книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

^ x xx3\ ~-±-x2x3 и ± x xx2x3. Но в данном случае предполагается, что взаимодействие ххх2 значимо, поэтому его в генерирующие соотно­ шения включать нельзя. Припишем фактору х4 например, знаки

из них входит d факторов, в другую k—d . Требуется определить независимо друг от друга все k линейных эффектов, а также пар­

ные взаимодействия факторов каждой из групп между собой, т. е.

Предполагается, что все остальные эффекты взаимодействий незначимы.

Число членов модели (2.37)

эксперимент (N ^ /) и его эффекты взаимодействия заменяют до­

полнительными факторами так, чтобы факторы каждой группы не приравнивать каким-либо парным и тройным взаимодействиям факторов соответствующих групп. Кроме того, парные взаимодей­ ствия факторов обеих групп не должны совпадать.

Предположим в задаче изучаются семь факторов (k = 7 ).

Из априорных данных известно, что линейные эффекты всех фак­ торов должны быть значимы и ожидаются значительные парные эффекты взаимодействия трех и четырех факторов из рассматривае­ мых семи.

с числом опытов 32, так как 16 опытов эксперимента 24 недостаточно для оценки 17 коэффициентов модели (2.39). Запишем план 25 для факторов х г , х 2, х 3, х 4 и х ъ. Этот план позволяет получить для

91

факторов первой группы (xlt х2 и х3) оценку линейных эффектов

и парных взаимодействий независимыми друг от друга. Факто­ рам х8 и х7 в данном случае можно приписать любые взаимодей­ ствия плана 2 5, кроме взаимодействия поскольку х4 и лг3 входят в ту же группу, что хв и х7. Чтобы получить наибольшее

разрешение дробной реплики, приравняем хв, например, взаимо­

друга оценить все линейные эффекты, а также парные взаимодей­ ствия d факторов из k между собой и с оставшимися (k — d) фак­

торами, т. е. построить модель

Предполагается, что все остальные эффекты взаимодействий незначимы.

Число членов модели (2.40)

/ = 1 + k + Cl + d (k - d).

И опять основой плана является полный факторный экспери­ мент (N ^ /), эффекты взаимодействия которого заменяют допол­

нительными факторами. При этом генерирующие соотношения не должны включать каких-либо парных или тройных взаимодействий между d факторами, а также между одним или двумя фактором из d и (k — d) оставшимися.

Предположим в задаче изучаются девять факторов (k = 9 ).

Наиболее важными для экспериментатора являются три первых *ъ х2, х3 (d = 3). Необходимо оценить линейные эффекты всех

девяти факторов, а также эффекты парных взаимодействий первых трех между собой и с остальными. Эффекты более высоких поряд­ ков, а также парные взаимодействия факторов х4, х5, хв, х7, х8 и х9 предполагаются незначимыми. Таким образом, необходимо

построить модель

92

Ь28х2хв + b27x2x7 b28x2x8-f- bo$x2x9-f- Ьз4х3х4 - j - b3bx3x3-{"

Выберем полный факторный эксперимент 25 с числом опытов ЛА = 32 > 3 1 . Запишем его для факторов хъ х2, X3J х4 и х5. Линей­

ные эффекты и парные взаимодействия наиболее интересующих нас факторов х1( х2и х3 уже определяются независимо друг от друга. Факторам хв, х7, х8 и х9 в данном случае можно приписать любые взаимодействия плана 25, кроме хгх2, х4х3, х2х3, х^Хд, хгх4, хах5, х2х4, х2х5, х3х4, х3х5, xxx2x4f ххх2х5, xxx3x4f х4х3хь, х2х3х41 х2х3х5. Из остав­ шихся взаимодействий приравняем факторам хб, х7, х8 и х9 взаимо­

оценки коэффициентов модели (2.41) независимыми друг от друга. В заключение укажем на интересный способ достаточно про­ стого определения возможности выбора дробного факторного плана, позволяющего оценивать эффекты, априори наиболее важ­ ные для экспериментатора. Обычно, чтобы узнать, можно ли из выбранного плана 2й_^оценить нужные эффекты, приходится много­ кратно перебирать различные варианты смешивания эффектов, задаваемые разными определяющими контрастами. При этом в ито­ ге часто выясняется, что при выбранной дробности реплики нуж­

ной системы смешивания нет.

Предположим, требуется из плана 2к—р оценить линейные эф­

печивающего получение раздельных оценок коэффициентов при переменных х0, хъ ..., xkt хк+ъ ...» xk+mt необходимо, чтобы число элементов хъ ..., хь хк+ь ..., хк+т для каждого zk+j и для про­

изведений, включающих все возможные комбинации сомножи­ телей zk+jy не было равно 2 к~р — 2 или 2 к~р — 3 (как обычно, х,-

в четной степени равно 1, а* в нечетной х,).

