книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

экспериментов найти состав сплава, отличающегося наиболее высоким уровнем свойств.

Метод случайного баланса состоит из последовательного вы­ полнения ряда этапов, подробное описание которых можно найти в литературе [81, 59, 125, 107].

Метод случайного баланса, несмотря на отсутствие теоретиче­ ского обоснования (хотя в настоящее время некоторые попытки сделать такое обоснование делаются [70, 64]), достаточно часто применяют при решении различных технических задач, в том числе и в области технологии металлов. Отметим только некоторые из них.

В работе ИЗО] с помощью метода случайного баланса выби­ рали факторы, наиболее сильно влияющие на брак определенной группы стальных отливок. По четырехбалльной шкале оценивали такие дефекты отливок, как усадочные раковины, горячие трещины и подкорковые пузыри. Ответственными за эти дефекты предпо­ лагали семнадцать факторов: семь, связанных с составом сплава; семь — со свойствами формовочных смесей; один — с техноло­ гией формовки; два — с методами очистки. Всего было выполнено 32 опыта. Оказалось, что на каждый тип дефектов влияют только два-три фактора.

Примерно аналогичная задача выявления факторов, наиболее сильно влияющих на плотность отливок при центробежном литье, решалась в работе [18].

Предел прочности чугуна и длину графитных включений в нем в зависимости от 13 элементов химического состава, а также от температуры перегрева расплава и разницы температур перегрева и заливки, изучали в работе [35]. Всего 16 опытов случайного баланса оказалось достаточным, чтобы выявить характер изме­ нения структуры и свойств чугуна и рекомендовать наиболее

для выделения доминирующих факторов мартеновской плавки. Исследование проводили в мартеновской печи емкостью 480 т, работающей скрап-рудным процессом. В 24 опытах было изучено влияние 1 2 технологических факторов на продолжительность

плавки от начала завалки до расплавления. Оказалось, что про­ должительность плавки более всего зависит от протяженности периодов завалки, прогрева и заливки чугуна, а также от коли­ чества известняка в завалку и расхода воздуха в плавление. Было выделено также и несколько парных эффектов, на которые

вязкость по-разному раскисленной стали. Реализация 16 опытов позволила установить наиболее существенное положительное влия­ ние очищенности шихты от серы и фосфора, а также некоторых парных взаимодействий, среди которых, в частности, оказалось

61

соотношение между силикокальцием (раскислителем) и марган­ цем; температурой заливки и скоростью охлаждения.

Две серии отсеивающихся экспериментов, посвященных вы­ бору факторов, определяющих магнитные свойства сплавов типа алнико после термической обработки с изотермической выдерж­ кой в магнитном поле, было выполнено в работе [5]. В первой серии варьировалось 10 переменных, во второй — 13. Для ре­ шения задачи было выполнено 16 опытов первой серии, допол­ ненных еще некоторым числом опытов второй серии. Особен­ ностью работы являлось то, что анализировали не только линей­ ные и парные, но и эффекты тройных взаимодействий факторов. Интересно, что уже в отсеивающем эксперименте удалось выбрать состав сплава, отличающегося высокими магнитными свойствами.

Из проведенного авторами работы 147] отсеивающего экспе­ римента, в котором изучалось влияние 15 легирующих добавок на ударную вязкость, твердость, жидкотекучесть и трещинопоражаемость жаростойких аустенитных и аустенитно-ферритных сталей, удалось также дать предварительные рекомендации об оптимальных составах сталей. Лишь семь основных легирующих

При создании новой инструментальной стали холодной штам­ повки в работе [2 1 ]с помощью метода случайного баланса изучили

влияние девяти легирующих элементов на различные механиче­ ские свойства сталей. После выполнения 8 опытов удалось разо­

браться в характере влияния легирующих элементов и выбрать наиболее перспективные.

В уже упоминавшейся работе [22] комплексный показатель качества, определявшийся значениями твердости и электропро­ водности сплавов меди с никелем и кремнием, изучали методом случайного баланса в зависимости от 14 легирующих добавок, вводимых в сплавы. После проведения 16 опытов из 105 линейных эффектов и парных взаимодействий удалось выделить лишь че­ тыре наиболее сильно меняющих отклик в нужную сторону.

