оптимальными оказываются планы, указанные в табл. 2.57. Матрица каждого из этих планов должна включать также столбец х0, состоящий из -1 -1 .
При использовании указанных в таблице планов расчет коэффи
циентов линейной модели проводят |
по уравнениям |
[31] |
N |
N |
|
|
|
Ц Уи |
Щ £ |
\ У и |
|
k). (2.146) |
6 , = |
— ^ |
------ ; |
(* = 1, 2, . . ., |
Дисперсии коэффициентов оценивают из выражений |
S2 |
6 2S2 |
|
(2.147) |
S l = = - f ; ^ |
= 4 |
г ; (i = l. 2, . . . . k). |
Дисперсию опыта Sy2 приходится определять по специально
поставленным дублированным опытам. Статистическую значи мость эффектов проверяют по ^-критерию.
Применение симплекс-планов первого порядка проиллюстри руем следующим примером.
Изучали разнозернистость штампованных заготовок из нике левого сплава ХН77ТЮР в зависимости от температур штамповки и рекристаллизационного отжига, а также от режима последующей упрочняющей термической обработки, всего от k = 6 факторов.
Требовалось выяснить, какие факторы наиболее сильно влияют на величину зерна штампованных заготовок.
В качестве плана эксперимента выбрали симплекс-план первого
порядка для |
k = 6 (табл. |
2.57). |
|
|
|
|
|
|
Основные уровни, интервалы и уровни варьирования факторов, |
рассчитанные |
по |
формуле |
(1.24), указаны |
в |
табл. 2.58, план |
|
Т а б л и ц а |
2.58. Уровни варьирования факторов |
|
|
|
|
Темпе- |
Темпе- |
Темпе |
Время |
|
Темпе |
|
|
|
|
ратур а |
|
Время |
Факторы |
|
ратур а |
рекри |
ратура |
выдержки |
ратура |
|
штам |
сталли |
закалки, |
перед |
|
старения, |
старения, |
|
|
|
повки, |
зации, |
°С |
закал |
|
°С |
ч |
|
|
|
°С |
|
°С |
|
кой, |
ч |
|
|
|
|
Код |
|
|
|
*2 |
хА |
*4 |
|
|
*5 |
|
О с н о в н о й у р о в е н ь |
1150 |
|
1150 |
1050 |
7 |
|
|
650 |
15 |
И н т ер в а л ы в а р ь и |
50 |
|
50 |
50 |
3 |
|
|
50 |
5 |
р о в а н и я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 1 |
|
1100 |
|
1100 |
1000 |
4 |
|
|
600 |
10 |
—а62 = |
—0,59 |
|
1120 |
|
1120 |
1020 |
5,2 |
|
620 |
12 |
а63 = |
0,14 |
|
1160 |
|
1160 |
1060 |
7,4 |
|
660 |
15,7 |
а61 = |
0,65 |
|
1180 |
|
1180 |
1080 |
9 |
|
|
680 |
18,3 |
аб4 — 0,80 |
|
1190 |
|
1190 |
1090 |
9,4 |
|
690 |
19 |
1 |
|
|
1200 |
|
1200 |
1100 |
10 |
|
700 |
20 |
|
|
Т а б л и ц а |
2.59. Симплекс-план первого порядка |
|
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
у (вели |
Xt |
х2 |
*3 |
*4 |
Хь |
ХЛ |
х7 |
чина |
опыта |
зерна, |
|
|
|
|
|
|
|
|
мм) |
1 |
1 |
— 1 |
— 1 |
0,65 |
— 0,59 |
1 |
0,14 |
4,3 |
2 |
1 |
— 1 |
0,65 |
— 0,59 |
1 |
0,14 |
— 1 |
6,7 |
3 |
1 |
0,65 |
— 0,59 |
1 |
0,14 |
— 1 |
— 1 |
3,5 |
4 |
1 |
— 0,59 |
1 |
0,14 |
— 1 |
— 1 |
0,65 |
7,4 |
5 |
1 |
1 |
0,14 |
— 1 |
— 1 |
0,65 |
— 0,59 |
4,9 |
в |
I |
0,14 |
— 1 |
— 1 |
0,65 |
— 0,59 |
1 |
5,8 |
7 |
1 |
0,80 |
0,80 |
0,80 |
0,80 |
0,80 |
0,80 |
3,8 |
hi |
5,2* |
- 0 ,9 3 * |
0,75* |
— 0,97* |
— 0,19 |
0,90* |
0,26 |
|
эксперимента и результаты опытов — в табл. 2.59. Опыты не дублировали. Допустили, что в данном случае дисперсия опыта, определенная ранее по параллельным наблюдениям в аналогичном эксперименте, составляет SI = 0,16 при числе степеней свободы
h = ю.
