книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

Потребуем выполнения условий

N

(2.131)

(2.132)

(2.133)

После подстановки (2.130) в (2.131); (2.130) и (2.119) в (2.132); (2.130) и (2.124) в (2.133) получим соответственно

171

(2.134)

(2.135)

Запишем теперь уровни qx в план эксперимента (табл. 2.45).

Способом, аналогичным рассмотренному выше, вводят и опре­ деляют функции от Х £ и более высоких порядков.

Точно так же строят матрицы планирования в кодированном масштабе для планов полного и дробного факторного эксперимента

172

sk. После установления значений уровней главных эффектов (на­

помним, что если уровни равноотстоящие, можно пользоваться коэффициентами ортогональных полиномов Чебышева, например, из табл. 2.17), уровни эффектов взаимодействий получают перемно­ жением уровней соответствующих главных эффектов.

Заданные планом опыты (см. табл. 2.43) были выполнены. Опыты не дублировали. Результаты опытов (у — величина зерна,

мм) приведены в табл. 2.45. В качестве оценки дисперсии воспро­ изводимости использовали известную по предыдущим экспери­ ментам = 0,0016 при числе степеней свободы fx = 1 0 .

Поскольку матрица в табл. 2.45 ортогональна, коэффициенты модели (2.118) считали по формулам (2.11). В данном случае

Дисперсии оценок коэффициентов считали по формулам (2.27):

173

Sgee = 5,61.10-\ St2i “= 0,024;

Sgi i = 5 f92.10-4; Sbis = 0,024;

Sgllt = 2,22.10;*; Sbltt = 0,015.

Доверительные интервалы оценок коэффициентов определили по формуле (2.90). В данном случае при а = 0,05 и fx = 10 таблич­ ное значение ^-критерия *0,об; ю = 2,23, поэтому

Аь0= Аь, = АЬб = А*, -= Д&11 = 0 ,0 2 2 ;

А^, = 0,010; Аь„ = Ль„ = 0,022;

Лй2 = Ай3 = 0,027; АьМ1 = 0,015.

Поскольку коэффициенты bQ*b2, Ь4, Ь5 и Ь22 по абсолютной

величине больше своих доверительных интервалов, их следует признать статистически значимыми при 5%-ном уровне значимости. Остальные коэффициенты являются статистически незначимыми, и в модель их можно не включать.

Таким образом, получено следующее уравнение регрессии:

у = 0,790 + 0,042*2 - 0,078*4 + 0,035*5 + 0,119г2. L(2.138)

Проанализируем полученную модель. Из ее анализа прежде всего выясняется, что величина зерна в штампованных заготовках из сплава ХН75ВМЮ (ЭИ827) не зависит от изученных четырех типов штампов (эффекты*^, Ьп и Ь1П незначимы). Сточки зрения

величины зерна можно проводить штамповку в любом из этих штампов. Кроме того, на величину зерна не влияют температура рекристаллизации в интервале 1100— 1170° С и температура старе­ ния в интервале 850—950° С (незначимы соответственно эффекты b3l b33 и 6 в), поэтому эти температуры можно выбрать любыми

в изученном интервале. Наиболее сильно величина зерна зависит от температуры штамповки в изученном интервале, скорости охлаждения после рекристаллизации и температуры закалки. В изученной области определения факторов для измельчения зерна штампованные заготовки после рекристаллизации необходимо

Найдем экстремум функции (2.139) (это будет минимум, по­ скольку коэффициент при х\ — положительная величина), для чего приравняем нулю ду/дх2:

ду/дх2 — —0,007 2*0,11 9лг2 = 0.

174

Отсюда х2 = 0,029 ^ 0,03 или по формуле (2.124) оптимальная температура штамповки Х 2 = 1139 « 1140° С.

