о • • О |
♦ |
о| |
0 |
• • • 0 • * • |
0 |
JАо • • * Х-2 |
• • • Ag |
• |
• • |
|
|
|
|
|
|
А2 • *• 0 |
|
0 |
о |
•• о ♦ • • |
о |
0 • • • 0 |
0 |
|
|
|
• |
|
|
|
|
0 |
0 |
• • *А3 • • • |
0 |
0 • • • 0 • • • |
0 0 |
• • * 0 • • • |
0 |
|
0 |
0 • • * 0 • • • Х-2 0 |
*• • 0 |
|
0 |
0 |
• • • 0 |
• • • 0 |
|
0 |
о |
. . . 0 ••• |
0 |
А3• • • 0 |
••• |
о 0 • • • 0 |
• • • |
0 |
х тх = 4 |
0 |
0 *• • 0 • • ■ 0 |
0 • • • А3 • • • 0 |
0 |
.................. |
(3.14) |
|
• • • 0 |
• • • 0 |
|
0 |
0 • * * 0 |
* • • 0 |
0 . . . 0 • *. А3 0 • • • 0 |
• • * 0 |
|
Х-2 |
0 |
• • • 0 |
• • • 0 |
0 |
• • • 0 • • • 0 А^ ** • Ад • • • Ад |
|
А2 |
0 |
••• 0 |
• • • |
0 |
0 |
* • * 0 |
•** |
0 |
Ад |
• • * А4 • • • /Vg |
|
я2 |
0 |
• • • 0 • • • 0 |
0 *• • 0 |
• • • 0 |
А3 • • • Ад • • • А4 |
Информационная матрица точно такого же вида будет соот ветствовать любому симметричному плану (композиционному и некомпозиционному). Справедливо утверждение: план называется симметричным, если он имеет информационную матрицу типа (3.14), в которой все нечетные моменты равны нулю. Поэтому все формулы, которые будут выведены далее, справедливы для лю
бого симметричного плана. |
матрицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь найдем |
обратную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|0 |
• 0 |
... |
0 |
| 0 ... |
0 |
|
|
|
|
..-6 |
., |
|
|
|
|
|
0 |
I-* |
• |
|
..-6 |
в 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
l/Ag* *• 0 ... |
о |
0 ... |
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
•.•• |
|
0 |
••• |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
••■1М*... |
0 |
0 ... |
0 |
••• |
0 |
|
0 |
.. |
0 |
. |
0 |
0 |
0 |
.. • 0 ••-1А* |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
.. . |
0 |
••■ 0 |
0 |
0 |
• 0 |
... |
0 |
1/V-- |
о ... |
0 |
|
0 |
.. |
0 |
-■ |
|
|
|
|
|
|
■ |
|
• 0 |
(хтхГ1=-L |
0 |
• 0 ... |
0 |
0 .■1Дз- •• 0 |
|
0 |
■■• 0 |
.. • 0 |
0 |
|
0 |
0 |
■■. 0 |
■-• |
0 |
0 ... |
0 |
... 1/А3 |
0 |
.. . |
0 |
.. • 0 |
(3.15)
Осталось в соответствии с (2.16) и (2.19) выписать формулы для расчета коэффициентов регрессии:
(=1 U—1
N
|
~ |
N X . , S |
Х ‘и У и ' |
|
|
U |
-I |
|
|
и _ |
N |
|
|
|
I |
|
Ут |
|
|
и= 1 |
|
|
|
|
N |
|
N |
k |
N |
Ьц ~ N |
Х‘иУи — 7Г |
и= 1 |
Х1,Уи — 1ST \ i у“- |
|
и —1 |
i=\ |
и = 1 |
В случае, когда опыты дублируются, коэффициенты вают по формулам
Ьо = ~NдГ |
^V, пид и ------------- |
V V n ux i uy u- |
X |
«ни=1 |
|
2] п« ‘■=I ы=1 |
и=1 |
|
|
И=1 |
|
|
|
|
N |
|
|
ь ,= |
N |
|
Ут |
|
К |
V |
«ww==1 |
|
|
Уi— |
|
|
|
Ц=1 |
Л/ |
|
|
1 |
|
|
|
|
* //= |
А/ |
^ [ ft и |
У а* |
hУ Л«“=1
ы=1
|
|
|
JV |
9 |
_ |
|
Ь,: = |
\1 |
|
д/ |
> , |
ПиЪУи ~~ |
|
и |
|
Ы=1 |
|
|
Лг |
d |
А Л / |
. 9 |
_ |
|
ХЛ \ Л |
6 |
/V |
S |
ПиХ1иУи |
N |
П"У и ' |
У ntti=X 0=1 |
|
У |
|
ы =1 |
|
|
|
ы =1 |
"и
где у = ^ -----; g — номер дубля ы-го опыта; пи — число дублей
Пи
этого опыта.
