книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

В теории графов известно решение так называемой «задачи о лидере» 111]. Покажем в рассматриваемом примере, как этот прием можно использовать для выделения наиболее общего свойства. 11о терминологии теории графов, «влиятельность» вершины графа определяется числом выходящих из нее ребер. Вершина характе­ ризуется и «могущественностью», которая определяется тем, на­ сколько влиятельны другие вершины, связанные ребрами с данной.

Будем анализировать граф при Р =95% (рис. 1.2, а). Здесь наиболее влиятельна вершина H R B , второе место занимает вер­ шина ав. Но является ли вершина HRB и более могущественной?

Рассмотрим для данного графа в качестве матрицы смежности матрицу коэффициентов корреляции (табл. 1.2). При этом коэффи­ циенты корреляции будем брать по абсолютной величине, поскольку

Р*(0 — rn h ГП+ ^/3 + • • • Л~ги»

В данном случае при подсчете итерированной силы имеет смысл учитывать только статистически значимые коэффициенты корреляции. В частности, такие коэффициенты для Р = 95%

другими характеристиками, в то время, как ств только с шестью.

21

Т а б л и ц а 1.2. Коэффициенты парной корреляции между свойствами сталей типа 14Г2ФБ

— значим вплоть до Р — 99,9% ** — значим вплоть до Р = 99%; * — значим при Р — 95%

11апрпмер:

11а этот раз, после второй итерации, первое место заняла H R B ,

второе ав (см. табл. 1.2). Заметно изменилось и расположение дру­ гих свойств. Например, если вначале 6 занимало пятое-шестое места, то теперь вышло на четвертое; сгт с седьмого места перешел

Очередная, четвертая итерация, проведенная аналогично пре­ дыдущим, подтвердила распределение мест, полученное после тре­ тьей (табл. 1.2). Поэтому можно считать, что распределение мест стабилизировалось.

Итак, проведенный анализ показал, что по «могущественности» изученные свойства располагаются в следующий ряд:

Несмотря на то, что предел прочности оказался наиболее «могущественным» свойством, имеет смысл выбрать в качестве лидера наиболее «влиятельную» характеристику — твердость, могущественность которой немного меньше по сравнению с преде­ лом прочности. Основное достоинство твердости — методическая простота ее определения.

Была предложена схема предсказания всех изученных свойств сталей данного состава по значениям твердости, показанная на рис. 1.3. Ниже даны уравнения регрессии, позволяющие предска-

23

Всоответствии с указанной схемой вначале по значениям HRB

спомощью уравнений (I)—(V) предсказываются значения соответ­ ственно сгв, сгт, б, of и Тк, Затем с помощью уравнения (VI) по рас­

считанным значениям of предсказываются значения ай40, а с по­ мощью уравнения (VII) по сгв — значения а\й™. Уравнения (VIII)

и(IX) служат для уточнения расчетов. Оценка остаточных диспер­ сий показала, что ошибка в предсказаниях свойств не превышает

10%. Естественно, коэффициенты найденных корреляционных за­ висимостей относятся только к исследованным составам и усло­ виям прокатки сталей. Однако использование найденных корре­ ляционных связей между свойствами сталей, прокатанных по кон­ тролируемому режиму, позволяет облегчить поиск оптимальных условий такой прокатки.

Описанный способ корреляционного анализа неоднократно применяли для выбора параметра оптимизации в задачах техноло­ гии металлов.

На рис. 1.4 приведен еще один пример [83], показывающий, насколько тесно закоррелированы между собой различные харак­ теристики механических свойств, в том числе и жаропрочности, ряда жаропрочных сталей и сплавов. Здесь же показана схема пред­ сказания большинства свойств но некоторому их числу, легко оп­ ределяемому экспериментально. С помощью того же приема в ра­ ботах [56, 85, 86] все литейные и механические свойства синтети­ ческих чугунов удалось свести к отбеливаемости. В работе [88] обнаружена корреляция между разнообразными механическими и физическими свойствами низколегированных медных жаропроч­ ных сплавов, в работе [111] — между свойствами медных электрод­ ных сплавов, а в работе [46] между многочисленными механиче­ скими, физическими и эксплуатационными свойствами экономно­

24

|>ис. 1.4. Графы корреляционных связей (а) и схема предсказания (б) различных

свойств некоторых деформируемых никелевых сплавов и сталей

а между различными структурными характеристиками графита синтетических чугунов в работах (84, 56]. С помощью корреля­ ционного анализа удалось выбрать всего 14 характеристик дефор­ мируемости стальных кольцеобразных деталей при закалке из 72 показателей, рассматривавшихся первоначально [87].

