книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

Поэтому с его помощью можно составлять дробные реплики, вклю­ чая до шести новых факторов. Действительно, если взять генера­ торы

F 3 = а д 2;

'2 г-2

F6 = а д ; F7 = F,F\\ F&= F'iFl

то можно получить дробную реплику З8'6, включающую девять опытов и позволяющую построить, по крайней мере, линейную мо­ дель (разумеется, при предположении о незначимости всех взаимо­ действий и квадратичных эффектов факторов)

*= I

Рассмотрим способ получения обобщенного определяющего контраста в случае, когда не один, а несколько новых факторов приравниваются взаимодействиям.

Предположим, в задаче изучается влияние четырех факторов, каждый на трех уровнях, и вместо полного факторного экспери­ мента З4, содержащего 81 опыт, решено выполнить дробную реп­ лику 34~2, включающую всего девять опытов. Составим такой план.

Вновь его основой будет полный факторный эксперимент З2, состоящий из девяти опытов (табл. 2.15).

Кроме того, возведем каждый из этих контрастов во вторую сте­ пень и с учетом соотношений (2.62) получим еще определяющие

Осталось записать обобщенный определяющий контраст, вклю­ чающий контрасты (2.66) и (2.67), а также все их произведения по два, по три и т. д.:

О = F .F /l = F flF l = F\F\Fa = F\F2F4 = F\F\Fl = F ^ F , =

=F2FaFl = FXF,Fa.

Врезультате система смешивания эффектов после реализации выбранной реплики З4"2 оказывается следующей (в масштабе /■’,):

F, = F\FJl = F\F\F] = а д = = FIFl = FlF\F\F4t

= FxFJ\Fl = F\F,F,-

F„ = F XF \F I = а д — а д 3 = ^ а д 4 = а д 2а д : = а д 4

= F\t\Fl = FXFJ\F V

111

идругих; эффект Х3 сильнее ХхХ2 и других; эффект Х4 сильнее

Х2 Х3 и других; эффекты Х2, ХхХ3, Х хХ4, Х3Х4 и X 2 сильнее сме­

шанных с ними взаимодействий.

Планы полного факторного эксперимента s* и дробного sk~p, как и планы 2k и 2 симметричны и ортогональны. Поэтому коэффициенты моделей считают по формуле (2 . 1 1 ), а их диспер­

сии — по (2.27). Однако, прежде чем делать это, необходимо осу­ ществить переход от натурального масштаба факторов X t к коди­

рованному.

В том случае, когда уровни факторов равноотстоящие, для их кодовых обозначений лучше всего выбирать коэффициенты орто­ гональных полиномов Чебышева. В табл. 2.17 приведены неко­ торые коэффициенты полиномов Чебышева [116] и показано, ка­ ким уровням главных эффектов они ставятся в соответствие.

Уровни эффектов взаимодействий получают перемножением уровней главных эффектов. Например, если в плане З2 (табл. 2.5) уровням Fi и F2 поставить в соответствие уровни линейных эф­ фектов (х/): — 1,0,1, а уровням F2 H F2 — уровни квадратичных эф­ фектов (г*): 1 , —2 , 1 , то в кодовом масштабе матрица планирования

будет иметь вид, показанный в табл. 2.18.

Общий случай установления кодированных значений уровней факторов, включающий рассмотренный выше, как частный, а также последовательность обработки экспериментальных данных при этом будут рассмотрены на примерах в п. 2.5.7 и 2.5.8.

112

Т а б л и ц а 2.17. Коэффициенты ортогональных полиномов Чебышева, поставленные в соответствие главным эффектам факторов

Т а б л и ц а 2.18. Матрица планирования З2 в кодовом масштабе

Несомненный интерес представляют многофакторные планы, систематизированные и подробно обсужденные В. 3. Бродским [15— 17]. Им рассмотрен общий случай проведения многофактор­ ного эксперимента, когда варьируются разнотипные факторы, ко­ торые могут быть как количественными, так и качественными на разном числе равностоящих или иеравностоящих уровней для построения модели, являющейся требуемой из априорных сообра­ жений частью полинома (2.57). Именно для этого случая оказы­ вается удобным использовать факторные планы, сведенные В. 3. Бродским в каталог, приведенный в приложении VII. Ката­ лог содержит несколько тысяч планов. Он состоит из трех разделов.

