книги / Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем

Рассмотрим теперь изменение точности фиксации при пре­ образовании энергетического подобия с учетом инерционности

где Jа (Т) определяется по формуле (4.30).

Соответственно для эффективности преобразования энергети­ ческого подобия с учетом зависимости (7.27) будем иметь

обобщенного показателя инерционности v.

Преобразование энергетического подобия остается эффектив­ ным средством повышения точности определения временного поло­

где аш21 и аш22 — средние квадратичные значения шумов на выходе приемно-усилительного тракта для исходного и преобразованного

Для указанных условий преобразование энергетического подо­ бия остается справедливым и для выходных сигналов Si (t) и s2 (О* т. е. s2 (0 = (Я./). Кроме того, в этом случае аш22/аш21 “

Следовательно, соотношение (7.30) можно переписать в виде

(7.31)

si № (=(,

Из формулы (7.31) видно, что относительная погрешность опре­ деления временного положения сигнала по фронту отличается от относительной потенциальной погрешности сомножителем

-jfSi (/) I Si (Xt) ,

значение которого зависит от формы сигнала и выбора пороговых уровней.

Предположим, что пороговые уровни (пороги фиксации) выби­ раются каждый раз из условия обеспечения заданной вероятности ложной тревоги (Ял.т — const); в соответствии с этим К02 ~

= |/ХУ01. Тогда при гауссовом выходном сигнале (нормированном по величине) G длительностью т получим:

dsx(t)/dt = (2я/т2) t exp [—л (//т)2 ];

ii= —%•/’—InY01U/H; t2= —т Y '—\n(Y0il}/r%)I (X-/л ).

Всоответствии с этим имеем

Например, при Y01 — 0,5 и X — 5 будем иметь

W* ft) Hwb Н = тЛ ]/ттГ7Г•

что при принятых значениях К01 = 0,5 и X = 5 дает относительное снижение эффективности преобразования энергетического подобия

в1,22 раза по сравнению G потенциальными возможностями

(фиксация по максимуму сигнала). Если пороговый уровень изме­ няется пропорционально величине импульса (фиксация на постоян­ ном относительном -уровне), то

4 г* ® 1 -ж ь W) = 1

и эффективность преобразования энергетического подобия полу­ чается одинаковой при фиксации сигнала и по максимуму, и по фронту.

132

Оценим теперь влияние преобразования энергетического подо­ бия зондирующих импульсов на точность определения временного положения отраженного сигнала при нестационарном облучении. Эффективность преобразования в этом случае определяется также

точности измерений вследствие «растягивания» импульса при

Неравенство (7.32) указывает на то, что преобразование энергети­ ческого подобия даже для наихудших условий [Ч^* (Я) = X] позволяет повысить потенциальную точность определения времен­ ного положения отраженного сигнала при нестационарном облуче­ нии, а эффективность преобразования по точности получается более высокой, чем по обнаружению.

Следует иметь в виду, что при работе импульсных ОЭС по про­ тяженным объектам оценка дальности относится к некоторой услов­ ной эквидистантной зоне поверхности объекта, положение которой при прочих равных условиях зависит от длительности зондирую­ щего импульса. Поэтому, если даже погрешность измерений пре­ небрежимо мала, то результаты отсчета дальности (в общем слу­ чае) изменяются в зависимости от длительности посылок вслед­ ствие радиального смещения отсчетной зоны, к которой относится оценка дистанции. Положение отсчетной зоны определяется по­ мимо длительности зондирующего импульса формой последнего и видом импульсной характеристики объекта, а также методом фиксации временного положения сигнала. Например, при фикса­ ции сигнала по максимуму по мере уменьшения длительности зондирующего импульса отсчетная зона в случае сферического

133

Наконец, определим влияние формы оптических импульсов наточность фиксации их временного положения [32, 581. Рассмотрим сначала изменение потенциальной точности фиксации при шумах с равномерной спектральной плотностью. Будем исходить из постоянства энергии и величины лучистых импульсов (что опре­ деляет соотношение между длительностями сигналов различной формы) и примем гауссов импульс с длительностью та за эта­ лонный.

Тогда с учетом выражения (7.11) отношение ошибок фиксации некоторого сопоставляемого и эталонного импульсов (ато) можноопределить соотношением

для импульсов различнрй формы. Некоторые из этих значений приведены в табл. 7.1. Для сопоставления здесь же даны значения относительного изменения величины сигнал/шум л*-

Как видим из табл. 7.1, изменение формы импульсов незначи­ тельно сказывается на потенциальной точности измерений, однако оно может оказывать большее влияние на точность, чем на условия

При неравномерной спектральной плотности шумов вида (5.15) выражение для относительной потенциальной погрешности опре­ деления временного положения сигнала с учетом выражения (7.11) может быть представлено в виде

f t = (dnho2 -|- Йо (п+2 ))/(# П^2 -}“ h (n+2)).

Опуская достаточно громоздкие вычисления моментов высших порядков функций |5 (/со) |,- приведем конечные результаты расче­ тов для некоторых форм сигнала.

134

На рис. 7.5 приведены графики функции - Pi[ (г) [г — 1/(ата) при я, равных 1 и 2] для квазиквадратичного, косинус-квадрат- ного и экспоненциально-степенного импульсов.