Коэффициенты модели, рассчитанные по формулам (2.146), приведены в табл. 2.59 (в данном случае = 1,257; 8 ? = 1,58).
Для проверки статистической значимости коэффициентов вначале
|
|
|
|
|
|
|
|
по формулам (2.147) |
рассчитали их дисперсии |
|
|
|
|
S l , = |
■1 ’-5 8 fe -1- 6 =0,0361; Sb{ = |
0,190; |
|
|
|
|
SI. = |
= 0,0228; S*. = 0,151, |
|
а |
затем, |
по |
формуле |
(2.90) — доверительные интервалы при |
а |
= 0,05 |
(/о,os; ю = 2,23): Д*. - 0,424; \ = 0,337. |
|
|
Статистически значимые коэффициенты, превышающие свои |
доверительные |
интервалы, отмечены в табл. 2.59 звездочками. |
|
Анализ полученных |
данных показывает, |
что время |
выдержки |
как при закалке (х4), так и при старении (х6) |
не влияет |
на разно- |
зернистость штампованных заготовок. Остальные факторы по возрастающей степени влияния расположились в следующий ряд: температуры штамповки и закалки (хх и х3), температура старения (хь) и, несколько в меньшей степени, температура рекристаллиза
ции (х2). Разумеется, выводы о влиянии факторов справедливы только для изученных интервалов их изменения.
3
Г Л А В А
ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ПЛАНАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе рассматриваются планы экспериментов для построения модели второго порядка, имеющей вид
Л= Ро + |
X |
|
Pi*i Т |
X |
Рi l x i x l |
X Рil Xh |
(ЗА) |
где г] — истинная величина отклика; р,-, |
|3,(- — истинные зна |
чения коэффициентов; |
k — число факторов. |
|
|
|
|
Число членов |
этой |
модели |
|
|
|
|
|
|
n k |
_ |
|
(£ + 2)1 |
(й+1)(й + |
2) |
|
|
|
° * +2 — |
|
k \ 2 \ |
— |
2 |
» |
|
|
|
поэтому число опытов N для ее построения должно быть не меньше |
|
|
N Ss {k + |
X)j f + 2) . |
|
|
(3.2) |
Кроме того, необходимо, чтобы каждый фактор варьировался |
не менее чем на трех уровнях. |
|
|
|
|
|
k- |
Опыты могут проводиться в одной из двух |
областей: |
на |
мерном гиперкубе | x t \ < |
|
|
|
|
k |
< |
|
1 или на ^-мерном гипершаре X |
1- |
|
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
По результатам опытов рассчитывают выборочные ' оценки |
коэффициентов модели (3.1) и строят уравнение регрессии |
|
|
У = bo + |
X |
biXi + |
X |
bijXiXf - f |
X |
Ьцх1 |
(3.3) |
Расчет коэффициентов уравнения (3.3) обычно проводят ме тодом наименьших квадратов, при этом в общем случае это де лают по формуле (2.16):
В= ( Х ’ Х ) - 1 X T Y .