В разделе VII. 1 указаны вспомогательные матрицы, с помощью которых строятся собственно планы. Вспомогательные матрицы обозначены D //N , где N — число опытов. Столбцами этих матриц

113

метричные планы различной мощности, а также компромиссные планы. Равномерными называют планы, в которых уровни лю­ бого фактора встречаются одинаковое число раз. Симметричные планы — планы, в которых все факторы имеют одинаковое число уровней. Мощность плана определяет систему смешивания оценок эффектов. Планы мощности 2 допускают получение попарно орто­ гональных главных эффектов (это так называемые планы главных эффектов); планы мощности 3 — получение главных эффектов, ортогональных друг к другу и двухфакторным эффектом взаимо­ действий; планы мощности 4 — получение попарно ортогональных главных эффектов и двухфакторных эффектов взаимодействий (помещенные здесь же планы полного факторного эксперимента обеспечивают получение ортогональными всех эффектов взаимо­ действий). Компромиссные планы дают возможность оценить по­ парно ортогонально все главные эффекты и некоторые, указанные в каталоге, двухфакторные эффекты взаимодействий.

тора на s£ уровнях, максимальный порядок главного эффекта, который можно оценить, равен s£— 1 .

Например, требуется построить модель главных эффектов, вплоть до эффектов второго порядка, для четырех факторов

Поскольку в данном случае s — 1 — 2, число уровней, на ко­ торых необходимо варьировать факторы, s ~ 2 + 1 = 3 . Иско­

мая модель включает девять членов, поэтому число опытов не мо­ жет быть меньше девяти. Таким образом, необходимо составить план эксперимента, состоящий не менее чем из девяти опытов для четырех факторов, каждый из которых варьируется на трех уров­ нях. В каталоге оказывается подходящим план № 9, условное обозначение которого 34//9, где 9 — число опытов плана. Этот план представляет собой четыре столбца вспомогательной матрицы D//9.

В другом примере, предположим, изучается влияние восьми факторов. Априори известно, что первый из них влияет на отклик только линейно, влияние же остальных нелинейно. В этом случае имеет смысл строить на первом этапе следующую модель главных эффектов, включающую 16 членов:

Следовательно, первый фактор необходимо варьировать на двух уровнях, остальные — на трех. Число опытов плана не мо­

114

жет быть меньше 16. Для этого случая в каталоге оказывается под­ ходящим план № 18, обозначение которого 2x37/18. Этот план представляет собой первые восемь столбцов вспомогательной мат­ рицы DII18.

Еще в одном примере предположим, что изучается влияние пяти факторов. Известно априори, что все они влияют на отлик нелинейно. Кроме того, ожидаются значительными эффекты

до второго порядка, факторы следует варьировать на трех уровнях. Число опытов плана не может быть меньше 16. Для этого случая в каталоге оказывается подходящим план № 59, обозначение ко­ торого 37/27. Реализация 27 опытов этого плана позволит получить попарно ортогональные главные эффекты и парные эффекты взаимодействия первого фактора с остальными. План пред­ ставляет собой 1—3, 8 и 9-й столбцы вспомогательной матри­

цы £7/27.

Планы, приведенныевразделеVII.2 ,являются D -оптимальными, т. е. обеспечивают получение минимального объема эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов модели, и Q-оптимальными, т. е. обеспечивают получение минимальной средней дисперсии предска­ зания значений отклика в заданной области факторного про­ странства.

Раздел VI 1.3 содержит таблицы преобразований равномерных планов, указанных в разделе VI 1.2, для получения различных планов главных эффектов.

Под каждым преобразованием записаны строки, показывающие, какие столбцы преобразования (отмечены звездочками) следует использовать в том или ином случае. Например, с помощью пре­ образования № 2 можно один четырехуровневый фактор преобра­

зовать либо в три двухуровневых (2а: 4 —» 23), либо в два двухуров­ невых (26: 4 22), либо в один двухуровневый (2в: 4 >2); а с помощью преобразования № 3 можно четырехуровневый фактор преобразовать либо в один трехуровневый и один двухуровневый (За: 4 >3 x 2 ), либо в один трехуровневый (36: 4 —+ 3) и т. д. В ре­ зультате оказывается возможным строить различные планы для факторов, варьируемых на разном числе уровней.

