в виде, изображенном на рис. 9.8.

Учитывая линейность г-преобразования, линеаризованные статические характеристики преобразователей Н— К и К—Н и 8вено запаздывания могут быть отнесены к непрерывной части

Рис. 9.8. Полная структурная схема линеаризованной замкнутой системы с ЦВМ

системы и тогда структурная схема может быть представлена так, как это изображено на рис. 9.9. Для такой схемы дискретная пере­ даточная функция в разомкнутом состоянии определится выра­ жением

где К (г) — дискретная передаточная функция непрерывной части системы совместно с преобразователями К—Н, Н—К, экстраполятором и звеном запаздывания.

Рис. 9.9. Преобразованная структурная схема линеаризованной замкнутой системы с ЦВМ

Найдем, например, дискретную передаточную функцию К (г) для системы с передаточной функцией непрерывной части, опре­ деляемой выражением

Ко.(Р) = К0/р (1 + Т0р).

Коэффициент передачи Ко = 1 рад-В-1^"1, постоянная вре­ мени Т0 = 1 с. На выходе ЦВМ установлен экстраполятор нуле­ вого порядка с передаточной функцией К6 (р) = (z — 1)Цгр). Периоды замыкания ключей на входе и выходе ЦВМ 7\ = Тг =

— Т = 0,25 с. На входе в ЦВМ установлен преобразователь угла поворота в код в шагом квантования б2 = 0,001 рад = 3'. Пре­ образователь кода в напряжение, установленный на выходе ЦВМ, имеет шаг квантования по уровню б2 = 0,1 В. Время запаздывания

*3 == 0.

В соответствии с исходными данными дискретная передаточная

160