В соответствии с (2.23) и (2.24) оценки коэффициентов опре деляются с дисперсиями и ковариациями:
9? |
- |
а |
о2 |
ч |
- |
N |
с2. |
|
|
1 |
'а = |
N h 3 |
|
Ь
а— - д Г ^ .
|
9? |
- |
1 |
О 2 . |
|
Ч |
_ |
N l 2 |
|
|
97 |
- |
с ~ |
d о 2 . |
|
* bu |
~ |
N |
|
|
cowb..b.. = |
d |
|
N |
|
|
u t l uU |
При дублировании опытов в формулах (3.21)
N
не на /V, а на 2J пи-
и =1
Свойства симметричных композиционных планов заметно за висят от величины звездного плеча а и числа опытов в центре плана п0.
3.2. СИММЕТРИЧНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ
Ортогональность упрощает вычислительные формулы и, что самое главное, дает возможность оценивать коэффициенты рег рессии независимо друг от друга. Чтобы это было возможным, необходимо информационную матрицу иметь диагональной. Но для симметричных композиционных планов второго порядка
вобщем случае информационная матрица (3.14) недиагональна. Таким образом, с помощью плана эксперимента типа указанного
в(3.8) оценить коэффициенты модели (3.3) независимо друг от друга нельзя.
Действительно, анализ матрицы (3.8) показывает, что
N |
|
|
N |
2 |
Х ° и Х ‘ и + |
0 11 £ |
X ‘ u X h * 0 > |
и — I |
|
U —1 |
так как х0и во всех |
опытах |
равно |
4-1, а неотрицательные вели |
чины х] не могут быть все равны нулю.
Добиться ортогональности можно с помощью следующего приема. Вначале необходимо преобразовать модель (3.3) к виду
( |
k |
\ |
k |
k |
к |
|
|
bo + h 2 |
Ьц |
+ 2 |
bixi + |
2 |
btfXtX, + 2 |
(3 -22) |
|
1= 1 |
/ |
i=l |
|
£ч/ |
1= 1 |
|
где К2 |
определяется |
из |
(3.12): |
|
|
|
к 2 = AT1V *?
^—1 U
и = 1
т.е. является средним квадратом значений любого фактора. Обозначим новые переменные
а новый |
свободный |
член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ьо -1- Я2 Xi Ьц — ^о- |
|
|
(3.24) |
|
|
|
|
|
|
t=i |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
модель |
(3.22) |
примет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
— ^0 Т" |
к |
"Т |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н- AL |
|
(3.25) |
|
У |
|
|
|
b i % i |
|
|
b i j X i X j |
|
V' |
Ь ц Х ( . |
|
|
|
|
|
i<i |
|
hmi |
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
1=1 |
|
|
Введение новых |
переменных |
х\ приводит к тому, что |
|
|
|
|
|
I |
|
|
Л/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х%х'ы = |
Ё |
|
Xia = |
|
°- |
|
|
|
|
|
|
И = 1 |
S |
|
|
|
|
Действительно: |
|
|
|
|
и = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Ё |
|
= |
и |
*>„ (*?„ - 4 |
= |
|
2£ *<>„*?„ “ |
Е я = |
|
ы=1 |
|
|
м—1 |
|
|
|
|
и=1 |
|
|
“=! |
|
|
|
|
|
|
|
м=1 |
|
|
|
= £*?„-ма= £*?и- I *?„ = о.
|
и = 1 |
|
|
и=1 |
ы=1 |
|
|
Теперь информационная матрица, соответствующая модели |
(3.25), будет иметь вид |
|
хтх = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1I0 .. .0 .. .0 ] 0 |
|
.. .0 . . .0 | |
0 ... |
0 ... |
0 |
0 х,...о ...0 |
0 |
|
...0 ...0 |
0 ... |
о ... |
о |
0 0 |
.. Ло.. .0 |
0 |
|
. ..0 . . .0 |
0 ... |
0 ... |
0 |
0 0 |
...0 .. Л2 |
0 |
|
...0 ...0 |
0 ... |
о ... |
о |
0 0 |
.. .0 .. .0 |
К3 |
. . .0 .. .0 |
0 ... |
0 ... |
о |
0 0 |
...0 ...0 |
0 |
|
. . Л3. ■-0 |
0 ... |
0 ... |
0 |
0 0 |
...0 ...0 |
0 |
|
... 0 ...Х3 |
0 ... |
0 ... |
о |
0 0 |
...0 ...0 |
0 |
...0 ...0 |
ь4-Ч--Л -Ч--Л -Ч |
0 0 |
...0 ...0 |
0 |
|
...0 ...0 |
^3 —■^2**’ |
- ^2 ***^3 |
^2 |
0 0 |
...0 ...0 |
0 |
|
...0 ...0 |
К - Ч- - - К - Ч- - - К - Ч |
|
|
|
|
|
|
|
(3.26) |
Для того чтобы сделать матрицу (3.26) диагональной, оста
лось принять |
|
К = Ч- |
(3.27) |
Это и есть условие ортогональности.