Отметим еще две работы. В работе [1] методом случайного баланса было изучено влияние легирующих элементов и режима термической обработки на теплоустойчивость стали Х5, в работе [45] — после реализации 16 опытов выявлен из 10 изученных всего один легирующий элемент, сильно влияющий на темпера­ турный коэффициент электросопротивления палладийсеребряного сплава.

По мнению В. В. Налимова 177], метод случайного баланса представляет собой попытку формализовать те психофизиологи­ ческие приемы выделения существенных факторов, которыми пользуются экспериментаторы, основываясь на своих знаниях, опыте и интуиции.

Интересный способ обработки данных пассивного эксперимента приемами, используемыми в методе случайного баланса, пред­

62

ложен в работе [73 ]. Как известно, пассивный эксперимент можно проводить в любых производственных условиях, причем часто можно ограничиться просто использованием технической доку­ ментации. Однако для обработки этих данных, как правило, необходима вычислительная техника. В то же время активный эксперимент можно проводить не во всяких производственных условиях, но для обработки его результатов используют простой математический аппарат. Предложенный своеобразный пассивно­ активный метод случайного баланса использует данные пас­ сивного эксперимента, которые обрабатываются по методу слу­ чайного баланса. Проиллюстрируем эту идею на примере.

В одной из задач изучали зависимость ударной вязкости при —60° С (у) от состава одной из конструкционных легированных

цементуемых сталей. Результаты опытов, проведенных в разное время и для разных целей, сведены в табл. 1.17. Всего изучали влияние семи легирующих элементов (факторов). Вначале под­ считали средние арифметические значения по каждому из факто­ ров. Средние значения считали с точностью, на один знак после

Т а б л и ц а 1.17. Зависимость ударной вязкости при —60° С легированной стали от состава

6 3

запятой большей, чем точность, с которой задан фактор в исход­ ной таблице. Далее, каждое конкретное значение фактора сравни­ вали со средним значением и ставили в соответствующую клетку таблицы знак «+», если значение фактора оказывалось больше среднего, и знак «—» в случае, когда конкретное значение было меньше среднего. Например, для фактора хх среднее арифмети­ ческое хх = 0,229; в 1-м опыте (табл. 1.17) хх = 0,21, что меньше 0,229, поэтому вместо 0 , 2 1 ставится «—»; во 2 -м опыте хх = 0,28,

что больше 0,229, поэтому вместо 0,28 ставится знак «+» и т. д. Таким образом, получается преобразованная табл. 1.18, внешне похожая на матрицу случайного баланса с варьированием фак­ торов на двух уровнях + 1 и — 1 .

Т а б л и ц а 1.18. «Матрица случайного баланса» в задаче изучения ударной вязкости при —60° С легированной стали

Отметим, что можно получить таблицу, похожую на матрицу планирования активного эксперимента, и когда факторы варьи­ руются на трех уровнях. В этом случае выделяют конкретные значения факторов, отличающиеся от средних значений на средне­ квадратичную ошибку опыта и обозначают эти значения нулевым уровнем.

Полученные таблицы (например, табл. 1.18) позволяют исполь­ зовать обычную технику метода случайного баланса. Практика показала, что несмотря на то, что они построены по данным пас­ сивного эксперимента, выбор наиболее сильно влияющих факторов

большей размерности. Идея его заключается в том, что все мно­ жество изучаемых факторов, варьируемых на двух уровнях, разбивают на отдельные подмножества, каждое из которых рас­ сматривают далее как отдельный комплексный фактор. В первой

64

серии опытов все факторы находятся на верхнем уровне. Ком­ плексные факторы, не давшие существенного эффекта, признают незначимыми и исключают из дальнейшего рассмотрения. Остав­ шиеся факторы вновь разбивают на подмножества — новые ком­ плексные факторы (уже более мелкие) и цикл опытов повторяют. Полученные после каждого цикла результаты позволяют выби­ рать оптимальные планы для реализации следующего цикла. Описанную процедуру повторяют до выявления всех существен­ ных факторов. Подробно алгоритм последовательного отсеивания описан в работе 144 ], а различные способы разделения факторов на группы — в работе [60]. Отметим, что предпосылками к исполь­ зованию метода являются наличие только небольшого числа значимых факторов, причем эффекты их должны существенно превышать ошибку опыта и эффекты всех остальных незначимых факторов, а также малая ошибка эксперимента, т. е. хорошая воспроизводимость опытов.

