книги / Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем

Во втором способе оценки качества по точности работы рас­ сматривается установившаяся ошибка при гармоническом входном воздействии

где sm— амплитуда входного непрерывного управляющего си­ гнала.

Если это воздействие представить решетчатой функцией

то верхнее граничное значение амплитуды ошибки в установив­ шемся режиме определится формулой

где |ФЯ (е/(°ог , е)| — модуль дискретной частотной передаточной функции на частоте входного сигнала ю0.

Для замкнутых импульсных систем

случае предварительная оценка точности работы системы может быть произведена по величине ошибки в установившемся эквива­ лентном гармоническом режиме.

Известно, что при гармоническом сигнале справедливы соот­ ношения :

s (t) — smsin со/;

s (t) = ds (t)/dt -f- smсо cos со/ = smcos to/;

s (t\= d2s (t)ldt2 = —snlсо2 sin со/ = —smsin cat.

Следовательно, если заданы максимальные значения smax, smax, то частота и амплитуда эквивалентного гармонического режима определяются выражениями:

Подставив эти параметры в формулу (10.17), найдем

Это и есть амплитуда ошибки в установившемся эквивалентном гармоническом режиме, при котором скорость и ускорение измене­ ния входного сигнала равны заданным максимальным значениям.

171

Глава 11

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ИМПУЛЬСНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

§11.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Если значение некоторой физической величины f (/) меняется непрерывно по случайному закону, то говорят, что она представ­ ляет собой случайный процесс. Такие процессы могут быть ста­ ционарными и нестационарными. В дальнейшем будут рассматри­ ваться только стационарные процессы, т. е. такие процессы, сред­ нестатистические характеристики и параметры которых не зависят от начала отсчета и не изменяются вдоль оси времени. Для непре­ рывных стационарных случайных процессов основными характе­ ристиками являются перечисленные ниже.

Одномерная плотность вероятности W (/), характеризующая вероятность распределения значений функции / (0 в любой точке на оси L

Двумерная плотность вероятности W (Д, /2, t2— А) — № (Д, /2> т), определяющая среднестатистическую связь между значе­ ниями fi — f (А) и /2 = / (У» разделенными на оси времени интер- 'валом т = /2 — h-

Корреляционная функция

/ 2) — В (т) — | h (0h it + Т)w Ifг (0, h (t + Т), т] dh dh,

ОО

(11.1)

описывающая изменение математического ожидания произведения двух значений случайной функции в зависимости от величины интервала U— tx = т.

Благодаря эргодичности стационарного случайного процесса, корреляционная функция может быть найдена также осреднением одной достаточно протяженной его реализации

Спектральная плотность мощности случайного процесса пред­ ставляет собой преобразование Фурье от корреляционной функции

+ 0 0

172

Наиболее часто используемыми параметрами непрерывного случайного стационарного процесса являются математическое ожидание и дисперсия, которые определяются следующими выра­ жениями:

в дискретные моменты времени с интервалом Т, то в результате будет получена случайная решетчатая функция f IпТ] = / [я]. При стационарном характере образующей случайной функции f (t) случайная решетчатая функция f In] также будет стационар­ ной и для оценки ее свойств могут быть использованы те же харак­ теристики и параметры, что и для непрерывных процессов:

одномерная плотность вероятности W (/);

двумерная плотность вероятности W (/х In], /2 In], пг] =

=W (/ь /2, т ); корреляционная функция

m

в виде двустороннего 2-преобразования корреляционной функ­ ции

При этом средний квадрат решетчатой функции, рассматривае­ мой в дискретные моменты времени, определяется интегралом

Наконец, спектральную плотность мощности стационарного случайного решетчатого процесса можно представить функцией от абсолютной псевдочастоты.

Для получения такой зависимости сначала необходимо получить

Обратный переход от спектральной плотности к корреляцион­ ной функции может быть осуществлен согласно выражению

+00

При m — 0 из этой формулы можно получить выражение для расчета среднего квадрата случайного решетчатого процесса

174

17S

Общее выражение для вычисления интегралов (11.19) по вели­ чине коэффициентов at и bt при любом п можно найти в работе [2 ].