В заключение отметим, что для тех же целей корреляционного анализа можно использовать не только коэффициент корреляции, характеризующий степень линейной связи, но и корреляционное отношение, определяющее нелинейную зависимость между пере­ менными.

Метод корреляционного анализа является не единственным способом уменьшения числа экспериментально определяемых параметров оптимизации. Не останавливаясь подробно на других способах, отметим, что той же цели удалось достичь авторам ра­ боты [68] при использовании одного из методов факторного ана­ лиза шести механических характеристик (НВ> cr0t2, ав, 6, ф и аи) 1\) сложнолегированных сталей (свойства были взяты по данным

советского стандарта ГОСТ 4543—57). При этом оказалось, что псе эти характеристики легко выражаются из значений только cr0i2 (характеристики прочности) и ф (характеристики пластичности). 1>олее того, поскольку две последние характеристики также закоррелированы, определять их можно только из одного экспери­

26

мента вместо обычных нескольких. Это же удалось автору работы [8j при использовании другого метода факторного анализа —■метода главных компонент. В данном случае при обработке данных 100 плавок одной из сложнолегировапных сталей удалось характе­ ристики механических свойств сг0,2, сгв, б,ф и ан свести к одной новой Wx. Метод главных компонент непосредственно для одной

металловедческой задачи оптимизации использован и в работе [41 ]. Однако следует отметить, что использование в последних случаях новой характеристики требует все же экспериментального определения всех свойств.

1.1.2. ФУНКЦИИ ЖЕЛАТЕЛЬНОСТИ

Весьма перспективным при решении задач с несколькими зависимыми переменными является использование комплексных показателей качества. Таким показателем может быть так назы­ ваемая функция желательности 16, 51, 81, 135, 1431.

Под «желательностью» d понимают тот или иной желательный

уровень параметра оптимизации. Разработана специальная шкала желательности. Величина d может меняться от0до1. Шкала вы­

глядит следующим образом:

d = 1,00 — максимально возможный уровень качества. Этот

уровеньчасто неизвестен, иногда точно определен. Например часто неизвестно, какую максимальную прочность может иметь разрабатываемый сплав, но известно, что 0% горячеломкости, т. е. пол­ ное отсутствие растрескивания, — максимально возможный уровень качества но горячеломкости. Не всегда следует добиваться максимально воз­

26

Т а б л и ц а 1.3. Данные

для построения графика функции желательности (1.17)

сколь угодно много, переводятся в соответствующие желатель­ ности (d/), после чего формируется так называемая обобщенная функция желательности (D), представляющая собой среднее гео­ метрическое желательностей отдельных параметров оптимизации:

В результате обобщенная функция желательности оказывается единственным параметром оптимизации взамен многих.

Возможны два варианта перевода значений параметра опти­ мизации (например, того или иного свойства сплава) в соответ­ ствующие желательности. Выбор варианта определяется видом ограничений, установленных для данного свойства.

Если эти ограничения односторонние, т. е. имеют вид у < < //щах или у 3=5 */mln, то функция желательности выражается урав­

нением

(1.17)

• Дс/А — некоторая безразмерная величина, линейно (чаще всего),

27

Выбирая разные значения /г, можно задавать различную кри­ визну кривой желательности. Это обстоятельство позволяет учесть особую важность отдельных свойств: для них п будет иметь

большее значение, и малому изменению свойства вблизи ограничи­ вающих пределов будет соответствовать резкое изменение жела­ тельности.

Покажем использование функции желательности на следующем примере.

