книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

I Ьшденпые но результатам опытов Коэффициенты bx и Ь2

Определяют направление градиента для данной аппроксимирую­ щей плоскости, т. е. направление изменения содержания алюми­ ния и тантала в сплаве, приводящее к возможно более быстрому повышению прочности сплава. Сделав несколько опытов в этом направлении, т. е. осуществив крутое восхождение по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения (от­ сюда название метода), исследователь выбирает новую исходную точку s7> возле которой вновь проводит аналогичную серию из четырех опытов, рассчитывает коэффициенты нового линейного приближения теперь уже вблизи точки s7:

У= Ьо+ Ь\хх+ Ь2х2

и осуществляет движение по градиенту этого уравнения. Дви­ жение по градиенту производят до попадания в область оптимума, после чего строят и анализируют нелинейную модель этой области. На рис. 1 градиент совпадает с прямой, перпендикулярной изо­ линиям, т. е. с самым крутым склоном, ведущим от данной точки к вершине. Для поверхности отклика, показанной на рис. 1, ока­ залось достаточно двух серий опытов, чтобы при крутом восхож­ дении найти состав наиболее прочного сплава.

Даже рассмотренный пример показывает, что планирование эксперимента принципиально отличается от традиционного экс­ периментирования. При планировании используется многофактор­ ная схема эксперимента, когда эффект влияния какого-либо фактора оценивается по результатам всех опытов. При традицион­ ном экспериментировании (изменении одного фактора при осталь­ ных постоянных) используется однофакторная схема, при которой эффект влияния фактора оценивается лишь по некоторой части опытов. Многофакторная схема существенно эффективней. По­ кажем это на простом примере 175].

Предположим, что необходимо определить массу трех образ­ цов Л, Б и С. Рассмотрим два способа проведения эксперимента.

Ипервом случае схема взвешивания будет такой, как показано

мтабл. 1. Здесь первый опыт представляет собой холостое взвеши­ вание, т. е. по сути дела, определение нулевого положения весов.

Следующие опыты — поочередное взвешивание каждого из

образцов. В данном случае масса образца оценивается по результа­ там только двух опытов: того опыта, в котором взвешивается обра- в’И, и холостого. Например, масса А у2 — ух.

Схема взвешивания во втором случае показана в табл. 2. Здесь в первом опыте взвешивают все три образца вместе (хо­

лостое взвешивание не производится), а в следующих — каждый

иоIдельности. В этом случае массу образца оценивают по резуль­

та т всех опытов. Действительно, например, масса А равна

У1 + У2 — У3 — У4

1

Г Л А В А

ПРЕДПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Этап предпланирования эксперимента предполагает решение вопросов, связанных с постановкой задач. Термин «предпланироиппие» был предложен Ю. П. Адлером [3].

Решение экспериментальной задачи всегда оказывается тем более эффективным, чем более определенно задача поставлена. Хотя в ряде случаев этап предпланирования имеет самостоятель­ ное значение (см. примеры в данной главе), основной его целью является выбор зависимых и независимых переменных.

При формулировке задачи исследователь должен иметь ясное, четкое, однозначное представление о цели работы. Объект иссле­ дования должен быть управляемым. В ряде задач технологии ме­ таллов на это требование'следует обращать особое внимание. На­ пример, ставя задачу поиска оптимального в каком-то смысле сплава, необходимо отдавать себе отчет в том, что придется гото­ вить сплавы строго определенного химического состава. Если спла­ вы многокомпонентные, очевидно, потребуется принять специаль­ ные меры для того, чтобы точно попадать в заданный состав. Если по каким-либо причинам сделать это трудно, методы планиро­

Зависимая переменная (отклик, выход, целевая функция, параметр оптимизации) должна удовлетворять ряду требований. Желательно, чтобы она была единственной, однозначной, в экстре­ мальных задачах действительно определяла экстремум, характери­ зовалась числом (при этом допустимы ранговые оценки типа сорт, балл, класс и др.), имела ясный физический смысл, отличалась статистической эффективностью, была однозначной в статистиче­ ском смысле, имела экономическую природу (в экстремальных и компромиссных задачах).

Большинство из этих требований ясны и очевидны. Все же отметим, что статистическая эффективность требует выбора за­ висимой переменной, определяемой с наибольшей точностью. Например, в качестве характеристики пластичности для хрупких

13

материалов следует выбирать относительное удлинение, а для пластичных — относительное сужение.

Однозначность в статистическом смысле означает, что задан­ ному набору значений независимых переменных должно соответ­ ствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение за­ висимой.

Множество значений, которые может принимать зависимая переменная, называют областью ее определения. Эти области мо­ гут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неогра­ ниченными. Исследователь должен уметь измерять зависимую переменную при любых возможных комбинациях выбранных уров­ ней независимых.