Это условие является необходимым, но не является достаточным. Проблема нахождения соответствующего достаточного условия пока не решена.

93

Отметим, что если т <: 2к~р— k — 4, то необходимый план 2к~р

существует всегда.

вать для решения поставленной задачи. Действительно, если для переменных хъ х2, х3 записать полный факторный эксперимент 23,

линейные эффекты и коэффициенты при парных взаимодействиях хгх2, х2х3 и х2х4 независимо друг от друга.

3. Задача та же, что в примерах 1 и 2, но требуется оценить эффект взаимодействия ххх2хах4. В этом случае zb = ххх2х3х4х5

содержит 5 элементов, и поэтому план 24' 1 использовать нельзя. 4. В задаче с девятью переменными (k = 9) требуется оце­

нить все линейные эффекты и коэффициенты при взаимодействиях

ххх31 хьхв1 хгх7, х2х9, х4хъи x2xsx9. Можно ли это сделать из плана 29"5? В этом случае т = 6 = 29~5 — 9 — 1, 29-5 — 2 — 14 и 29“5 —

верить, что любые комбинации сомножителей zk+j не содержат 14

или 13 элементов, поэтому план 29-5 можно попытаться использо­

циента при взаимодействии ххх3 требуется оценить эффект взаимо­ действия х2х3. Тогда z10 = х2х3хХ0, a zlx — z15 останутся без изме­ нений. Но в этом случае оказывается, что zx9zxlzx2zx^x4zxb =*

94

В заключение отметим, что при практическом использовании описанного приема следует рассматривать только те комбинации сомножителей гй+/, в которых суммарное количество элементов не меньше, чем 2 к~р — 3.

Описанные выше регулярные реплики факторного экспери­ мента 2к в ряде случаев содержат слишком большое число опытов. Предположим, варьируются шесть переменных (k = 6), каждая

на двух уровнях. Из априорных данных известно, что отклик за­ висит не только от линейных эффектов факторов, но и от их пар­ ных взаимодействий. Эффектами более высоких порядков, скорее всего, можно пренебречь. Следовательно, необходимо строить мо­ дель

Построить эту модель можно либо с помощью полного фактор­ ного эксперимента 2е, требующего 64 опыта, либо с помощью ре­

лику 26“2 уже использовать нельзя, так как 16 ее опытов недоста­ точно для определения 22 коэффициентов модели (2.42).

Но оказывается можно поставить меньше 32 опытов, если воспользоваться нерегулярной репликой от полного факторного эксперимента 2*, состоящей из нескольких регулярных. В общем случае число опытов в такой нерегулярной реплике будет

лярные реплики 26"3, получив нерегулярную реплику с числом опытов

(2.42).

Общая процедура построения нерегулярных реплик l/2f от полного факторного эксперимента 2 к описана в работе [122]

(см. также [33]).

В табл. 2.8 приведены наиболее употребительные нерегулярные реплики 3/2Р от полного факторного эксперимента 2к. Для по­

строения нерегулярной реплики следует в каждом случае объе­ динять указанные в табл. 2.8 регулярные реплики с соответствую­ щими генерирующими соотношениями. Составим, например, 3/4- реплику от полного факторного эксперимента 24. Как следует

95

эффекта)

и 6e8 ортогональны)

из табл. 2 .8 , она включает 1 2 опытов и получается объединением следующих трех регулярных реплик 2 4-2:

Естественно, что для факторов хг и хг в каждой из этих регуляр­

ных реплик должен быть записан полный факторный экспери­ мент 2 2

Построенная таким образом 3/4-реплика для четырех факторов, варьируемых на двух уровнях, приведена в табл. 2.9.

С помощью этого плана можно теперь построить модель (2.43), включающую линейные члены и все парные взаимодействия. При k = 4 число членов модели (2.43) равно 11, и 12 опытов нерегуляр­

ной реплики (табл. 2.9) достаточно для оценки всех коэффициен­ тов этой модели. Отметим, кстати, что ту же модель можно построить и за 16 опытов полного факторного эксперимента 2 4, но не с по­ мощью полуреплики от него 2 4"1, включающей только 8 опытов.

Т а б л и ц а 2.9. Нерегулярная 3/4-реплика от факторного эксперимента 24

Матрицы рассматриваемых нерегулярных реплик неортого­ нальны, а потому линейные эффекты факторов и эффекты взаимо­ действий оцениваются частично смешанными друг с другом. В табл. 2.8 для каждой нерегулярной реплики указаны группы частично смешанных эффектов. В каждую такую группу должно входить не более трех эффектов. Если их оказывается больше, приходится предполагать, что некоторые из них незначимы. В ряде

100