книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

реплик существуют ортогональные эффекты, оцениваемые неза­ висимо друг от друга и от других эффектов (см. например, в табл. 2 . 8 3 /8 -реплику от 2 7).

Расчет коэффициентов, их дисперсий и ковариаций осуществ­ ляется по разным формулам, в зависимости от того, сколько и ка­ ких эффектов входят в группу частично смешанных. Возможны следующие случаи:

1. В группе три любых эффекта bPi bQи bR (без b0). Например, во 2 -й группе 3/4-реплика от 24 (табл. 2.8) эффекты

&1 , &23 и &24*

Оценки эффектов этой группы находят по формулам

N N N

1 0 1

102

Например, формулы для расчета эффектов 1-й группы 3/4-

реплики от 2 5

N N N

Все эти эффекты оцениваются с одинаковыми дисперсиями:

Например, формулы для расчета эффектов 1-й группы 3/8- реплики от 2 е

NN

зЦ Ун +£ (*1*6)иУи

103

ственно (2 . 1 1 ) и (2 . 1 2 ).

Нерегулярные реплики удобно применять и в тех случаях, когда после реализации того или иного регулярного плана решено варьировать в эксперименте один или несколько.факторов из тех, которые в предыдущих опытах были на постоянном уровне [123].

Предположим выполнено 8 опытов полного факторного экспе­ римента 2 3 для переменных xlf х2 и х3 (табл. 2 . 1 0 , опыты 1 —8 ). В этих опытах фактор х4 не варьировался. Будем, например, счи­ тать, что в первых восьми опытах табл. 2 . 1 0 уровень фактора х4 был — 1 . Однако затем выяснилось, что фактор х4 также, возможно, влияет на отклик, и теперь, чтобы выяснить эффект влияния х4

с помощью регулярных реплик, необходимо еще раз повторить полный факторный эксперимент 2 3, а фактор хАвзять в этих опы­

тах на уровне + 1 . Обе эти серии экспериментов, включающие 16 опытов, теперь представляют полный факторный эксперимент 2 4,

и обработка его данных позволяет решить задачу.

Но можно достроить план 23 и до нерегулярной реплики. Для этого первые восемь опытов табл. 2 . 1 0 следует рассматривать как две 1/4-реплики 2 4"2 от полного факторного эксперимента 2 4.

Их генерирующие соотношения указаны в табл. 2.10. Если к этим

Т а б л и ц а 2.10. Введение в полный факторный эксперимент 23 четвертого фактора (3/4-реплика от 24)

“

104

двум 1/4-репликам добавить еще одну, получится нерегулярная 3/4-реплика от полного факторного эксперимента 2 4, содержащая 1 2

опытов. Генерирующие соотношения третьей х/4-реплики указаны

остальных по формулам (2.44). Добавление большего числа фак­ торов производится аналогичным способом.*]

2.3. ПОЛНЫЙ И ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ ФАКТОРОВ

Все рассмотренные выше процедуры составления факторного эксперимента типа 2 k и 2 k- p легко обобщаются на случай полного факторного эксперимента sk с k факторами, варьируемыми на s

уровнях.

Будем, как и прежде, обозначать значения факторов в нату­ ральном масштабе X t (i — номер фактора). Факторы могут быть

количественными и качественными, их уровни могут быть равно­ отстоящими и неравноотстоящими, поэтому s уровней фактора Х ( удобно обозначать 0 , 1, 2 , ..., s — 1.

Эти уровни будем называть Ft. Ставится задача: составить пла­ ны эксперимента для k факторов Fh варьируемых на s уровнях 0, 1,2, ..., s — 1. В планы будет входить также и фиктивная пере­ менная F0t необходимая для расчета свободного члена уравнений и имеющая во всех опытах уровень 0 .

По аналогии с полным факторным экспериментом 2к матрицу полного факторного эксперимента sk можно построить следующим образом: при любом k необходимо s раз повторить матрицу планиро­ вания для (k — 1 ) фактора при значении £-го фактора последова­ тельно на уровнях 0 , 1 , 2 , ..., s — 1 .

В качестве примера в табл. 2.11 показано последовательное построение матрицы полного факторного эксперимента З3. Вначале построен факторный эксперимент З1. Затем он трижды повторен последовательно для уровней 0 , 1 и 2 второго фактора, в резуль­ тате чего получился план З2. План З2 вновь трижды повторен для уровней 0 , 1 и 2 третьего фактора — получился искомый план З3.