В одной из задач [143] изучали влияние состава и условий температурно-временной обработки на предел прочности при растя­ жении (//х), жидкотекучесть (т/2), горячеломкость (у3) и твердость (у4) синтетических чугунов. Требовалось получить чугун с пределом

прочности не менее 0,245 ГПа (25 кгс/мм2), при жидкотекучести (по спиральной пробе) не менее 750 мм, горячеломкости (по коль­ цевой пробе) не более 45 % и твердости НВ не менее 180 и не более

250. Таким образом, в трех случаях ограничения на свойства были односторонними: ух ^ 25; у%^ 750; у3 с 45; а в одном — дву­ сторонние: 180 < у4 < 250.

Некоторые результаты экспериментов приведены в табл. 1.4. Указанные здесь значения свойств переводили в соот­ ветствующие желательности dt в следующей последователь­

ности.

На рис. 1.6 показаны функции желательности (1.17) для свойств Ух> Уч и Узу а также функция (1.18) — для у4. Для последней рас-

23

Т а б л и ц а 1.4. Использование обобщенной функции желательности

считывали п, задав значению твердости НВ 200 величину d = 0,8.

Итак, в данном случае функция (1.19) имела вид

( 1.21)

Именно эта функция (1.21) и показана на рис. 1.6.

Далее установили линейную связь (отметим, что в общем случае она может быть и криволинейной) между iji и у\ с помощью репер­

ных точек. Например, для предела прочности необходимо полу­ чить 0,245 ГПа (уг ~ 25 кгс/мм2). Будем считать это желатель­

29

чения iji графически определяется соответствующая желатель­

ность Проиллюстрируем схему пользования полученной своеобраз­

ной номограммой (см. рис. 1.6). Например, у сплава 1 (табл. 1.4) ух = 14,4 кгс/мм2. На рис. 1.6 по пути, указанному стрелками, находим, что для ух = 14,4 dx = 0,14.

Таким образом найдены и в табл. 1.4 представлены соответ­ ствующие желательности для каждого свойства всех сплавов. Это позволяет установить обобщенную функцию желательности D ,

характеризующую уровень качества каждого сплава. Формула (1.16) в данном случае имеет вид

D = у/ dxd%d3dXm

Например, у сплава 1 (табл. 1.4) dx = 0,14; d2 = 0,25; d3 =

= 0,10; d4 = 0,02. Следовательно, D = y f 0,14 • 0,25 • 0,10 • 0,02 =

=0,09. Значения!) для всех сплавов также приведены в табл. 1.4. Краткое рассмотрение полученных результатов (табл. 1.4)

показывает, что, например, у сплава 1 все показатели низкие и, естественно, у него низкое значение D. Сплавы 2 и 3 — наиболее

прочный, но для них характерны низкие литейные свойства и вы­ сокая твердость, а потому плохая обрабатываемость резанием. В результате комплексный показатель их качества низок. У спла­ ва 4, наоборот, хорошие литейные свойства и удовлетворительная твердость, но низкая прочность, а потому и обобщенная функция желательности этого сплава невелика. Наконец, сплав 6 лучший в ряду рассмотренных именно потому, что имеет набор свойств, почти удовлетворяющий заданным ограничениям.

Следует отметить, что в задачах со многими параметрами оптимизации можно формулировать несколько обобщенных функ­ ций желательности, включая в них разные наборы свойств в зави­ симости от предъявляемых требований. Например, при разработке жаропрочных сплавов можно не включать в функцию желатель­ ности характеристики пластичности, если речь идет о литейных сплавах, и включать эти характеристики, если сплавы предпола­ гается сделать деформируемыми.

В работах [94, 7] изучали влияние методов вторичного рафини­ рования и чистоты шихты на качество сталей типа 30—35ХГСА. Рассматривали две обобщенные функции желательности. Одна из них служила для оценки качества стали без учета стоимости пере­ дела и включала наиболее важные стандартные характеристики механических свойств. Другая, кроме того, включала один из эко­ номических показателей и тем сахмым определяла стоимость от­ носительного прироста свойств с точки зрения металлургического производства. Естественно, что по разным функциям желатель­ ности способы плавки, рафинирования и чистота шихты распола­ гались в разные ранжировочные ряды.

30