книги / Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем

Из соотношения (3.9) видно, что оптимальный алгоритм обна­ ружения в данном случае сводится к определению корреляцион­ ного интеграла в левой части неравенства и сравнению его с поро­ говым уровнем

*:iv= - ! - ln C + - r J s!!w <tf-

т

Таким образом, для любого байесовского критерия качества оптимальным оператором обнаружения импульсного детермини­ рованного сигнала на фоне белого шума является линейный опера­ тор. Схема оптимального устройства обнаружения для рассмат­ риваемого случая приведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Схема оптимального обнаружители детермированных сигналов на фоне белого шума

Ошибки обнаружения можно выразить через условные вероят­ ности ложной тревоги Р„,ти пропуска сигнала Рпр в следующем виде:

— плотности вероятностей процесса на входе решающего устрой­ ства при отсутствии и наличии полезного сигнала соответственно;

— область Af-мерного пространства выборок, удовлетворя­ ющих принятию гипотезы Нх; Q0 — область Af-мерного простран­ ства выборок, удовлетворяющих принятию гипотезы Н0.

Вычисление кратных интегралов в формулах (3.10) и (3.11) сводится к однократному интегрированию [22], в результате которого получим следующие зависимости:

оо

• Н '+ * № Ч ].

(3.13)

51

где Ф (z) = —1== Jехр ( — — интеграл вероятностей; aj —

о

дисперсия процесса на выходе оптимального фильтра.

§3.3. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ НЕАДДИТИВНОСТИ СИГНАЛА

ИГАУССОВА ШУМА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ

Наряду со стационарными шумами, вызванными темновым током фотоприемника, фоновой засветкой и тепловыми флукту­ ациями в резисторе нагрузки, в приемной системе появляются нестационарные дробовые шумы, обусловленные самим полезным сигналом. Указанное явление особенно проявляется при исполь­ зовании в качестве фотоприемника фотоэлектронного умножителя (ФЭУ). Элементарные расчеты показывают [19], что при приеме пороговых оптических импульсов среднеквадратичное значение шумов, коррелированных с полезным сигналом, для некоторых типов ФЭУ может существенно превышать величину темновых и даже фоновых шумов. Учет этих шумов может внести существен­ ные изменения в структуру оптимального обнаружителя импульс­ ных сигналов.

Определим оптимальную систему обнаружения импульсных оптических сигналов при указанных условиях аддитивности сиг­ нала и шума. При этом будем исходить из предположения, что шум на входе приемно-усилительного тракта гауссов и белый, т. е. представляет собой нормальный случайный процесс с нулевым средним значением и функцией корреляции

Функционал правдоподобия при отсутствии сигнала в этом

Функционал правдоподобия при наличии сигнала '•опреде­ ляется соотношением

где уо — коэффициент, учитывающий нестационарность процесса, связанного с увеличением дисперсии шума из-за наличия сигнала, т. е. то обстоятельство, что привносимый сигналом шум в общем

52

случае не достигает установившегося уровня, соответствующего величине сигнала.

С учетом формул (3.14) и (3.15) логарифм отношения правдо­ подобия будет равен

ройства.

Из выражения (3.17) видно, что оптимальный оператор обна­ ружения в общем случае при неаддитивности сигнала и шума является сложным нелинейным оператором при любом байесов­ ском критерии качества.

В качестве примера рассмотрим обнаружение прямоугольного оптического импульса. Учитывая, что при прямоугольной форме

Рис. 3.2. Функциональная схема оптимального обнаружителя прямо* угольных оптических импульсов в условиях неаддитивности сигнала и шума

сигнала s (t) = s (при 0 < t < Т) и Vo = 1. из соотношения (3.17) получим следующую запись правила принятия решения:

Кк = О (/ + s) In C/s 4- (I + s) IT.

На рис. 3.2 приведена функциональная схема оптимального обнаружителя прямоугольных оптических импульсов в условиях неаддитивности сигнала и шума.

53

Необходимые для оценки качества приема прямоугольного импульса условные вероятности обнаружения можно оперативно рассчитать, используя одномерные функции распределения слу­ чайного процесса на входе решающего устройства (хотя приводи­ мое ниже определение вероятностей ошибок является далеко ие строгим).