Таким образом, оптимальной схемой обработки для получения возможно более мелкого зерна в штампованных заготовках из сплава ХН75ВМЮ является штамповка в штампе любой конструк­ ции из I—IV при температуре 1140° С, последующая рекристал­ лизация при любой температуре в интервале 1100— 1170° С, охлаждение после рекристаллизации на воздухе, закалка с темпе­ ратуры 1200° С и старение при любой температуре в интервале 850—950° С. Отметим, что если выбрать температуру рекристал­ лизации 1140° С, то процесс штамповки и последующей рекристал­ лизации возможно удастся совместить; это, кроме прочего, повысит производительность процесса обработки.

2.5.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЛАНОВ ГЛАВНЫХ ЭФФЕКТОВ За X 22//9

Рассмотрим еще два примера применения планов главных эффектов.

В первом примере требовалось выбрать состав композитного галлиевого припоя и условия пайки, обеспечивающие возможно более высокий предел прочности (у) паяных соединений литых

деталей из алюминиевого сплава АЛ9 [89]. В качестве факторов выбрали температуру пайки (Хх), время выдержки при пайке (Х2), содержание в припое магния (Х 3) и галлия (Х4). Предпола­

галось, что влияние магния и галлия на прочность соединений может оказаться нелинейным, а влияние температуры и времени выдержки линейно. В связи с этим содержание магния и галлия варьировали на трех уровнях, а температуру и время — на двух. Уровни факторов в натуральном масштабе X t и поставленные им

всоответствие уровни Ft приведены в табл. 2.48.

Та б л и ц а 2.48. Уровни варьирования факторов

176

Полный факторный эксперимент в данном случае должен включать 22 X З2 = 36 опытов. Для сокращения объема экспери­

ментальной работы и с учетом априорных сведений было решено строить модель только главных эффектов:

Поскольку эта модель содержит девять членов, составили план эксперимента 22 X 32//9, включающий девять опытов. План полу­

чили из плана 3V/9, имеющегося в каталоге (см. приложение VII.2, план 9). С помощью подходящего преобразования из плана 3V/9 заменой двух его столбцов для трехуровневых факторов столбцами для двухуровневых можно получить шесть разных планов. Один из

представлена в табл. 2.49 в кодах Ft (числа в числителе) и в нату­

ральном масштабе (числа в знаменателе).

Коэффициент эффективности ф составленного плана, определяю­ щий его близость к Q-оптимальному, по формуле (2.68), при к' = 7;

1 ~ 4 + й Ж + оЖ + 3 + 3

Следовательно, план почти Q-оптимален.

Заданные планом опыты были выполнены. На обезжиренные и высушенные контактные поверхности образцов, соединяемые встык, наносили пастообразный припой, предварительно приго­ товленный с помощью вибратора. Собранный узел выдерживали в печи под давлением 2,94 МПа (0,3 кгс/мм2). Опыты не дублиро­ вали. Известная ранее дисперсия опыта была SI = 0,01 при числе

где х( — линейные функции от X t типа (2.119): zt — квадратичные функции от X t типа (2.124).

176

Уровни х { и формулы, связывающие x t с X h приведены

• в табл. 2.48. Кроме того, уровни x t записаны в матрице планирова­

вания ортогональна. Поэтому коэффициенты модели (2.140) счи­

177

Дг?3 = 0,023; 0,105; Д, 38 = 0,040.

Таким образом, все коэффициенты, кроме Ь33, следует признать

статистически значимыми при 5%-ном уровне значимости и модель имеет вид

У= 4,83 + 0,07*! + 0,18*2 + 0,06*3 + 0,98*4 + 0,08г4. (2.141)

При поиске оптимальных составов припоя и режимов пайки прежде всего выяснилось, что наибольшая прочность паяных соединений получается в том случае, когда пайку проводят при температуре 300° С (хг = + 2) в течение 5 ч ( * 2 = + 2). Подставив

эти значения в (2.141), получили модель зависимости предела прочности соединений только от состава припоя:

у = 5,33 -|—0,06*з -{- 0,98*4—Ь 0 ,0 8 2 4 .