Выясним, в каком случае оно выполняется. Перепишем (3.27) в соответствии с (3.12):
N |
/ N |
|
N £ (х!х])и = |
Е |
(3.28) |
и—1 |
|
|
Из рассмотрения матрицы (3.8) |
видно, |
что |
N
Е Х1 = Л/,+ 2а3;
U=1
(3.29)
I (*?*/)« = ^1 •
Вспомним также, что по (3.7) N — Nx + 2k + п0. Подставив
все это в (3.28), получим
(N, + |
2k + |
п0) Nx = (N± + 2а2)2. |
|
Отсюда |
У (^1 + 2k + по) |
|
|
2 |
— #1 |
(3.30) |
а |
_ |
2 |
|
Таким образом, для того чтобы план стал ортогональным, опыты следует проводить на расстоянии звездного плеча а, вели
чину которого подсчитывают по (3.30). Величина же а |
будет ме |
няться |
в зависимости от числа |
опытов в ядре (Л^) и |
в центре |
плана (п0), а также будет разной |
для задач с различным числом |
факторов k. |
|
|
В табл. 3.2 приведены числовые значения а 2, подсчитанные |
в [104] |
для планов с разными k и п0. Во всех случаях, кроме |
k = 5, |
Nx = 2k. |
|
|
В связи с ортогональностью плана оценки коэффициентов модели (3.22) определяют независимо друг от друга по формулам
|
N |
|
N |
|
Ь'п = |
Е уи |
х1иУ“ |
и—1 |
• |
h. — ti=L |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
е л |
|
|
|
|
и=*1 |
(3.31) |
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
(xixj)u Уи |
S |
х‘«у» |
и —1___________ |
и=1 |
bИ |
|
|
» Ьц — |
.V |
I |
M |
l |
|
|
и =1 |
|
|
|
U =1
|
|
Т а б л и ц а |
3.2. Значения а2 |
|
|
k |
|
2 |
3 |
4 |
По |
5 (26—1 с l= X tX 2XsX4x 6) |
1,000 |
1 ,4 7 7 |
2,000 |
2 ,3 9 2 |
1 |
1 ,1 6 0 |
1 ,6 5 0 |
2 ,1 6 4 |
2 ,5 8 0 |
2 |
1 ,3 1 7 |
1 ,8 3 1 |
2 ,3 9 0 |
2 ,7 7 0 |
3 |
1 ,4 7 5 |
2,000 |
2 ,5 8 0 |
2 ,9 5 0 |
4 |
1 ,6 0 6 |
2 ,1 6 4 |
2 ,7 7 0 |
3 ,1 4 0 |
5 |
1 ,7 4 2 |
2 ,3 2 5 |
2 ,9 5 0 |
3 ,3 1 0 |
6 |
1 ,8 7 3 |
2 ,4 8 1 |
3 ,1 4 0 |
3 ,4 9 0 |
7 |
2,000 |
2 ,6 3 3 |
3 ,3 1 0 |
3 ,6 6 0 |
8 |
Если опыты дублируются, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
пиУи |
|
|
N |
nuxiugu |
t' |
|
|
|
1 ] |
/. |
|
1 ] |
|
|
U=\ |
. |
|
и—1 |
|
0[\ = |
|
|
N |
; |
& ,= |
Л/ |
|
|
|
|
|
|
2 > и |
|
|
И ««*?, |
|
|
|
|
м = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и“ 1 |
(3.32) |
|
|
лу |
|
|
|
|
|
/V |
|
|
|
|
|
|
|
|
"•*„»« |
|
|
|
|
п и (x ix j)u Уи |
|
b |
|
2 |
Ь-- - |
— |
N |
|
|
• |
— И=1 |
|
и Ч |
|
|
|
|
' |
и ч |
— |
N |
,9 |
|
|
l i |
пи (*ixl ) l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
И — |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М=1 |
Дисперсии оценок коэффициентов также рассчитывают по простым формулам:
|
|
S2 |
|
|
__ |
S2 |
|
|
S2/ — —L- |
|
^ |
’ |
|
^ bo — |
N |
’ |
|
~ |
N |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
о2 |
|
|
|
U=1 |
|
(3.33) |
|
|
|
. |
С2 |
__ |
S?. |
s iИ. ,= |
|
|
|
У |
|
N |
|
|
’ ‘Ч - / — |
N |
|
|
Е |
М |
2 |
|
|
|
S *;2 |
|
|
U—1 |
|
|
|
|
Н=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, при дублировании опытов, по формулам |
|
С2 |
__ |
|
- |
С2 |
_ |
|
|
|
^b'o — — |
’ |
|
— ~ |
|
|
|
|
X Пи |
|
|
£ |
|
|
|
И = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
о2 |
|
|
|
м—1 |
|
(3.34) |
|
|
|
|
|
|
|
s i ,l,j — |
N |
5У |
|
’ |
|
— |
Л/ |
|
|
|
|
|
Ковариации оценок коэффициентов модели (3.25), естественно, равны нулю.
