книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

241

исключать из модели коэффициенты Ь0 и Ъп без пересчета осталь­

ных нельзя. Пересчет ведут по формуле (2.16). Методика про­ верки адекватности полученной модели описана в разделе 2.4.

Рассмотрим пример применения симметричного некомпози­ ционного плана Бокса—Бенкена.

С целью повышения эксплуатационных свойств некоторых изделий, требовалось получить возможно более высокую твердость в поверхностных слоях стали 40ХФА после ее азотирования. Варьировали режим предварительной термической обработки и температуру азотирования. В качестве факторов выбрали тем­

служила твердость поверхностных слоев образцов по Виккерсу.

Условия опытов (табл. 3.22) в данной задаче были выбраны не случайно. Априорная информация позволяла считать, что исходный основной уровень уже находится в области оптимума. Применение процедуры композиционного планирования с после­ довательной достройкой линейного плана до плана второго по­ рядка было в данном случае нецелесообразно.

Воптимальной области твердость с изменением режимов тер­ мической обработки изменяется, скорее всего, нелинейно. Поэтому решили строить квадратичную модель типа (3.3).

Вкачестве плана эксперимента выбрали некомпозиционный

план Бокса—Бенкена. Матрица планирования, составленная с помощью указанной выше сбалансированной блок-схемы, при­ ведена в табл. 3.23. Все заданные планом опыты были выполнены. Время выдержки при закалке, отпусках и азотировании во всех случаях было одинаковым. Опыты не дублировали, поскольку центральный опыт повторяли трижды. Результаты определения твердости стали 40ХФА после разных режимов термической обработки указаны в табл. 3.23.

243

Коэффициенты регрессии, рассчитанные по формулам (3.56) с учетом констант, приведенных в табл. 3.21, оказались следу­ ющими:

Тройное повторение опыта на основном уровне (опыты 25— 27 в табл. 3.23) позволило по формуле (2.69) рассчитать дисперсию опыта. Она оказалась S y2 = 129 при числе степеней свободы f4 — 2,

Т а б л и ц а 3.23. План Бокса— Бенкена

По формулам (3.57) определили дисперсии и среднеквадратич­ ные ошибки оценок коэффициентов регрессии, а также их кова­ риации:

243

соотношения между температурами стабилизирующего отпуска и азотирования, то, поскольку коэффициент Ь34 отрицательный, эти температуры надо менять в изученных интервалах в разные стороны: при снижении температуры азотирования повышать температуру стабилизирующего отпуска и наоборот.

Результаты поиска оптимальных температур обработки, обес­ печивающих возможно более высокую твердость, приведены в разделе 3.8.

3.7. НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОЧТИ ИЛИ ПОЛНОСТЬЮ НАСЫЩЕННЫЕ ПЛАНЫ

До сих пор были рассмотрены симметричные планы. Напом­

ним, что в информационной матрице (ХТХ) таких планов все не­ четные моменты равны нулю. Это обстоятельство приводило к ряду полезных свойств, описанных выше. Вместе с тем отказ от сим­ метричности позволяет строить планы в некоторых отношениях более эффективные.

Одним из критериев оптимальности планов можно считать число опытов в них. В подавляющем большинстве случаев экспе­ риментатор стремится к тому, чтобы опытов было как можно меньше. Оказалось, что можно построить планы, число опытов в которых либо равно числу коэффициентов строящейся модели, либо не намного больше.

Одними из наиболее экономных по числу опытов являются планы, предложенные Хартли [136]. Их достоинствами являются, кроме того, близость к D -оптимальным планам и композиционный принцип построения.

Как и все композиционные планы, они состоят из ядра, звезд­ ных точек и опытов в центре. Цель выполнения опытов ядра, которые при композиционной стратегии проводятся на первом этапе, — определить независимо друг от друга все коэффициенты при линейных членах и парных взаимодействиях. Сделать это можно только, если используется полный факторный эксперимент или главные полуреплики, начиная с размерности k = 5. Так

составлены описанные выше симметричные ортогональные и ро­ татабельные планы. Но эти планы содержат слишком большое число опытов. Оказалось, что на ядро плана можно наложить значительно менее жесткие условия. Действительно, если исполь­ зовать в качестве ядра такую реплику, что коэффициенты при линейных членах можно оценить только совместно, то добавление затем звездных точек делает столбцы x t линейно независимыми.

Кроме того, если использованная реплика дает смешанные оценки линейных эффектов и парных взаимодействий, то добавление звездных точек вновь позволяет разделить эти эффекты. Однако, если парные взаимодействия смешаны между собой, то звездные точки не меняют ситуации, и в полном плане второго порядка

245

эти эффекты оказываются все равно смешанными. Отсюда остается только одно требование к плану ядра: это должна быть реплика, дающая возможность оценить коэффициенты при парных взаимо­ действиях независимо друг от друга.

Такому требованию отвечают реплики, обладающие тем свой­ ством, что в определяющем контрасте для них отсутствуют одно-, двух- и четырехбуквенные взаимодействия. Так, в задачах с k — 3

в качестве ядра можно использовать дробную реплику 23 1 с опре­

значения числа коэффициентов полной квадратичной модели (3.3) и числа опытов в планах Хартли в зависимости от размерности факторного пространства.