Рассмотрим пример. Предположим, что в задаче варьируются пять факторов. Влияние первых трех (Хь X 2i Х 3) ожидается ли­

нейным, влияние двух остальных (Х4, Х 5) — нелинейным. Оче­ видно, что первые три фактора следует варьировать на двух

115

уровнях, два остальных — на трех. Решено построить следую­ щую модель главных эффектов:

5 5

У= К + £ btX t Ч- % ЬНХ1

1—1 1—4

Следовательно, число опытов должно быть не меньше девяти. По­ пробуем построить план 23 х 3 2//9. Будем это делать в следующей

последовательности. Найдем в разделе VI 1.2 каталога план, под­ ходящий по числу опытов. Им будет план № 9 3 4/ / 9 (табл. 2.19).

С помощью преобразования 2а заменим фактор F1 на два двухуровневых: Fj и F', а с помощью преобразования 26 - фак­ тор Fo на F,':

Факторы F3 и F4 оставим без изменений: F3 —>FI и F4 - >F1. В ре­ зультате получаем план главных эффектов 23 х 3 3//9 (табл. 2.19).

После построения плана можно оценить его близость к Q-оптимальному с помощью коэффициента эффективности ф [17]:

мого с помощью r-го преобразования; фг — коэффициент эффектив­ ности г-го преобразования (указан в каталоге в конце строки каж­ дого преобразования); при тождественном преобразовании фг = 1 .

116

Т а б л и ц а 2.20, Варианты преобразований плана 5в//25 в план 26Х 3 2Х 43 /25

t = - — з - 2 3 3 ^ ° ’8 3 -

1 ~ 4 + W + ОЖ + Т + Т

В отличие от рассмотренного примера в большинстве случаев существует несколько вариантов преобразований. Тогда для каж­ дого из них рассчитывают коэффициент эффективности и выбирают тот план, для которого ф возможно ближе или равен единице.

Предположим, требуется составить план эксперимента для за­ дачи, в которой изучается влияние 1 1 факторов. Первые шесть

из них варьируются на двух уровнях, следующие два — на трех, а остальные три — на четырех. Таким образом, после реализации плана можно будет построить следующую модель главных эффек­ тов:

Модель эта содержит 20 членов, следовательно число опытов плана не может быть меньше 20. С учетом необходимости иметь

степени свободы для проверки адекватности модели, общее число опытов в плане должно быть 25—30. Выберем из раздела VII.2 каталога план 5V/25 и преобразуем его в требуемый нам план 26х 3 2х 43//25. Вариантов преобразований оказывается несколько.

118

ф= 0,84.

Та б л и ц а 2.21. Преобразование плана 5®//25 в план 2°ХЗгХ43//25

Последовательность обработки данных при использовании рассматриваемых планов показана на примерах в п. 2.5.7 и 2.5.8.

2.4. ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЕГО РЕЗУЛЬТАТОВ

После выбора плана переходят непосредственно к эксперименту. Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызван­ ных внешними условиями (например, неточным контролем темпе­

119

ратуры, изменением типа сырья, участием разных людей в про­ ведении эксперимента и др.)» рекомендуется опыты, заданные планом эксперимента, проводить р а н д о м и зи р о в а н о во времени,

т. е. в случайной последовательности. Порядок проведения опытов можно выбирать, например, по таблице случайных чисел.

При организации эксперимента следует учитывать необхо­ димость иметь о ц ен к у д и сп ер с и и о п ы т а SJ. Эта дисперсия может

быть известна и до начала опытов, например, по аналогичным ранее проведенным работам, но обычно ее оценивают в процессе эксперимента. Единственная возможность это сделать — повто­ рять (дублировать) опыты.

Под дублированием здесь понимается не серия измерений в од­ ном опыте («несколько образцов на точку»), а полное повторение опыта: приготовление сплава заново, новое проведение всех технологических операций его обработки и т. д. Схемы статисти­ ческой обработки результатов экспериментов при проведении как дублирующих опытов, так и серий измерений в каждом опыте подробно рассмотрены, например в работах В. А. Вознесенского (191.

В зависимости от характера дублирования возможно несколько способов оценки дисперсии.

Если все опыты, заданные планом, выполняют по одному разу, а о д и н из них (чаще в центре плана) дублируют несколько раз,

то дисперсию опыта рассчитывают по формуле

П

Число степеней свободы — понятие, учитывающее в статисти­ ческих ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Это число определяется как разность между числом выполненных опытов и числом констант (средних, коэф­

Пример расчета дисперсии опыта в рассмотренной ситуации см. в п. 2.5.3.

Другие способы предполагают дублирование всех или неко­ торых опытов плана. При этом число повторений может быть нео­ динаковым (неравномерное дублирование) или одинаковым (рав­ номерное дублирование).

120