§ 11.2. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНУЮ ДИСКРЕТНУЮ СИСТЕМУ

Если на вход разомкнутой импульсной системы, имеющей частотные передаточные функции К (е'и)Г) и К (IXT/2), поступает стационарный случайный решетчатый сигнал х [п] со спектраль­ ной плотностью Gx (е/“ г) или Gx (X), то спектральная плотность случайной выходной величины у [/г] определяется формулами:

определяется интегралами:

Если импульсная система является замкнутой и к ее входу приложено случайное управляющее воздействие s (/) со спектраль­ ной плотностью мощности Ga (X), то спектральную плотность мощ­ ности выходного сигнала Gy (К) можно определить по формуле

Спектральная плотность динамической ошибки от управляю­ щего воздействия имеет вид

Если на вход импульсной системы поступает импульсная помеха со спектральной плотностью мощности Gn (X), то спектраль­

176

ная плотность мощности ошибки на выходе от помехи равна произведению

В том случае, когда на вход замкнутой импульсной системы одновременно поступают случайные импульсные некоррелирован­ ные управляющий сигнал и помеха со спектральными плотностями Gs (А,) и Ga (Л), то суммарная средняя квадратическая ошибка представляет собой сумму интегралов

+оо

Когда импульсная помеха со спектральной плотностью мощ­ ности Gn (А,) приложена не на входе, а в некоторой точке непрерыв­ ной части импульсной системы (см., например, рис. 9.11), спек­ тральная плотность мощности ошибки от помехи на выходе замкну­ той импульсной системы определяется выражением

В рассмотренных случаях прохождения случайного сигнала через импульсные системы предполагалось, что непрерывные слу­ чайные управляющий сигнал s (I) и помеха п (t) прерываются ключом одновременно и в непрерывную часть они поступают в виде одинаковых по форме импульсов со случайно изменяющейся амплитудой. При этом, когда ключ разомкнут, в систему не проходит ни сигнал, ни помеха.

Это справедливо лишь для импульсных ОЭС, имеющих систему стробирования, запирающую усилительный тракт на время отсут­ ствия управляющего сигнала. Если такая система стробирования отсутствует, то в большинстве импульсных ОЭС помеха свободно проходит через тракт обработки все время. Такое прохождение помехи от фона обеспечивается, например, в рассмотренной выше системе слежения за импульсным лазерным источником излучения, а также в системах с телевизионными трубками и мозаичными приемниками, работающими по малоразмерным источникам излу­ чения.

В этом случае спектральную плотность ошибки системы необхо­ димо рассматривать раздельно для импульсной помехи, вызванной статистическим характером самого импульсного сигнала (напри­ мер, за счет флуктуаций числа фотонов в последовательности импульсов управляющего сигнала и флуктуаций тока после преобразования импульсов излучения в фотоприемнике), и для непрерывной случайной помехи, обусловленной фоном и элемен­ тами электронного тракта.

177

При этом для замкнутых по помехе систем спектральная плот­ ность мощности ошибки от каждой составляющей непрерывной помехи определится выражением

функция непрерывной замкнутой системы от точки приложения помехи до выхода системы; К (/со) — частотная передаточная функция непрерывной системы в разомкнутом состоянии.

Для разомкнутых по помехе систем спектральная плотность мощности ошибки на выходе от непрерывной помехи определится

где Ка (/<я) и СЙ С®) имеют тот же смысл, что и в формуле (11.31). Таким образом, если по управляющему сигналу замкнутая система является импульсной, а по помехе — замкнутой непрерыв­ ной, причем управляющий сигнал имеет случайный характер со спектральной плотностью G* (X), то суммарная средняя квадрати­

ческая ошибка системы представляет собой сумму интегралов

где p — число импульсных помех, действующих на систему (обычно это флуктуационные помехи, обусловленные статистическим ха­ рактером числа фотонов в импульсах принимаемого излучения и преобразования их фотоприемниками в импульсы электрического сигнала);.? — число непрерывных помех, по отношению к которым система является непрерывной.