После расчета коэффициентов и проверки (при необходимости) их статистической значимости от модели (3.25) к модели в обычной форме (3.3) переходят, рассчитав значение Ь0:
k |
|
bo = b'o - %2 Е bit. |
(3.35) |
1= 1 |
|
Поскольку коэффициенты Ьо и Ьи оценены независимо друг от друга, дисперсия S %0 определяется по закону накопления
ошибок:
s£, = + + Kl £ sl„. |
(3.36) |
1=1 |
|
Пример симметричного ортогонального плана второго порядка для двух факторов с тремя опытами в центре приведен в табл. 3.3.
Наиболее распространены симметричные ортогональные планы, содержащие всего один опыт в центре (п0 = 1). Характеристики
таких планов приведены в табл. 3.4.
|
|
|
Т а б л и ц а 3.3. Симметричный |
ортогональный |
план |
|
|
|
|
|
для |
k = |
2 |
(п0 = |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С*—* |
|
ечя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ^ со |
я |
|
|
Номер |
*0 |
|
|
*2 |
*1*2 |
W |
|
Примечания |
опыта |
|
|
«1 |
8 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ек1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
1 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
1Г |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ч? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
■ч<L ** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
> |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
« |
|
1 |
+ |
1 |
+ i |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ 0,397 |
+ 0 ,3 9 7 |
Ядро плана — |
2 |
+ 1 |
|
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
+ 0,3 |
97 |
+ 0 ,3 9 7 |
полный фак |
3 |
+ 1 |
|
+ i |
— 1 |
— 1 |
+ 0 ,3 9 7 |
+ 0 ,3 9 7 |
торный |
4 |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
|
+ 0 ,3 9 7 |
■4" 0,397 |
эксперимент |
5 |
+ |
1 |
V 1,317 |
|
0 |
0 |
|
+ 0,714 |
—0,603 |
Звездные |
6 |
+ 1 |
|
V 1,317 |
|
0 |
0 |
|
+ 0,714 |
—0,603 |
точки |
7 |
+ 1 |
|
0 |
~\~V 1,317 |
0 |
|
—0,603 |
+ 0,714 |
|
8 |
+ 1 |
|
0 |
— V 1,317 |
0 |
|
—0,603 |
+ 0,714 |
|
9 |
+ 1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
—0,603 |
—0,603 |
Опыты |
10 |
+ 1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
—0,603 |
—0,603 |
в центре |
11 |
■Ь 1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
—0,603 |
—0,603 |
|
С целью облегчения расчетов для указанных в табл. 3.4 планов заранее подсчитаны константы, которые также приведены в табл. 3.4 по данным [19]. В случае, когда опыты не дубли-
Т а б л и ц а 3.4. Характеристики некоторых симметричных ортогональных композиционных планов и вспомогательные константы
|
|
|
|
Число факторов (k) |
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
Ядро плана |
|
22 |
23 |
23 |
Полуреп- |
|
|
|
|
|
|
лика 25-11 |
|
|
|
|
|
|
O s |
Число |
опытов |
в ядре |
4 |
8 |
16 |
16 |
ш |
|
|
|
|
|
|
Звездное плечо |
(а) |
1,000 |
1,215 |
1,414 |
1,547 |
Число |
звездных |
точек |
4 |
6 |
8 |
10 |
т |
|
|
|
|
|
|
Число |
опытов в |
центре |
1 |
1 |
1 |
1 |
(«о) |
|
|
|
|
|
|
Общее число опытов (N) |
9 |
15 |
25 |
