книги / Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем

3.Зеркальная поверхность перекрывает поле излучения(водная поверх-

ность). Для этого случая

где k-i — статистический коэффициент, учитывающий случайный характер зер­ кального отражения (например, при облучении взволнованной водной поверх­ ности); р — коэффициент зеркального отражения.

4. Работа по уголковым отражателям; при этом

где Ру — угол расходимости излучения, отраженного от уголкового отражателя при облучении его параллельным пучком; Yi ~ Угол между направлением из­ лучения и нормалью к поверхности отражателя:d— диаметр отдельного угол­ кового отражателя; п — число уголковых отражателей в катофоте.

5. Оптическая система связи. В этом случае

В тех случаях, когда задана мощность излучения (использование готового лазера), энергетический расчет сводится к определению площади входного зрачка приемного объектива по приведенным соотношениям (6.13) — (6.17).

Глава 7

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ОПТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ

§ 7.1. ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

В зависимости от назначения импульсных ОЭС в них могут выполняться следующие основные операции: измерение времени запаздывания сигнала, величины импульса, допплеровского сме­ щения частоты (при внутриимпульсной модуляции), а в ряде слу­ чаев определение фазы колебания (в импульсно-фазовых системах).

При этом возникающие погрешности измерения можно подраз­ делить на две основные группы: систематические и случайные. Систематические погрешности являются детерминированными ве­ личинами и, следовательно, они могут быть скомпенсированы с помощью тех или иных схемных средств.

Случайные погрешности измерений включают в себя следу­ ющие основные виды: 1) принципильная (шумовая) погрешность, обусловленная влиянием шумов на положение отсчетной точки; 2) методическая погрешность измерительной схемы; 3) погреш­ ность, вызванная нестабильностью параметров и характеристик отдельных элементов и узлов ОЭС при воздействии дестабилизи­ рующих факторов; 4) погрешность, возникающая в результате влияния условий распространения излучения в среде; 5) допол­

121

нительные погрешности, например погрешность, обусловленная случайным характером запаздывания при передаче информации потребителю.

Ограничимся рассмотрением наиболее существенной случай­ ной составляющей погрешности измерения —принципиальной по­ грешности.

Нас будет интересовать параметр а полезного сигнала / (t, а), поступающего на вход приемного тракта совместно с шумом х (t).

Точное определение интересующего нас параметра а в этих условиях невозможно. Поэтому необходимо определить так назы­ ваемую оценку этого параметра й, дающую наилучшее приближе­ ние к действительному его значению.

В качестве критерия оптимальности оценки естественно при­ нять критерий минимума соответствующего ей среднего риска для всех возможных значений параметра а и всех возможных реализа­ ций смеси сигнала и шума. При этом припишем каждому значе­ нию ошибки оценки а—а определенную стоимость потерь R (й—а),

где г — область л-мерного пространства, охватывающая дискрет­ ные выборки всех возможных реализаций х (/).

Так как внутренний интеграл положителен, то условие мини­ мума среднего риска можно заменить условием минимума вну­ треннего интеграла выражения (7.1) для каждой реализации

х (t), т. е.

- 0 0

Значения оценки в соответствии с выражением (7.2) зависят •от вида функции риска. Рассмотрим, согласно работе [42], три

.характерные функции риска:

На рис. 7.1 приведены графики функций риска (7.3)—(7.5). Для функции риска (7.3) условие (7.2) принимает вид

+оо

J aW (а |х) da

1122

т. е. оптимальная оценка параметра а определяется как абсцисса центра тяжести апостериорной плотности вероятности W (а |х) возможных значений параметра а.

Для функции риска (7.4) имеем

а +оо

й-А/2

где W (х) — плотность вероятностей получения реализаций х (t). Если в этом случае величина Д/2 мала по сравнению с об­ ластью возможных значений а, то минимум выражения (7.6), соответствующий максимуму интеграла, обеспечивается оценкой выбранной по максимуму апостериорной плотности вероятности

W (а |х).

Таким образом, при трех различных формах функции риска критерий минимума среднего риска сводится к критерию макси­ мума апостериорной плотности вероятности.

Воспользуемся формулой .Байеса

Н-оо

W (а |у) = W (a) W (у \a)/j' W(a) W (у \a) da,

из которой следует, что если в условиях высокоточных измерений априорное распределение праметра W (а) можно считать постоян­ ным, то критерий максимума апостериорной плотности вероят­ ности сводится к критерию максимума функции правдоподобия.

При определении временного положения сигнала потенциаль­ ные возможности системы в отношении точности могут быть оха­ рактеризованы дисперсией оценок ft, полученных в соответствии с критерием максимума функции правдоподобия.

123

Функция правдоподобия или эквивалентный ей в информа­ ционном отношении выходной эффект У (/) в этом случае носят случайный характер и могут быть представлены в виде суммы математического ожидания и случайной функции с нулевым средним значением Y (/) = т \У (£)) + Y° (t), где т \Y (t)\ — математическое ожидание функции оптимального выходного эф­ фекта; Y° (t) — отклонение функции от математического ожидания.