Рассмотрение полученных данных показывает, что неравномер­ ность спектральной плотности шума может приводить к достаточно существенному увеличению влияния формы импульсов на потен­ циальную точность оценки временного положения их, причем

Выражения (7.34) и (7.35) показывают, что сокращение длитель­ ности импульса при сохранении его энергии и формы приводит к тому, что произведение oxof уменьшается в К раз (за счет прева­ лирующего влияния уменьшения ох по сравнению с увеличением 0^), в то время как в радиотехнических системах при тех же усло­ виях ОхО} = const, т. е. увеличение точности определения вре­ менного положения сигнала влечет за собой .такое же уменьшение точности определения допплеровского сдвига частоты, и наоборог (следствие из соотношения неопределенности).

135

Причиной этого различия является увеличение значения р

вОЭС в \f\ раз при сокращении длительности оптического им­ пульса заданной энергии, что связано, как уже указывалось ранее,

сквадратичным характером преобразования лучистой мощности

вэлектрическую в фотоприемнике и соответственно а ростом энер­ гии электрического сигнала. В то же время в радиоприемных системах осуществляется линейное преобразование лучистой мощ­ ности в электрическую и постоянной энергии лучистого сигнала всегда соответствует постоянная энергия электрического сигнала, вследствие чего преобразование энергетического подобия (а также любое иное преобразование лучистого сигнала постоянной энергии) при оптимальной фильтрации сигнала на фоне белых шумов не приводит к изменению величины сигнал/шум.

Таким образом, в ОЭС сокращение длительности лучистого импульса постоянной энергии позволяет существенно увеличить точность определения временного положения сигнала при относи­ тельно малом снижении точности измерения допплеровского сдвига частоты. Отметим также, что в случае применения оптического гетеродирования рассмотренные особенности ОЭС отсутствуют и влияние временного формирования сигнала на обнаружительные и

точностные показатели получается в основном таким же, как и в радиотехнических системах.

Глава 8

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ИМПУЛЬСНЫХ ОЭС

При анализе и синтезе автоматических импульсных и цифровых автоматических систем применяют несколько способов описания импульсных сигналов идинамических характеристик этих систем. Наиболее широкое применение для этих целей получили решетча­ тые-функции, дискретное г-преобразование и w-преобразованне.

§ 8.1. РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ

Решетчатой называется функция / [пТ] = f (t)t==nT, значения которой отличны от нуля и равны образующей функции f(t) только в дискретные моменты времени t = пТ, где п — целые числа, заданные в области от —оо до -}-оо; Т — интервал следова­ ния отдельных дискрет функции / [пТ] (рис. 8.1, а, б).

Учитывая, что интервал Т является постоянным, будем пользо­ ваться сокращенной записью решетчатых функций, представляя

ИХ СИМВОЛОМ / [ft] — f ( t)t= n T .

Дискреты решетчатых функций могут быть также определены для смещенных моментов времени t = пТ -Ь АТ = (п + е) Т (рис. 8.1, в), где е = АГ/71 < 1 — относительная величина смеще-

136

ния. Смещенная решетчатая функция записывается символом f IпТ, АТ ] или / Iя, е ], где п является целочисленным аргументом решетчатой функции, а е — ее неизменным параметром.

Если ввести понятие единичной решетчатой импульсной функ­ ции, обладающей свойством

то несмещенная и смещенная решётчатые функции могут быть пред­ ставлены в виде формул:

В дальнейшем будем полагать, что как целочисленный аргумент п, так и параметр е являются положительными (п = 0, 1, 2, ...» оо,

..., е>0), имея в виду, что пере­ носом начала отсчета всегда можно перейти от отрицатель­ ных значений к положитель­ ным. Например, если параметр е_ < 0, то решетчатую функ­ цию можно записать в виде

/ (/) для решетчатой функции / 1л 1является первая разность. При этом в связи с тем, что интервал следования дискрет Т является конечным, необходимо рассматривать разности как справа, так и

137

и первой обратной разности

Геометрический смысл этих разностей представлен на рис. 8.2. Аналогами второй производной непрерывной функции служат

вторые разности решетчатых функций:, прямая

А*/ 1л J = Д/ Iл + 1 ] — А/ 1л ] =

Аналогами дифференциальных уравнений непрерывных функций для решетчатых функций являются разностные уравнения, или уравнения в конечных разностях. Так, например, при использова­ нии прямых разностей неоднородное разностное уравнение можно

138

Здесь заданными являются решетчатая функция / [п ], постоянные коэффициенты Ь0 — Ьт и начальные условия, а искомой — решет­ чатая функция у [п 1. Использовав формулу (8.9), это разностное уравнение можно выразить через значения самой решетчатой функции

ДоУ \п+ т\ - f агу [п - f т — 1] -\-------- 1- ат_ху [я + 1 ] + ату [/г] = f [п\.

(8.16) Здесь коэффициенты ак вычисляются в соответствии с работой [2 ]

в конечных разностях более удобна для последующих преобразо­ ваний.

При использовании обратных разностей разностное линейное

Биномиальный коэффициент С^р вычисляется по формуле (8.18).

Если в правых частях приведенных выше линейных неоднород­ ных разностных уравнений положить / [гг ] = 0, то все они стано­ вятся линейными однородными уравнениями.

Общее решение однородного разностного уравнения

139

С-, — -произвольные постоянные, определяемые по т начальным

Это и есть условие устойчивости линейной импульсной си­ стемы.

§ 8.2. ДИСКРЕТНОЕ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

По аналогии с преобразованием Лапласа

применяемым к непрерывным функциям / (/), при действиях

срешетчатыми функциями можно использовать дискретное

преобразование Лапласа

оо

дятся и могут быть найдены изображения соответствующих решетчатых функций.

Однако при анализе и синтезе импульсных систем более широ­ кое применение получило z-преобразование, получающееся из дискретного преобразования Лапласа, если обозначить z = ърТ.

140