В технологии металлов редко решаются задачи с одной зависи­ мой переменной. Параметров оптимизации, как правило, имеется много, особенно в экстремальных задачах. Действительно, напри­ мер, при разработке литейных сплавов обычно недостаточно, чтобы они имели только высокую жидкотекучесть. Они должны также не растрескиваться при литье, иметь определенные усадоч­ ные свойства и, разумеется, отвечать заданным требованиям по механическим свойствам, герметичности, коррозионной стойкости

ит. д.

Вэтих ситуациях прежде всего необходимо попытаться умень­ шить число определяемых экспериментально параметров оптими­ зации, лучше всего до одного. Если же это не удается, приходится решать задачи с несколькими параметрами.

Известно довольно много попыток разработать способы умень­ шения числа параметров.

Прежде всего следует оценить уровень априорной информации об изучаемом явлении (процессе). Лучше всего для этого исполь­ зовать метод априорного ранжирования, который подробно будет

рассмотрен ниже, в разделе, посвященном выбору факторов, там же он будет проиллюстрирован примером выбора единственного пара­ метра оптимизации из многих при решении одной из задач из об­ ласти технологии металлов.

Далее можно рассмотреть возможность переформулировки задачи, или сведения ее к последовательности задач. Другими словами, вместо решения сразу большой задачи, требующей опти­ мизации по многим параметрам, можно попытаться решать ряд более простых задач с одним конкретным параметром оптимиза­ ции. Предположим, требуется разработать сплав возможно более жаропрочный, но в то же время технологичный при обработке давлением и обязательно сваривающийся.

Решение задачи можно представить себе в следующей последо­ вательности. Прежде всего, выбирают состав и режим термической обработки, обеспечивающие возможно более высокий уровень жаропрочности сплава. Далее факторы уточняют с тем, чтобы обес­ печить возможность деформирования сплава. Имея жаропрочный и деформируемый сплав, можно теперь искать оптимальные

14

условия его сварки. Так, одна задача сводится к последователь пости задач, каждая из которых имеет четко определенный пара метр оптимизации: вначале жаропрочность, далее деформируе мость и затем свариваемость.

1.1.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

Значительную помощь в ситуациях со многими параметрами оптимизации может оказать установление статистических связей между параметрами с помощью корреляционного анализа [81]. ('уть этого приема заключается в определении коэффициентов парной корреляции между каждыми двумя параметрами на осно­ вании имеющихся экспериментальных данных. При наличии вы­ сокой корреляции между параметрами любой из них можно исклю­ чить из рассмотрения, так как он не содержит какой-либо допол­ нительной информации об объекте исследования, кроме получен­ ной с помощью другого. Исключать, естественно, надо те параметры, которые методически труднее определять экспериментально или физический смысл которых менее ясен.

Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами. В общем случае его величина может меняться от 0 до ± 1 . Если коэффи­ циент корреляции равен 0, связь либо вообще отсутствует, либо отлична от линейной. Если он равен ± 1, связь является линейной— функциональной. Наиболее важны случаи, промежуточные между полной корреляцией и отсутствием корреляции. Здесь коэффи­ циент корреляции выражает ту долю вариации одной из перемен­ ных, которая связана с изменением значений другой. Естест­ венно, чем ближе величина коэффициента корреляции к 1, тем ('вязь сильнее; чем ближе к 0, тем связь слабее. Знак коэффи­ циента корреляции указывает на направление связи: увеличение одной из переменных при положительной корреляции влечет за гобой увеличение, а при отрицательной корреляции — уменьше­

возможных формул для расчета коэффициента парной корреля-

16

N N N N N

Y У1и' Y Уги'■> Y У1иУги5 Y У ?’ Г 1/1,/

После расчета коэффициентов парной корреляции устанавли­ вают их статистическую значимость (точнее, проверяют гипотезу об отличии вычисленного значения коэффициента от нуля). С этой целью по таблицам распределения коэффициентов корреляции (см. приложение 1) находят при выбранном уровне значимости а (вероятности практически невозможных событий, обычно прини­

если | ГраСч | 5* Гкр.

Существуют и более простые способы расчета коэффициента корреляции. Один из них [1201 требует небольшой вычислитель­ ной работы и дает результаты близкие или, по крайней мере, ле­ жащие в доверительных интервалах коэффициента корреляции, вычисленного стандартным способом по формуле (1.1).

16

При подсчете размахов следует учитывать знаки получающихся величин.

Формулы для расчета коэффициента парной корреляции в этом случае имеют следующий вид:

Можно пользоваться любой из этих формул, но формула (1.5) предпочтительней, так как она требует знания размахов и сумм, и разностей.

После установления статистически значимых корреляцион­ ных связей между парой параметров оптимизации можно построить уравнение регрессии, позволяющее предсказывать один из пара­ метров по другому. Если, например, предполагается предсказы­ вать у%по значениям экспериментально определенного y lf то строят

следующее линейное уравнение регрессии:

то формулы для расчета коэффициентов модели (1.6) следующие:

17

Рассмотрим несколько примеров применения корреляционного анализа для поиска статистических связей между параметрами оптимизации.