Для нахождения плотности вероятностей случайного процесса г| (/), связанного с исходным случайным процессом £ (/) функ­ циональным преобразованием, воспользуемся, согласно работе [25], известным соотношением

Wi (У) = Е W (xh) |dxh/dy |,

к

где W (х) — плотность вероятности исходного процесса 6(f). При квадратичном преобразовании случайного процесса т| (/) = = l2(t) каждому значению г), которое всегда положительно,

соответствуют два значения случайной величины

т. е. функция распределения квадрата случайной величины имеет вид

Для нормального входного случайного процесса, используя соотношения (3.19) и (3.18), получим условные плотности вероят­ ности при отсутствии и наличии полезного сигнала после опти­ мальной нелинейной обработки смеси сигнала с шумом в следу­ ющем виде:

Последние зависимости позволяют определить условные веро­ ятности ложной тревоги и пропуска сигнала:

5 i

§ 3.4. ОБНАРУЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ С УЧЕТОМ ДИСКРЕТНОЙ СТРУКТУРЫ ШУМА И СИГНАЛА

По мере снижения уровня шума и уменьшения длительности рабочего сигнала (соответственно и уменьшения времени раз­ решения приемной системы) постепенно все более начинает про­ являться дискретная природа шумовых флуктуаций. При этом, начиная с некоторого момента, нормальный закон уже не может использоваться для описания шумов. Одновременно с проявле­ нием дискретного характера шумов становится существенной дискретная (квантовая) структура рабочих лучистых сигналов, поскольку малым уровням шумов соответствуют малые пороговые энергии рабочих импульсов. Такая ситуация возникает, напри­ мер, в импульсных ОЭС с ФЭУ.

Алгоритм оптимальной обработки квантованного сигнала (в об­ щем случае) зависит от конкретных статистических характеристик сигнала и шума. Основной характеристикой, описывающей ре­ зультат взаимодействия оптического поля с фотоприемником ФЭУ, является распределение вероятностей Р (п, т) появления фиксированного числа п фотоэлектронов за время наблюдения т. Виды функций Р (п, т) при различных возможных статистических характеристиках излучения сигнала и фона рассмотрены, напри­ мер, в работе [601.

В импульсных ОЭС важное место занимает случай [60], когда распределение числа фотонов сигнального и фонового излучения может быть аппроксимировано законом Пуассона, который яв­ ляется предельным для целого ряда других возможных распре­ делений. При этом функция распределения суммарного числа фотонов, соответствующего одновременному воздействию сиг­ нала й фона, также будет подчиняться закону Пуассона и этим же законом при малой квантовой эффективности фотокатода могут быть охарактеризованы функции распределения числа фото­ электронов [53, 71. Кроме того, статистикой Пуассона обычно моделируется распределение числа эмитгируемых катодом термо­ электронов, обусловливающих темновой ток. Пренебрегая вли­ янием флуктуаций коэффициентов вторичной эмиссии в динодной системе ФЭУ и разбросом времени пролета электронов, с доста­ точным для наших целей приближением будем считать, что распре­ деление числа электронов на выходе ФЭУ также подчиняется закону Пуассона.

При принятых предпосылках законы распределения числа

где ks, km — среднее число электронов сигнала и помехи на ин­ тервале наблюдения т.

55

При этом в общем случае т <£ ти, где ти — длительность сиг­ нального импульса; совокупность значений k8i и kmi на последо­ вательных интервалах т* = т (за время ти) образует выборку с объемом N = ти/т.

Обычно за время длительности сигнала интенсивность потока электронов помехи практически не изменяется, т. е. kmi — km =* = const.

Поскольку при пуассоновом распределении факты появления фотоэлектронов в различные моменты времени статистически не­

Так как величина Jj&si пропорциональна энергии лучистого i=l

сигнала, т. е. для данного сигнала постоянна, то из выражения (3.27) следует, что оптимальная система обнаружения должна обеспечивать счет числа щ электронов (одноэлектронных им­ пульсов) на каждом из выборочных интервалов т с перемноже­ нием результатов подсчета на In (k8ilk m + 1 ) , последующими суммированием и сравнением с некоторым пороговым уровнем.

Рис. 3.3. Структурная схема оптимального обнаружителя квантованного сигнала на фоне дискретных шумов

Иными словами, должно последовательно осуществляться взве­ шенное суммирование числа электронов на выборочных интерва­ лах, причем весовые коэффициенты определяются дискретной функцией In (k8i/km+ 1), играющей роль опорного сигнала.

