книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

Дисперсия неадекватности, рассчитанная по формуле (2.96),

С целью получения адекватной модели было решено допол­ нить реализованную матрицу планирования 23 звездными точками и выполнить опыт в центре плана, совершив таким образом ком­ позиционный переход к плану второго порядка. Выбрали сим­ метричный ортогональный композиционный план второго порядка

Для того чтобы сделать эту матрицу ортогональной, в соот­ ветствии с (3.23) вместо столбцов х\ введены столбцы новых пере­

Следовательно, х\ — х\ — 0,73.

Результаты опытов в звездных точках (опыты 9— 14, табл. 3.6) и в центре плана (опыт 15) также указаны в табл. 3.6.

Далее, по результатам всех пятнадцати опытов матрицы пла­ нирования (табл. 3.6) с помощью формул (3.37), пользуясь кон­ стантами аь приведенными в табл. 3.4, рассчитали все коэффи­

циенты регрессии, их дисперсии и среднеквадратичные ошибки, а затем по формуле (2.90) доверительные интервалы для каждой группы коэффициентов:

212

Аь11 = ^o,o5; ioSbtt — 2,23*0,960 = 2,141.

Сравнение абсолютных значений рассчитанных коэффициентов с их доверительными интервалами показывает, что статистически значимыми можно признать b2y b12, b1St br6 и Ьп .Остальные

коэффициенты из модели можно исключить. Затем по формуле (3.38) подсчитали Ь0:

Л0 = 30,27 - § ^ . 3 , 2 1 = 27,93

Итак, уравнение регрессии имеет вид

у — 27,93 — 1,91лг, -f- 3,75AI.V2 — 1,75x^3 — 6,50х2х3 -f- 3,21xj,

(3.40)

где, в соответсвии с условиями данного эксперимента (табл. 3.5), кодированные (х() и натуральные (X ) значения факторов связаны

соотношениями (1.24):

Представление результатов экспериментов полиномом второй степени оказалось оправданным — значительная часть нелиней­ ных членов здесь значимо отличается от нуля. При проверке адекватности модели (3.40) оказалось, что рассчитанная по фор­ муле (2.96) дисперсия неадекватности S£eад = 12,85 при числе степеней свободы, определенном по формуле (2.97), /2 = 15 — 6 = = 9. Расчетное значение F-критерия по формуле (2.95) /?расч =

=12,85/4 = 3,21, что меньше табличного при 1%-ном уровне

значимости э; ш = 4,95). Гипотеза об адекватности полу­ ченного уравнения регрессии не отвергается. Анализ этой модели приведен в разделе 3.8.

213

3.3. СИММЕТРИЧНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ РОТЛТАБЕЛЬНЫЕ ПЛАНЫ

В случае использования любого симметричного плана дис­ персия отклика, предсказанного по построенной модели, опре­ деляется следующим выражением [53]:

Отсюда видно, что соответствующие модели предсказывают значение отклика в разных направлениях факторного простран­ ства с разной точностью.

Вместе с тем оказалось, что можно построить план, обеспечи­ вающий получение модели, предсказывающей значение отклика с одинаковой дисперсией во всех точках факторного пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Как уже отме­ чалось в гл. 2, такого рода планы получили название ротатабель­ ных. Особенно удобно ротатабельные планы применять в тех слу­ чаях, когда эксперимент проводится в области экстремума, но точные координаты экстремальной точки еще предстоит найти. Тогда ротатабельность обеспечивает равные возможности для поиска экстремума в разных направлениях. Кроме того, было показано, что ротатабельные планы минимизируют систематиче­ скую ошибку, возникающую вследствие неадекватности функции отклика, когда полином второго порядка применяется для аппрок­ симации поверхности, являющейся на самом деле поверхностью

214

Это и есть условие ротатабельности плана.

Действительно, используя соотношения (3.43) и (3.44), можно получить из (3.41) формулу, показывающую, что дисперсия предсказанного значения отклика зависит только от радиуса сферы

Выясним, в каком случае выполняется условие (3.47). Пере­ пишем его в соответствии с (3.12):

откуда следует формула для вычисления звездного плеча сим­

210

сия предсказания сравнительно мало меняется (или совсем не меняется) в радиусе от центра плана до ± 1 значений факторов

вкодированном масштабе, или, что то же самое, на участке 0 <

Сг < 1. Показано [53], что для того, чтобы это условие выпол­ нялось, величину Кз надо брать в виде положительного корня

уравнения:

в табл. 3.7, то дисперсия предсказанного значения отклика ока­

удобно в тех случаях, когда центр эксперимента находится вблизи экстремальной точки, например внутри указанного шара.

Другой подход позволяет сделать ротатабельные планы орто­ гональными. Для этого требуется лишь, чтобы выполнялось усло­

Таким образом, число опытов в центре п0 для ортогональных

ротатабельных планов подсчитывают по формуле получающейся из (3.52) при А* = 1:

Расчет по формуле (3.52) в некоторых случаях дает дробные значения /г0, поэтому их приходится округлять до ближайшего целого числа, несколько нарушая тем самым условия униформности или ортогональности. Однако эти отклонения оказываются столь незначительными, что ими можно пренебречь [53].

Характеристики наиболее распространенных симметричных ротатабельных композиционных планов приведены в табл. 3.8. Там же приведены значения ^з, позволяющие оценить степень близости плана к строго униформному (сравнивать с Хз, указан­ ными в табл. 3.7) и строго ортогональному (в этом случае Ц = 1).

216

217

Расчет коэффициентов моделей после реализации ротатабельцых ортогональных планов, а также оценку дисперсий коэффи­ циентов проводят по тем же формулам (3.31)—(3.34), что и для случая ортогонального планирования.

Кроме того, коэффициенты моделей после реализации планов, указанных в табл. 3.8, удобно рассчитывать по формулам

а их дисперсии, среднеквадратичные ошибки и ковариации — по формулам

Sb0— ^7*5^; Sbi — c3Sy\ Sb. —

Вспомогательные константы с£ подсчитаны заранее и для

планов из табл. 3.8 указаны в табл. 3.9.

При использовании ротатабельных, как, впрочем, и всех опи­ сываемых ниже неортогональных планов, появляются особен­ ности в статистическом анализе полученных результатов. В част­ ности, после расчета доверительных интервалов коэффициентов по формуле (2,90) и сравнения их с абсолютными значениями коэффициентов, исключать из модели без пересчета остальных

218

Продолжение табл. 3.9