В заключение укажем, что в настоящее время существуют и другие способы экспериментального отсеивания факторов. Наиболее интересными из них являются приемы комбинаторного анализа (использование латинских, греко-латинских и более сложных квадратов, прямоугольников, кубов; сочетание их с дробным факторным экспериментом и Др.), особенно важные при анализе большого количества качественных дискретных факторов (см. например, [65—67 ]), а также приемы дисперсион­ ного анализа, в котором значимость факторов оценивается их вкладами в дисперсию отклика (см., например, [9 3 , 116, 251).3

3 Новик Ф. С ., Арсов Я. Б.

2

ГЛАВА

ФАКТОРНЫЕ ПЛАНЫ

2.1. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВЫХ ФАКТОРОВ И ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда в задаче варьируются только два фактора: х1 и x2t причем каждый на двух

уровнях + 1 и — 1. Все возможные комбинации факторов будут исчерпаны в следующих четырех опытах, указанных в табл. 2 . 1 .

В1-м опыте оба фактора находятся на верхнем уровне; во 2-м фактор хх— на нижнем, а фактор х2 — на верхнем и т. д. Такие

таблицы обычно называют матрицами планирования экспериментов.

Вобщем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным фак­ торным. Если число уровней каждого фактора равно двум, то

Существует несколько способов построения матриц полного факторного эксперимента. Один из наиболее простых заключается в следующем: при любом k необходимо повторить дважды матрицу планирования для случая k — 1 сначала при значении k-ro фак­

тора на верхнем уровне, а затем на нижнем. Последовательное достраивание матриц полного факторного эксперимента при уве­ личении k от 2 до 5 показано в табл. 2.2. Для простоты записи

единицы здесь опущены, оставлены только знаки. Первые от­ черкнутые четыре опыта представляют собой матрицу 2 а (см. также табл. 2.1). Далее они еще раз повторены, и в столбце х3

66

Т а б л и ц а 2.2, Матрицы полного факторного эксперимента от 22 до 25

V

т. е. сумма элементов любого столбца матрицы планирования равна нулю. Во-вторых, эти планы нормированы:

т. е. сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов.

Рассмотрим теперь вид математической модели, которую можно построить после реализации опытов полного факторного экспе­ римента.

67

Отметим, что, вообще говоря, любую модель из рассматривае­

(Cl — число сочетаний из k по 2 ), то получим однородное линей­

ное уравнение

fe+ci+fe

и нелинейные по факторам, но всегда линейные по неизвестным коэффициентам.

Для вычисления коэффициентов модели (2.3) обычно исполь­ зуют метод наименьших квадратов. Полученные с его помощью оценки коэффициентов обладают некоторыми оптимальными в ста­ тистическом смысле свойствами: состоятельностью, несмещен­ ностью, эффективностью и достаточностью. Оценка коэффициента состоятельна, если при увеличении объема выборки она прибли­ жается к истинному значению коэффициента; несмещенна, если математическое ожидание ее равно оцениваемому значению коэф­ фициента; эффективна, если оценка характеризуется минимальной дисперсией; достаточна — если включает максимум информации

68

окоэффициенте (подробней обо всех этих свойствах см., например,

в[108]).

При использовании метода наименьших квадратов минимизи­ руется следующая функция:

N

где уи и уи — соответственно экспериментальные и рассчитанные по уравнению (2.3) значения у в и-м опыте; N — общее число

опытов.

Перепишем уравнение (2.4), введя в него фиктивную пере­

После дифференцирования и простейших преобразований по­ лучим так называемую систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:

Решение системы дает оценки неизвестных коэффициентов модели (2 .6 ).

Составим систему (2.8) для случая полного факторного экспе­ римента, записанного в табл. 2.3. Оказывается, что некоторые члены уравнений, входящие в систему, равны нулю. Действи­ тельно, легко видеть, что

Указанное обстоятельство является весьма важным. В общем случае в рассматриваемых планах сумма почленных произведений

69

любых двух разных столбцов матрицы планирования равна нулю, т. е.

Условие (2.9) носит название ортогональности.

В результате использования такого ортогонального плана

Оказывается, что для расчета коэффициентов bt не нужно

собственно решать эту систему. Каждый коэффициент опреде­

70