Вид этой функции при заданном (определенном эксперимен­ тально для данной фоновой ситуации) значении km. однозначно связан с параметрами лучистого сигнала.

Структурная схема оптимального обнаружителя показана на рис. 3.3.

Практически в ряде ситуаций можно ограничиться объемом выборки в один элемент, т. е. принять т = ти и k8i = k8 — const. Тогда опорный сигнал имеет прямоугольную форму, а счетчик

56

должен подсчитывать число электронов за время, равное дли­ тельности оптимального импульса т„. При этом для вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала могут быть записаны выра­ жения :

где п0 — порог срабатывания системы, выраженный числом фото­ электронов; Г (я, х) — неполная гамма-функция.

Среднее число электронов сигнала ks и помехи kmопределяется в данном случае за время т„.

Условия, при которых допустимо использование нормального закона (вместо распределения Пуассона), зависят от норм ошибок обнаружения (главным образом, от допустимой вероятности лож­ ной тревоги). Например, если вероятность ложной тревоги за время т имеет величину Рл,т = 10-7, то можно принять допусти­ мым использование нормального распределения при £ш^ 3,. согласно работе 13]. С повышением требований к нормам ошибок (т. е. с уменьшением допустимых значений Рл. т и Рпр) граничные значения km увеличиваются. Можно также использовать в каче­ стве критерия значение порога срабатывания п0, считая, чтопри п0 10 расчет пороговых соотношений допустим на основе гауссовой статистики.

§ З.б. ОБНАРУЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПРИ ОПТИЧЕСКОМ ГЕТЕРОДИНИРОВАНИИ

В импульсных ОЭС наряду с широко распространенным мето­ дом прямого детектирования при приеме оптических сигналов может использоваться оптическое гетеродинирование (гетеродин­ ный и гомодинный методы приема).

Анализ систем обнаружения при оптическом гетеродинирова­ нии будем проводить исходя из предположения, что в приемной системе соблюдаются специфические требования к совмещению фронтов оптических волн [37, 56], излучение является строгомонохроматичным, а распределение шумов может быть охаракте­ ризовано непрерывным законом. Рассмотрим оптимальные методы обнаружения импульсных оптических сигналов при гетеродинном и гомодинном методах приема.

Гетеродинный прием. Определим оптимальный алгоритм обра­ ботки для обнаружения сигнала по реализации огибающей наблю­ даемого процесса. Для простоты последующих вычислений форму

57

оптического импульса будем считать прямоугольной. Задача сводится к проверке простой гипотезы Я0, что наблюдаемая реализация (огибающая) является релеевским процессом против альтернативы Нъ что он а — обобщенный релеевский процесс. Функции правдоподобия выборки для указанных гипотез можно представить в следующем виде:

Уф — постоянная составляющая тока фотосмесителя, обусловлен­ ная фоновой засветкой; Фг — гетеродинный (опорный) поток излучения, падающий на фотосмеситель; Фс — принимаемый ра­

N

Приопределении правила принятия решения на основании выражения (3.32) воспользуемся, согласно работе [431, изве­ стными асимптотическими представлениями функции Бесселя:

£8

Из соотношений (3.38) и (3.39) видно, что при относительно больших значениях эквивалентного полезного сигнала s опти­ мальный оператор также является нелинейным в отличие от пря­ мого детектирования при обнаружении узкополосных сигналов.

Схемы оптимальных обнаружителей импульсных оптических сигналов при гетеродинном приеме приведены н.а рис. 3.4, а, б.

а)

ё)

Рис. 3.4. Схема оптимальных обнаружителей при гетеродинном приеме сигналов: а — при слабых сигналах; б — при сильных сигналах

При гетеродинном приеме одномерная функция распределения случайного процесса на выходе оптимального фильтра при отсут­ ствии сигнала принимает вид

Функция распределения при относительно больших величинах эквивалентного полезного сигнала определяется соотношением

Таким образом, оперативную оценку норм ошибок обнаруже­ ния с учетом выражений (3.40) и (3.41) можно провести по следу­ ющим формулам;

Гомодинный прием. При гомодинном приеме длины волн местного гетеродина и принимаемого излучения одинаковы в случае отсутствия допплеровского смещения частоты рабочего сигнала. В приемной системе не используется промежуточная частота для

60