Очевидно, что наиболее удовлетворительными в смысле числа опытов можно считать планы Хартли для задач с числом факто­ ров 2—6. Для задач с k — 5, 7, 9 планы, подобные планам Хартли,

получены Вестлейком [147]. Чтобы уменьшить число опытов, ему пришлось воспользоваться нерегулярными дробными репли­ ками, описанными в разделе 2.2. Для задач с k = 5 берется 3/8-реп-

Т а б л и ц а 3.24. Число коэффициентов полной квадратичной модели и числа опытов в планах Хартли

В частности, их нельзя сделать ортогональными или ротатабель­ ными (за исключением плана для k = 5) путем подбора звездного

плана а. Поэтому величины звездных плеч и число опытов в центре определяют из других соображений. В работах [9, 34, 109] в ка­ честве критериев оптимальности планов выбрали максимизацию величины определителя информационной матрицы (критерий D -

оптимальности), минимизацию максимальной (критерий G-опти­ мальности) и средней (критерий Q-оптимальности) дисперсии пред­ сказания значений отклика в заданной области. Различали планы

246

для области эксперимента, представляющей собой многомерный куб или многомерную сферу.

Характеристики некоторых, лучших с точки зрения указанных критериев, планов Хартли на кубе и на сфере, по данным [34], приведены в табл. 3.25. План на кубе для k = 4 см. ниже в при­

мере. Для планов на сфере звездное плечо выбрано таким обра­ зом (а > ^ 1), чтобы точки, отвечающие вершинам куба, имели координаты ^ 1 . Отметим, что в работе [109] планы на сфере со­ ставлены так, что звездные плечи во всех случаях равны =ul, а вершины куба поэтому имеют координаты меньше ^ 1 . Между тем в работе [30], из сравнения по D- и G-оптимальности 68 пла­ нов на сфере для к — 2—8 и 55 планов на кубе для к = 3— 11,

был сделан вывод, что лучшими являются те, которые имеют звездные плечи больше 1 (этой величины требуют планы на кубе),

но меньше \ k (звездное плечо для планов на сфере).

2 4 7

Структуры информационной матрицы и матрицы ошибок пла­ нов Хартли подробно проанализированы в работе [34]. Оказа­ лось, что в информационной матрице могут появляться нечетные моменты, отличные от нуля. В результате такие планы оказы­ ваются несимметричными. Но несимметричными планы Хартли становятся только в том случае, когда определяющий контраст дробной реплики ядра плана представляет собой трехбуквенное

ного взаимодействия (соответственно с bjh Ьп и Ьц). Остальные же коэффициенты b0, biit а также линейные эффекты и парные

взаимодействия, не входящие в трехбуквенный определяющий контраст, можно оценивать по обычным формулам симметричного планирования (3.19)—(3.21).

В том случае, когда планы Хартли образованы на основе дробной реплики с определяющим контрастом, не содержащим трехбуквенного взаимодействия, план становится симметричным (все моменты третьего порядка оказываются равными нулю). Тогда все коэффициенты регрессии, их дисперсии и ковариации можно рассчитывать по формулам симметричного планирования (3.19)—(3.21).

С целью облегчения расчетов для указанных в табл. 3.25 планов заранее подсчитаны вспомогательные константы, приве­ денные по данным [34] в табл. 3.26. В этом случае коэффициенты модели (3.3) считают по следующим формулам:

248

Коэффициенты b0 и Ьи оценивают по формулам (3.65) во всех случаях. Коэффициенты Ь£ и Ьи для факторов, не входящих

в трехбуквенное соотношение определяющего контраста, считают по формулам (3.66). Оценки коэффициентов Ь£ и b}i для факторов,

входящих в трехбуквенное соотношение определяющего кон­

циенты Ьъ Ь2, Ь3, Ь12, Ь13 и Ь23 — по формулам (3.67). После реали­ зации плана Хартли для k — 5 все коэффициенты bt и b£j- считают

по формулам (3.66) и т.д.

Дисперсии и ковариации коэффициентов с помощью вспомога­ тельных констант оценивают по формулам

Неортогональность планов Хартли требует осторожности при проверке статистической значимости коэффициентов регрессии. После расчета по формуле (2.90) их доверительных интервалов и проверки по (2.91) или (2.92) гипотезы о равенстве коэффициен­ тов нулю из модели нельзя исключать без пересчета остальных уже не только статистически незначимые Ь0 и Ьи, как в случае

других описанных выше неортогональных планов второго порядка, но и незначимые коэффициенты Ь* и bji*

В такой ситуации полезным может оказаться прием упроще­ ния найденной модели последовательным исключением коэффи­ циентов регрессии, объединенных в группы [77, 30]. Проверка адекватности модели осуществляется по общей методике, описан­ ной в разделе 2.4.

Укажем теперь еще две группы полностью насыщенных планов, число опытов в которых в точности равно числу членов квадратич­ ной модели (3.3).

Рехтшафнер [144] предложил такого рода планы, представ­ ляющие собой выборки строк из полного факторного экспери­ мента 3fe. Способ построения планов ясен из табл. 3.27. В план включаются точки множеств I—IV из этой таблицы. Пример плана Рехтшафнера для k — 5 приведен в табл. 3.28. Квадратичная модель для k = 5 имеет 21 член, столько же опытов содержит

и план в табл. 3.28. Расчет коэффициентов моделей в этом случае ведется либо по общей формуле (2.16), либо с помощью вспомога­ тельных матриц, имеющихся в каталоге [28].

Планы Хартли и Рехтшафнера имеют достаточно хорошие свойства по ряду критериев оптимальности. В частности,

250