Особенности обработки данных, указанные в гл. 2 и связан ные с разным характером дублирования опытов, сохраняются и в этом случае.
7 Новик Ф. С., Арсов Я. Б . 193
Рассмотрим структуру информационной матрицы (ХТХ) |
при |
построении |
модели (3.3). |
|
матрицу |
X |
(и — номер |
опыта): |
Запишем |
последовательно |
*0 |
*1 |
•••*< |
•••** |
|
••• |
*i*/ |
••• |
**-!** |
*1 |
•••*i |
•••*! |
|
*lt •• |
*«! •••*/ |
(*l*2)l ■ •(*.*/)( •■ |
(**-Л ), |
*1, |
•••**, |
••■*/ |
|
х, |
. ..х- |
|
. ..х ,, |
(*1*2)„ ■• •(*,*/)» • • |
(*А-Л)« |
л,2 |
. . . x ,0 |
. . . x < ;2 |
|
|
|
*м |
|
|
lu |
|
Ku |
|
X. |
. . . X / |
...Xju |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
'«А/ |
( * 1* |
2) N - ■ • ( * i* / ) w |
' • |
{ Xk - \ X k ) N |
Л/ |
,x ; |
. . . x i |
!JV |
|
4iV |
|
k N |
lN |
|
kN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-4) |
транспонируя |
ее, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• • • |
*0 и |
|
• • • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 1 |
|
Х\ |
|
• • • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 1 |
• • * |
Xi1и |
|
• • • |
X ‘K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• * * |
Xk и |
|
• • • |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(е д ,)1 |
• • • |
( * iX i) B |
• • • |
( * i * 2)w |
|
|
|
|
|
X |
= |
|
(*< */) 1 |
• • • |
( Xt X , ) u |
• • • { X i X j h |
|
|
(3.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( * * - i* * ) i |
• • • |
( X k- l Xk ) u |
* * * {х к - \ х к)м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 4 |
• • • |
x l |
|
• • • |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х ‘ г |
|
x2iu |
|
• • • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хк |
• • • |
4 „ |
|
• • • |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
после чего |
найдем информационную |
матрицу |
(ХТХ) (см. с. 196 |
и 197; суммирование |
всюду по числу опытов от |
и = |
1 до и = |
М ) . |
Элементы информационной матрицы (3.6) часто называют мо ментами плана, а саму матрицу — матрицей моментов. Моменты могут быть нечетными и четными. Нечетными считают те моменты
в |
выражении |
которых |
содержится |
хотя |
бы один |
сомножитель |
в |
нечетнойстепени. Ктакиммоментам |
относятся, |
например: |
|
N |
N |
N |
N |
|
Ы |
|
|
£ X i u ,£ |
( X t X , ) u , £ |
(X t X , X i )u, |
£ |
( * ? * /)„, |
£ |
ДС?В. |
|
U —1 |
И=1 |
«=1 |
U —1 |
|
«=1 |
|
|
Четные моменты имеют все сомножители в четной степени. |
Это моменты |
типа |
|
|
|
|
|
Для построения модели (3.3) предложено большое число планов (см., например, каталоги [28, 131, 132]). Различные вопросы планирования второго порядка обсуждаются в работах [77, 2, 125, 53, 19, 80, 34, 27]. Далее будут рассмотрены и проиллюстри рованы примерами только некоторые из этих планов.
Основное внимание будет уделено планам симметричным. Определение симметричности планов второго порядка дадим ниже. К таким планам относятся планы типа 3fe; разного рода компо зиционные (ортогональные, ротатабельные,типа Bk)\ некомпо
зиционные планы Бокса—Бенкина; квази-7)-оптимальные планы Песочинского и др. Рассмотрим прежде всего композиционные планы.