В одной из задач 110, 142] изучали литейные свойства сталей 25Л и 45Л. Для стали каждой плавки определяли эксперимен­ тально жидкотекучесть (Ж), объем (Кур) и высоту (Яур) усадочной раковины, усадочную микропористость (ф/х). Кроме того, значе­ ния последнего свойства оценивали расчетом (ф/л;р) [10]. По дан-* ным имевшихся плавок по формуле (1.1) рассчитали коэффициенты корреляции между каждой парой свойств. Результаты расчетов сведены в табл. 1.1 (эта таблица симметрична, так как rytyf = = гyjyt). Анализ был проведен по 17 плавкам (N = 17). Следова­ тельно, f = 17—2 = 15, и при а = 0,05 гкр = 0,482. Все стати­

стически значимые коэффициенты (т. е. равные 0,482 или большие) отмечены в табл. 1.1 звездочкой.

Т а б л и ц а 1.1. Коэффициенты парной корреляции между свойствами углеродистых сталей 25J1 и 45Л

Выявленные с помощью корреляционного анализа линейные связи между свойствами можно теперь графически интерпретиро­ вать в виде графа (рис. 1.1), представляющего собой фигуру, со­ стоящую из точек (называемых вершинами) и отрезков (прямо­ линейных или криволинейных, называемых ребрами), соединяю­ щих некоторые из вершин. Вершинами графа в данном случае яв­ ляются свойства, каждое ребро графа указывает на наличие ста­ тистически значимой линейной связи между двумя вершинами.

Анализ полученного графа показывает, что все литейные свой­ ства изученных сталей статистически связаны между собой, правда, иногда не прямыми связями. В результате оказывается возможным выбрать в качестве параметра оптимизации расчетные значения микропористости, а уже по этим значениям оценивать уровень всех остальных свойств.

Следует отметить существенное свойство корреляционных свя­ зей: они в подавляющем большинстве случаев не являются при­ чинными. В этой связи, попытка найти ответ, например, на вопрос, почему жидкотекучесть связана с расчетными значениями пори­ стости, может оказаться бесплодной. Скорее всего, оба эти свойства

18

пнимения микропористости соответственно

экспериментальные и расчетные

зависят не прямо друг от друга, а через какие-то другие факторы. Нижио лишь то, что по значениям одного из этих свойств можно оценить уровень другого.

Но формулам (1.7) и (1.8) были рассчитаны коэффициенты мо­ дели (1.6). Оказалось, что зависимости жидкотекучести (Ж), объема (Кур) и высоты (Яуг) усадочной раковины, а также усадоч­ ной микропористости (ф/я) от расчетных значений микропори­

Итак, в данном случае корреляционный анализ помог упро­ стить задачу и выбрать всего один параметр оптимизации: расчет­ ные значения микропористости. Полученную возможность трудно переоценить. Оказывается, оптимизацию литейных свойств вы­ бранных сталей можно проводить вообще без эксперимента, только по расчетным значениям микропористости. Разумеется, оптимальные условия приготовления сталей следует в дальнейшем проверить в опыте.

И другой задаче [49] проводили оптимизацию составов и ре­ жимов контролируемой прокатки стали типа 14Г2ФБ. Получен­ ные в работе экспериментальные данные по определению различ­ ных механических свойств сталей подвергли корреляционному анализу.

Изучали связи между пределами прочности ав и текучести от,

ударной вязкостью при —40° С, определенной на образцах с круг­ лым ай40 и острым <Хн\1 надрезами.

Коэффициенты корреляции рассчитывали по формуле (1.5). Критические значения коэффициента корреляции при числе сте­ пени свободы / = 16 оказались: 0,468 для доверительной вероят-

19

кроме ат/ав, образуют связный граф. При Р = 95% наибольшее число связей имеет твердость, однако при Р = 99% пропадают

корреляции, связывающие твердость с характеристиками ударной вязкости, и на первое место по числу связей выходит предел проч­ ности. При Р = 99,9% из графа выделяется кроме ат/(Ув еще и Тк. Тем не менее даже и при Р = 99,9% все остальные свойства нахо­

дятся в связном графе. Интересно отметить, что характеристики сопротивления металла пластической деформации (ств, crT, HRB)

в целом лучше коррелируют с остальными свойствами по сравне­ нию с характеристиками способности металла пластически дефор­

вязкость при —40° С, определенная на образцах с круглым над­

надрезом (ай4?), начиная с Р = 99%, не коррелирует ни с какими

другими свойствами, кроме ан .

При графическом анализе графов можно подсчитать только число имеющихся связей, но нельзя учесть величины коэффициен­ тов корреляции. В то же время следующим этапом корреляцион­ ного анализа является установление свойства, наиболее общего из рассматриваемой группы, а это, естественно, требует учета и абсолютных значений рассчитанных коэффициентов.

20