Модель, которую можно построить из полного факторного

O < 0 < ( s — \ )

0*<©<(s—i)

1 0 5

где k — число факторов; s — число уровней варьирования факто­

Члены модели (2.60), в зависимости от значений а и Р, указаны

в табл. 2.14.

Рассмотрим способ записи расширенных (со всеми взаимодей­ ствиями) матриц полного факторного эксперимента для факто­ ров F(. Составим такую матрицу для плана З2 (табл. 2.15).

В столбцах Fx и F2 табл. 2.15 записан собственно план полного

факторного эксперимента для двух факторов, варьируемых на трех уровнях, F0 — фиктивная переменная, принимающая во всех опытах значение 0 .

106

107

Значение уровней для эффектов взаимодействий определяют сложением уровней факторов по модулю s. Полученный уровень,

по сути дела, представляет собой остаток получающийся от де­ ления соответствующей суммы на s. Например, если s = 3, то

F\ = (2Fj) (mod 3);

F\ = (2 F2) (mod3);

F2lF2 = {2Fi + 2F2)(mod3);

FlFl = (Ft + 2Ft) (mod 3);

F\F2 = {2Fi + f 2) (mod 3).

Рассчитанные таким образом уровни всех эффектов взаимодей­ ствий приведены в табл. 2.15.

Планы полного факторного эксперимента sk, естественно, дают еще большую информацию по сравнению с планами типа 2 fe.

В тех случаях, когда на первых этапах исследования эта инфор­ мация не является необходимой, можно пользоваться планами дробного факторного эксперимента sk~p. Эти планы составляются так же, как и планы 2 k~p: р взаимодействий полного факторного эксперимента sk предполагаются незначимыми и их уровни при­

даются новым факторам.

Рассмотрим составление планов sk~p на примерах. Предположим, в задаче изучается влияние трех факторов: Flt

F2 и Fз, каждый из которых варьируется на трех уровнях 0 , 1 и 2 .

108

Полный факторный эксперимент З3 включает 27 опытов, но есть

возможность поставить только девять.

Девять опытов являются полным факторным экспериментом для двух факторов, варьируемых на трех уровнях (З2). Этот план

Из генератора (2.61) получим определяющий контраст, сделав так, чтобы левая часть генератора представляла собой столбец нулей:

F-Л = FlF2F l

Отсюда

о = F \F 2F I

Кроме того, правую и левую части определяющего контраста, необходимо возвести еще в (s — 1 )-степень, в данном случае во

вторую, и получить еще один определяющий контраст:

109

Таким образом, обобщенным определяющим контрастом реп­ лики З3 \ указанной в табл. 2.16, является

Теперь можно записать систему смешивания эффектов, которую дает данный план. Для этого, как и в случае планов 2к~р, необхо­

димо правую и левую части обобщенного определяющего контраста умножать на интересующий эффект и пользоваться соотношениями

(2.62).

Итак, Fx = F2Fl ее F\F\F3, или, другими словами, линейный эффект фактора Х г будет 'смешан с эффектами взаимодействий Х2 Х* и Х?Х§ХВ, т. е.

Ь 1 — > P i + Р гЗ З + P ll2 2 3 *

Продолжим запись системы смешивания эффектов в масштабе Ft\

F2 = FiFlFl = FXF3,

F3 = F\F. = F{F\Fl

FtF2 = F\F\ = F\F3,

F,F3 = F2 = FiFlFl'

F2F3 = F\F\ = F ,f|;

/ W 3 = F\ = F\Fl и т. д.

Анализ получившейся системы смешивания позволяет выбрать общий вид модели. Например, если в рассматриваемом случае необходимо построить модель

о предполагаемых более сильными, например, эффекте Х 3 по сравнению с Х 2Х§ и Х2Х-Х3; эффекте Х3 по сравнению с Х 2Х2 и Х хХ\Х1\ эффекте Х 2 Х3 п 0 сравнению с Х \Х \ и Х,Х;; и т. д. В дан­

ном случае можно попытаться построить модель

У — bо -]- 6 3Х 3 4~ 6 2 Х3 6 3 X3 6 12 Х 1 Х2 -|- 6 2зХ2 Х3 4" 6 i23XiX 3X3.

Естественно, что выбор других генераторов и определяющих контрастов даст возможность получить другие системы смешивания эффектов и соответственно строить либо другие модели, либо модели с подходящей в каждом конкретном случае системой сме­ шивания.

Полный факторный эксперимент З2 (табл. 2.15), с помощью которого мы только что составили план З3"*1 (табл. 2.16), содержит

всего шесть столбцов эффектов взаимодействий и квадратичных.

110