Под композиционностью понимают последовательную до стройку линейных планов до планов второго порядка. Эта про цедура предполагает реализацию опытов полного или дробного факторного эксперимента, а затем добавление к этим опытам («ядру» плана) некоторого количества специальным образом рас положенных так называемых «звездных» точек. Такие планы обычно называют центральными, поскольку все опыты распола гаются симметрично вокруг центра — основного уровня.
Один из центральных композиционных планов для k = 2
показан |
в качестве |
примера в |
табл. 3.1. |
|
Т а б л и ц а 3.1. Центральный |
композиционный план для к = |
2 |
Номер |
*1 |
хг |
|
Примечание |
|
опыта |
|
|
1—4 |
=±= 1 |
— 1 |
Полный |
факторный эксперимент — |
|
|
|
ядро плана |
|
5—8 |
|
0 |
Звездные точки |
|
0 |
—а |
|
|
|
|
|
9 |
0 |
0 |
Основной |
уровень — центр |
плана |
7* |
|
195 |
|
|
|
|
|
|
(Хтх ) ^ |
|
X v i |
... £ |
*■*£ |
X *0 (*1*2) |
Х * л |
X*? |
... X |
■•■X*A |
X*l*2 |
Х * л |
£ * /* 1 |
|
•■ •Х * л |
X *< (* л ) |
£ x kxo |
X v i |
|
•••X*£ |
X x k (*1*2) |
X (*1*2) *0 |
1*2 |
• • • X (** ) *1 |
• ••X (* A )** |
X*l*5 |
|
X * |
X (*<*/) *0 |
X (*<*/) |
|
• • • X x ix i x k |
X (*<•*/) (*1*2) |
X i x k - \ x k ) |
*o |
*1" -Х (** -л ) x i " - l l x k - A |
X (**-!**) (*A ) |
X *1*0 |
X*? |
• • • X *?*( |
■■•X*?** |
X ^ 2 |
X*<*o |
X*<*i |
. . . X 4 |
• ••X*?** |
£ * ? (* л ) |
Х Ф о |
X4*> |
... 2*1** |
• ••X *l |
X *1(*A ) |
Общее число опытов N композиционных планов при k факто
рах (если опыты не дублируются): |
|
N = * N x + 2k + я0, |
(3.7) |
где N x — число опытов в ядре плана ( N t = 2 k, если ядром плана является полный факторный эксперимент и Nt = 2k~p, если
ядром является дробный факторный эксперимент. Можно запи сать в общем случае, что Nx = 2 k~p при р ^ 0); 2k — число звездных точек; п0 — число опытов в центре плана.
Последовательность решения задачи получается достаточно логичной. Например, в случае двух факторов вначале ставят опыты 1—4 (табл. 3.1), составляющие ядро плана и позволяющие построить либо линейную:
у = Ь04- £ b(xl9
либо неполную квадратичную модель
у » b0 + £ btXi + |
£ |
bijXiXj. |
1 |
K l< t< k |
|
Е *0 (*<*/) |
• • • Е *0 (**-Л) |
Х0Ж? |
• ■• £ |
А0а2 |
. . . 2 XQx\ |
( v / ) |
■■•2> I (**-A ) |
!*■; |
...£ * ,* ? |
. . . £ , , 4 |
E * b |
- 2 |
> I (**-A ) |
S v f |
- - S * ? |
- е * ^ |
Е** (*i*/) |
• ■• E**-i*I |
Е х**? |
■•■£***? |
■•■E*I |
Е (* л ) (*,*/) |
• - • Е |
(* л )(* * -л ) |
E*h> |
• ■■E |
(xл ) xc • • • E (* л ) ** |
Е * И |
■ ••E (xix/)(**-i**) |
(*i*/) *1 |
***5J ***/ |
• ** |
(*л-а )(***/)* ■• |
а |
(*ft-A ) *I*• • Jj |
A |
)*?* • • X xk-\x\ |
E *i (xixi) |
• • • E |
*i (**-л) |
E*1 |
• • • E h ? |
• • • E h ? |
E * h |
• •■Е*Н **-л) |
E *M |
••■E*? |
— E h * |
E 4 ( v / ) |
• • • E |
|
E *M |
• • • E h ? |
• • *£ |
Если эти модели окажутся неадекватными, добавляют опыты в звездных точках 5—8 и в центре эксперимента 9, что позволяет построить уже квадратичную модель (3.3).