Графически эта зависимость приведена на рис. 2.3. Из рисунка видно, что прочность паяных соединений растет при одновремен­ ном увеличении в припое количества магния и галлия. С учетом этого были рекомендованы припои, содержащие 3% Mg и 50% Ga. Пайка ими по режиму 300° С — 5 ч, использовавшаяся для заделки раковин и пор различных радиотехнических изделий из сплава АЛ9, позволила восстановить детали, хорошо сопротивляющиеся термоциклическим, вибрационным и ударным нагрузкам при. пределе прочности паяного соединения ^ 49 МПа (5 кгс/мм2).

Второй пример посвящен поиску оптимальных составов слож­ нолегированных платиновых сплавов, содержащих от 1 0 до 60%

Pd (относительно недорогого и менее дефицитного по сравнению с платиной) [95]. Кроме палладия исследуемые сплавы содержали 5— 10% Rh, являющегося сильным упрочнителем платины, малые добавки золота и иридия, которые также должны выполнять роль упрочнителей при высоких температурах. Таким образом, иссле­ довали влияние элементов химического состава в части системы

178

Pt—Pd—Rh—Au— Ir на поведение сплавов в условиях высоко­ температурной ползучести.

Изменение времени до разрушения (у) изучали в зависимости

от содержания в сплавах родия (Xj), палладия (Х2), иридия (А3) и золота (Х4). Предполагали, что влияние родия и золота может оказаться линейным, поэтому факторы Х г и Х 4 варьировали на

двух уровнях, а влияние палладия и иридия — нелинейным и варьировали факторы Х2 и Х 3 на трех уровнях. Уровни варьиро­

вания факторов в натуральном масштабе и поставленные им

всоответствие уровни Ft указаны в табл. 2.50.

Та б л и ц а 2.50. Уровни варьирования факторов

риментальной работы воспользовались, как и в первом примере, планом главных эффектов 22 х 32//9, включающим только девять

опытов. План получили из того же имеющегося в каталоге плана 34//9 (см. приложение V II.2, план 9), заменив с помощью преобра­ зования 1 б (приложение VII.3) первый и четвертый трехуровне­ вые факторы двухуровневыми ^ и f 4 и оставив без изменения вто­ рой и третий трехуровневые факторы для F2 и Fs. Матрица полу­

Коэффициент эффективности составленного плана, как и плана, использовавшегося в первом примере, ф = 0,93.

Заданные планом сплавы готовили в индукционной печи в атмо­ сфере аргона с двойным переплавом. После ковки и прокатки штамповкой изготовляли образцы, которые после предваритель­ ного отжига, испытывали на ползучесть при температуре 1400° С и начальном растягивающем напряжении 4,9 МПа (0,5 кгс/мм2).

179

Каждый опыт повторяли 4 раза. Средние результаты опытов (время до разрушения — у , ч) приведены в табл. 2.51. Дисперсия

опытов оказалась = 8,30 при числе степеней свободы Д = 27. Поскольку время до разрушения менялось в опытах достаточно

сильно, исходную зависимую переменную у заменили новой |/у

(табл. 2.51). После проверки по G-критерию однородности ряда дисперсий (ряд оказался однородным), по формулам (2.82) и (2.83) подсчитали дисперсию опыта для новой переменной S y - = 0,1014.

При этом число степеней свободы Д - 27, естественно, не изме­ нилось.

По полученным результатам строили модель

константы Ai в которой считали по (2.121). Константы kt (2.119) выбирали так, чтобы уровни x t были целыми числами. Уровни xt приведены в табл. 2.50 и 2.51, а формулы, связывающие их с Х { —

в табл. 2.50.

Уровни zt устанавливали по формуле (2.124), константы в кото­ рой считали по (2.126) и (2.128), а значения k\ вновь выбирали так, чтобы уровни zt были целыми числами. Уровни zt приведены в табл. 2.50 и 2.51, а формулы, связывающие их с x h — в табл. 2.50.

1 8 0