В соответствии с критерием максимума функции правдоподо­ бия величина определяется из уравнения

Принимая во внимание, что математическое ожидание функ­ ции оптмального выходного эффекта представляет собой сигналь­ ную функцию, а отклонение от математического ожидания — среднее квадратичное значение выходного шума, получим:

+оо

Таким образом, с учетом соотношений (7.9) и (7.10) потенциаль­ ная средняя квадратичная погрешность определения временного положения сигнала примет вид

В условиях оптимальной фильтрации с позиции обнаруже­ ния, когда

К (/со) = k (S* (/со)/G(со)) е-/«Ч

соотношение (7.11) можно представить в виде

124

Из приведенного выше видно, что потенциальные возможности оценки временного положения сигнала осуществляются при фик­

в момент достижения функцией выходного эффекта У (t) некото­ рой фиксированной величины Yn. При этом момент фиксации

ределения временного положения сигнала при фиксации по фронту получается из уравнения

где tn — момент времени, соответствующий пересечению сиг­ нальной функции с заданным пороговым уровнем.

При белом входном шуме средняя квадратичная погрешность определения временного положения сигнала при фиксации по

125

фронту с учетом зависимостей (7.15) и (7.16) может быть вычис­ лена по формуле

а применительно к оптимальной фильтрации по условию обнару­ жения (7.17) она приобретает вид

Используя критерий максимума функции правдоподобия, полу­ чим выражение для дисперсии оценки величины принимаемого сигнала

При равномерной спектральной плотности гауссова шума в условиях согласованной фильтрации выражение (7.19) при­ водится к выводу

о1 = а 20 ^ j| S (/«> )| 2d(e = Яо

О

Наряду с измерениями времени прихода сигнала и величины его в ОЭС, нередко возникает задача измерения радиальной ско­ рости объекта. При этом в системах, работающих с внутриимпульсной модуляцией, осуществляется определениедопплеровского смещения частоты внутриимпульсных синусоидальных колеба­

с равномерной спектральной плотностью средняя квадратичная погрешность определения допплеровского смещения частоты вы­ числяется по формуле

а/= 1/U-71и»

126

где

— эквивалентная длительность сигнала.

§ 7.2. ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИОННОСТИ ФПК НА ПОГРЕШНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СИГНАЛА ПРИ ОПТИМАЛЬНОЙ И НЕОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Оценим погрешность определения временного положения сиг­ нала при фиксации по максимуму выходного эффекта примени­ тельно к условиям оптимальной фильтрации и при отступлении от этих оптимальных условий.

При инерционном ФПК средняя квадратичная погрешность определения временного положения сигнала при оптимальной фильтрации в соответствии с выражением (7.11) получает вид

Влияние инерционности ФПК на точность измерений может быть охарактеризовано величиной

временного положения сигнала при безынерционном ФПК, опре­ деляемая соотношением (7.13).

Для относительно большой инерционности ФПК при v ^ 1 зависимость (7.23) примет вид

^ v / l j / l T l l - / я /v ]1'2).

127

На рис. 7.2 приведена зависимость относительной величины средней квадратичной погрешности определения временного поло­

128

по сравнению с оптимальной может обусловливать существенно большее снижение точности измерений, чем сужение. При этом отступление от условий оптимальной фильтрации сильнее отра­ жается на точности измерений, чем на величине отношения сигнал/шум.

§ 7.3. ВЛИЯНИЕ ВРЕМЕННОГО ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ НА ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА СИГНАЛА

Рассмотрим первоначальное изменение потенциальной точности определения временного положения сигнала при произвольном преобразовании последнего (в условиях приема на фоне гауссовых шумов).

Относительное изменение потенциальной погрешности фикса­ ции сигнала может быть охарактеризовано величиной

грешность фиксации, отношение сигнал/шум и средняя квадратич­ ная частота спектра шума при определении временного положения исходного сигнала, а аТ12, р2 и ©П2 — аналогичные характери­ стики при преобразованном сигнале.

Если преобразование импульсов приводит к одновременному увеличению значений р и ©1Х, что, в частности, имеет место в слу­ чае преобразования энергетического подобия, то эффективность преобразования по точности получается большей, чем по обнару­ жению. В принципе возможны ситуации (например, при увеличе­ нии длительности импульса постоянной величины), когда, не­ смотря на возрастание р, потенциальная точность определения временного положения сигнала снижается вследствие превали­ рующего уменьшения ©п .

Оценим теперь количественно эффективность преобразования энергетического подобия по потенциальной точности фиксации сигнала р^.

Используя рассмотренную ранее в задаче обнаружения мето­ дику, можно получить на основании формулы (7.26) следующее соотношение:

При шумах с убывающим энергетическим спектром Ч^ (А,) < 1 и, следовательно, погрешность определения временного положения сигнала в результате преобразования энергетического подобия дополнительно уменьшается.- Например, при энергетическом

)30