27 |
|
а\ |
|
0,11111 |
0,06667 |
0,04000 |
0,03704 |
|
а2 |
|
0,16667 |
0,09141 |
0,05000 |
0,04811 |
|
а3 |
|
0,25000 |
0,12500 |
0,06250 |
0,06250 |
|
а4 |
|
0,50000 |
0,23041 |
0,12500 |
0,07220 |
|
<*5 |
|
0,33333 |
0,25820 |
0,20000 |
0,19245 |
|
Д6 |
|
0,40825 |
0,30234 |
0,22361 |
0,21934 |
|
а1 |
|
0,50000 |
0,35355 |
0,25000 |
0,25000 |
|
|
|
0,70711 |
0,48001 |
0,35355 |
0,26870 |
руются, коэффициенты модели (3.25), их дисперсии и средне квадратичные ошибки считают по следующим формулам:
|
N |
|
|
N |
|
|
|
Ьо= |
й\ |
уи\ bi = а2 L l |
Xi$u\ |
|
|
и = 1 |
|
|
и |
N |
|
|
|
N |
|
bц -= |
x'ijju |
|
Ьцт=о% ^ |
|
V |
|
|
и= 1 |
|
|
|
u= 1 |
(3.37) |
|
|
|
|
Sbi = |
@2$у\ |
Sl'o = |
й'| 5 » ; |
Sb'0== |
asSb’ |
|
Sb. — OfiSyi |
~~ OsSy‘, |
Sbif = |
aiSy\ |
|
Sltl = a^y< |
sbu — asSy. |
|
|
Коэффициент Ь0 |
определяют |
по |
формуле |
|
а его дисперсию по формуле
(3.39)
Использование симметричных ортогональных композицион ных планов второго порядка проиллюстрируем следующим при мером.
Изучали механические свойства одного из алюминиевых де формируемых сплавов в зависимости от содержания в нем ли тия (Хх), температуры (Х2) и времени старения (Х3). В качестве отклика выбрали предел прочности сплавов, определявшийся при испытании на растяжение (у). По результатам параллельных
измерений, проведенных ранее, было установлено, что дисперсия
опыта Sy = 4,0 при числе |
степеней свободы |
= 10. |
|
Выбранные факторы, их интервалы варьирования и установ |
ленные уровни указаны в табл. 3.5. |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3.5. Уровни варьирования факторов |
|
|
|
Факторы |
|
|
Содержание |
Температура |
Время |
|
|
|
|
U , % |
старения, |
старения, ч |
|
|
|
|
|
|
|
°С |
|
Основной уровень (Х,-0) |
(АХ,) |
1.0 |
|
175 |
4 |
Интервал варьирования |
0,5 |
|
25 |
2 |
Верхний |
уровень {xt = |
+ 1 ) |
1,5 |
|
200 |
6 |
Нижний уровень (xt = |
— 1) |
0,5 |
|
150 |
2 |
Звездная |
точка |
~\-а (х^ — |
1,215) |
1,6 |
|
205 |
6,4 |
Звездная |
точка |
— a (xt — — 1,215) |
0,4 |
|
145 |
1,6 |
Прежде всего был реализован полный факторный эксперимент 23, состоящий из восьми опытов. Матрица планирования для этого случая указана в табл. 3.6 (опыты 1—8), здесь же приведены и результаты опытов (опыты не дублировали).
По формуле (2.12) были получены следующие оценки коэф фициентов регрессии:
|
Ь0 = 31,0; |
Ь1 = 2,25; |
6а = |
—2,0; |
Ь3 = 0; |
61а = |
3,75; |
|
|
^1з = |
— 1>75; |
= |
6,50; |
b^s3 = |
1,75. |
|
|
|
|
Дисперсия в определении этих коэффициентов |
S | |
— Sl/N |
= |
= |
4,0/8 = 0,5; |
соответственно S& |
= 0,71. При а = 0,05 |
и |
= |
= |
10 табличное значение |
t - критерия |
/о,о5 ; ш = |
2,23, |
поэтому |
по формуле (2.90) Аь. = 2,23-0,71 |
— 1,583. Поскольку |
все оценки |
коэффициентов по абсолютной величине больше Д^. (за исключе нием, разумеется, Ь3 — 0), их следует признать статистически
значимыми.
Была проверена гипотеза об адекватности линейной части полученной модели:
у = 31,0 + 2,25*! — 2,0х,,