При указанных условиях средняя квадратическая ошибка разомкнутой по сигналу и по помехе импульсной системы будет определяться суммой интегралов

+00 Г

178

уголковым отражателем фоны на выходе фотоприемника создают непрерывные флуктуации. Такие же флуктуации генерируются в электронном тракте. Как те, так и другие проходят только до исполнительного устройства, вызывая случайное движение опти­ ческой оси системы. При этом отрицательная обратная связь по помехам при отсутствии управляющего сигнала отсутствует. Аналогичная ситуация возникает и в телевизионной системе, предназначенной для определения положения точечного источника излучения. В этих случаях при оценке погрешностей работы ОЭС, обусловленных помехами, систему необходимо рассматривать разомкнутой, а обусловленных управляющим воздействием s (/), — замкнутой.

§ 11.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ ПО МИНИМУМУ

СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ

В общем случае работа любой автоматической системы (в том числе и импульсной) происходит под воздействием как полезного управляющего сигнала, так и помехи. При этом, как было показано выше, возникают динамическая ошибка воспроизведения полез­ ного сигнала хдин и ошибка от помехи хп. В линейных системах результирующая ошибка определяется суммой этих двух состав­ ляющих. По условиям минимизации их величины динамическая и помеховая ошибки вызывают появление противоположных требо­ ваний к динамическим характеристикам и параметрам системы. Для уменьшения динамической ошибки необходимо увеличивать быстродействие и уменьшать инерционность системы. Однако при этом система будет хорошо реагировать не только на полезный управляющий сигнал, но и на помеху и, следовательно, будет увеличиваться ошибка от помехи. Поэтому можно ожидать, что существуют оптимальные значения параметров линейной системы, при которых суммарная ошибка будет минимальной. Чаще всего при проектировании минимизации подвергается средний квадрат суммарной ошибки <дс|>. Если и управляющий сигнал, и помехи являются стационарными случайными процессами, то в зависи­ мости от конкретной системы для расчета (х^> можно воспользо­ ваться формулами (11.29), (11.33) и (11.34). Если же управляющий сигнал является детерминированным, то суммарную среднюю квадратическую ошибку можно представить в виде

где Хуст— квадрат установившейся динамической ошибки от управляющего сигнала, ьеличина которой может быть определена, например, по формуле (10.12), (10.17) или (10.22); (я?,) — ошибка от помех, которая в общем случае может быть рассчитана с по­ мощью интеграла (11.33) или (11.34), в которых полагается

G3 (К) = 0.

179

В любом случае в результате расчета определяют средний квадрат суммарной ошибки как функцию <х|) = (х2> (аь а2, ...» ah) от некоторых параметров системы (общего коэффициента пере­ дачи КУпостоянных времени Тъ 7\>, ..., Тт , периода размыкания ключа Ту относительной длительности импульса у и др.), которые обусловливают динамические свойства системы. Для минимизации суммарной ошибки составляется система уравнений

Глава 12

ВЫБОР ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЦВМ, ВХОДЯЩИХ В СОСТАВ О ЭС

К числу основных параметров ЦВМ, которые необходимо выбрать разработчику при проектировании ОЭС со встроенными микропроцессорами и микроЭВМ, можно отнести: разрядность процессора, а также входного и выходного преобразователей; быстродействие; объем оперативного и долговременного запоми­ нающих устройств; шаг квантования по времени во входном и выходном преобразователе. Выбор этих параметров является достаточно сложной проблемой, представляющей самостоятельный интерес, поэтому ниже даются некоторые рекомендации, позво­ ляющие выбрать указанные параметры лишь в первом приближе­ нии. Более точно эти параметры можно определить эксперимен­ тально в процессе отладки системы.

§ 12.1. ВЫБОР РАЗРЯДНОСТИ ПРОЦЕССОРА. ВХОДНОГО И ВЫХОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

При рассмотрении этого вопроса будем полагать, что ЦВМ, входящая в состав ОЭС, работает в двоичном коде.

Как было показано ранее, между шагом квантования по уровню и разрядностью двоичного кода тхвходного преобразователя Н—К справедлива" зависимость

где х1т— максимальное значение сигнала на входе преобразова­ теля Н—к.

180