Рассмотрим композиционный план второго порядка, состоя щий из ядра (полный или дробный факторный эксперимент), звездных точек и опытов в центре:
X, |
х2 |
• • • |
xk |
± i |
± 1 |
. . . |
± 1 |
± i |
± 1 |
• • . |
-f-1 |
~h 06 |
0 |
. . . |
0 |
0 |
± a |
. . . |
о |
0 |
0 |
• • • |
-4-OC |
0 |
0 |
• • • |
0 |
Запишем последовательно матрицы независимых переменных X,
коэффициентов |
регрессии |
В |
и |
результатов опытов |
Y: |
|
|
*0 |
|
|
|
Xi |
... |
хк |
|
|
. . . xixj |
*■ * |
|
|
|
0 |
|
Х \ |
■■■ |
X xX.y |
|
|
• X I . . . |
X k |
1 |
~+~ 1 |
» •» |
± 1 |
. . * + 1 |
± |
I |
••• |
± 1 . . . |
- h i |
1 |
. . . |
1 . . . 1 |
1 |
± 1 •* • ± 1 |
•* ♦ + 1 |
± 1 * •• ± 1 |
•* • 4- 1 1 . . . |
1 . . . 1 |
1 |
± С ' |
* t |
♦ |
0 |
. . . |
0 |
|
0 . . . |
0 . . . |
0 |
a 2 |
••. |
0 . . . |
0 |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
♦ t |
f |
0 |
* * * - h o c |
|
0 . . . |
0 . . . |
0 |
0 |
. . . |
0 ••♦ |
a 2 |
1 |
0 •т t |
0 t ♦ f |
0 |
|
0 . . . |
0 t •* |
0 0 t •* 0 . . . 0 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 * * • |
0 . . . |
0 |
|
0 . . . |
0 . . . |
0 0 * * * 0 . . . 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bi2 |
|
|
|
|
|
|
|
У1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(З.Ю) |
|
|
|
bu |
|
(3 .9 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b{k~l) k |
|
|
|
|
|
|
Ух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bkk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С-оставим |
теперь |
информационную |
матрицу: |
|
|
|
|
Рассмотрение этой матрицы показывает, что в данном случае все нечетные моменты плана равны нулю:
N |
N |
|
|
Е xiu =0; |
Е (*,*/)« = 0; |
|
и=1 |
«=1 |
|
N |
|
N |
|
Е {xtXfXt)u = 0; |
£ дс? = 0. |
|
и—1 |
|
W—1 |
|
Четные же моменты нулю не |
равны. Обозначим |
их |
|
N |
|
|
Ы—1 |
|
|
дгч |
|
|
*1 =лг» Е (*?*?)«; |
(3.12) |
|
«=1 |
|
|
** = л г*Е W=I
Отметим сразу же, что если опыты плана дублируются и при этом число повторений (дублей) и-то опыта равно пи> то четные
моменты выглядят следующим образом:
N
Епи4а
лU==1
|
Л2 “ |
N |
|
|
|
Е п« |
|
|
|
В=1 |
|
|
|
N |
|
>1 |
|
Е ««(*?*/)« |
|
и= 1 |
(3.13) |
д 3 |
— — |
N I |
----------- |
|
Е |п“ u=l
Л/
Е««*<„
к= ^
Е«»
И= 1
После подстановки в (3.11) обозначений и нормировки (деле ния всех элементов матрицы на N) информационная матрица
(матрица моментов) симметричного плана второго порядка при обретает следующий блочно-диагональный вид:
