книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

я= 0,1329; Аб3 — 0,0502; Д6зз = 0,0290.

Таким образом, при 5%-ном уровне значимости статистически незначимыми оказываются коэффициенты Ь3 и Ь22.

В то же время при 10%-ном уровне значимости (а = 0,10)

при а = 0,10 и эти коэффициенты можно признать статистически значимыми.

Дисперсию неадекватности для модели (2.143) определили по формуле (2.96), причем числитель ее, с учетом четырех дублей

Следовательно, модель (2.143) адекватна только при 1 %-ном уровне значимости.

Кроме того, расчетные значения ( ] / т /)расч перевели в у расч

и вновь по формулам (2.96) и (2.100) рассчитали дисперсию неадек­

меньше Я абл при 5 %-ном уровне значимости.

Покажем подробней, как происходил поиск составов жаро­ прочных сплавов с помощью этой модели. Прежде всего будем искать наиболее жаропрочный сплав в изученной части системы Pt—Pd—Rh—Au—Ir. Поскольку все коэффициенты в модели (2.143) оценены независимо друг от друга, можно анализировать влияние на параметр оптимизации каждого фактора независимо от другого. Такого рода анализ приведен в табл. 2.52.

181

Он показывает, что время до разрушения растет с уменьшением

всплаве содержания палладия и с увеличением содержания родия

изолота. Иридия в сплавах должно быть 0,1%. Наиболее суще* ственно на жаропрочности сплавов сказывается изменение в них содержания родия, затем палладия и, наконец, золота и иридия. В изученных интервалах изменения переменных наиболее жаро­

прочным является сплав платины с 10% Rh, 10% Pd, 0,1% Ir и 0,1% Au (сплав 1, табл. 2.53). Этот сплав был испытан в матрице планирования (опыт 3, табл. 2.51) и, действительно, оказался лучшим.

Попробуем теперь еще повысить жаропрочность этого сплава. Снижение содержания в нем палладия и повышение содержания родия экономически нецелесообразно. Поэтому увеличим в нем количество золота последовательно до 0,2 и 0,3% (сплавы II и III, табл. 2.53). По расчету, полученному экстраполяцией, время до разрушения этих сплавов должно было быть больше по сравнению

182

со сплавом I. Однако эксперимент этого не подтвердил (табл. 2.53). Тем не менее жаропрочность сплавов II и III достаточно высока.

Далее, анализируя модель (2.143), попытаемся найти сплавы с возможно более высоким содержанием палладия и в то же время достаточно жаропрочные. Такие сплавы, требующие меньшего количества платины, наиболее целесообразны из экономических соображений.

Увеличим в сплаве I количество палладия до 60% (сплав III, табл. 2.53). Его время до разрушения должно быть по расчету 43 ч. Интересно, что в матрице планирования уже был реализован похожий сплав (сплав 9, табл. 2.51), однако в нем не было опти­ мального количества золота и иридия, и время до разрушения его составило 27 ч.

Сплав IV был приготовлен и испытан на ползучесть. Он про­ стоял до разрушения при температуре 1400° С и напряжении 4,9 МПа (0,5 кгс/мм2) 47,5 ч. Уменьшим в сплаве IV количество палладия до 35%, но одновременно увеличим количество золота до 0,2%. Такой сплав (сплав V, табл. 2.53), как показал экспе­ римент, имеет время до разрушения в изученных условиях 48,5 ч. Наконец, исключим из сплава IV иридий. В этом случае, сплав VI (табл. 2.53) по результатам испытаний на ползучесть имеет время до разрушения 60 ч.

Таким образом, установлено, что платиновые сплавы, содержа­ щие 60% Pd и 10% Rh, а также небольшие добавки Аи и 1 г, имеют

при 1400° С и начальном напряжении 4,9 МПа (0,5 кгс/мм2) при­ мерно такую же долговечность, как и более дорогие сплавы, содер­ жащие только 10% Pd.

2.5.8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФАКТОРНЫХ ПЛАНОВ

ДЛЯ ОТСЕИВАЮЩЕГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Рассматриваемые факторные планы можно использовать и для построения моделей с целью выбора наиболее сильно влияющих факторов и их взаимодействий. Решение таких задач с помощью сверхнасыщенных планов уже было описано в п. 1.22. Фактор­ ные же планы являются ненасыщенными или насыщенными.

Планы, число опытов которых больше числа оцениваемых эффектов (имеются в виду и линейные эффекты и эффекты взаимо­ действий факторов разных порядков), называются ненасыщенными. Здесь остаются степени свободы для проверки адекватности построенных моделей. К сожалению, эти планы, как правило, содержат большое число опытов, и уже в силу своей трудоемкости редко применяются для постановки экспериментов в сложных ситуациях, когда предварительному исследованию подлежит боль­ шое число переменных. Например, в задачах с десятью факторами учет только линейных эффектов и парных взаимодействий требует определения 56 коэффициентов регрессии, т. е. реализации планов, содержащих более 56 опытов. Тем не менее, в ряде случаев удается

183

построить достаточно экономные по числу опытов ненасыщенные планы (см., например, каталог в приложении VII).

Планы, число опытов которых в точности равно числу оцени­ ваемых эффектов, называют насыщенными. Если строится линей­

ная модель

k

у = ъ 9 + X bixit

i = 1

то число опытов полностью насыщенного плана N в точности равно числу коэффициентов этой модели, т. е. N = k + 1.

В работах [31, 321 изучены возможности построения насыщен­ ных планов первого порядка при условии минимизации наиболь­ шей дисперсии среди всех дисперсий оценок коэффициентов 6 £.

Оказалось, что оптимальными с точки зрения этого критерия являются планы двух групп:

первая — насыщенные планы дробного факторного экспери­ мента и так называемые планы Плакетта—Бермана;

вторая — симплекс-планы первого порядка.

Число опытов в планах первой группы кратно четырем. Каж­ дый фактор варьируется на двух уровнях + 1 (+ ) и — 1 (—).

Насыщенные дробные реплики можно применять в задачах с чис­

= 20); 23 (N = 24); 27 (N = 28); 35 (М = 36) и некоторые другие.

Составлять планы первой группы удобно с помощью вспомога­ тельной таблицы (табл. 2.54), в которой указаны первые строки (условия первого опыта) каждого из соответствующих планов. Правило составления планов следующее: вторую и последующие строки плана получают сдвигом всех элементов предыдущей строки на одну позицию вправо (или влево) и перестановкой последнего (или первого) элемента предыдущей строки на первое (или послед­ нее) место в данной. Всего эту операцию повторяют (k — 1 ) раз, в результате чего получается матрица k х k. К этой матрице добавляют последнюю (k -f- 1 )-строку, элементами которой яв­ ляются знаки минус. Наконец, вводят (k + 1)-столбец фик­ тивной переменной х0, состоящей из одних знаков плюс и

необходимый для оценки величины свободного члена модели. Составленный таким образом план Плакетта—Бермана для k = 11 в качестве примера показан в табл. 2.55. Этот план содер­

жит N = 12 опытов. Здесь элементами первой строки являются

знаки, взятые из табл. 2.54. Во второй строке они сдвинуты вправо, при этом последний знак первой строки (—) во второй поставлен на первое место. Аналогично составлены 1 1 строк этой таблицы.

Двенадцатая строка включает только знаки минус. Столбец для х0 не указан.

Рассматриваемые насыщенные планы первой группы являются ортогональными и нормированными, поэтому расчет коэффициен-

184

+ - +

В

— + — ■

—+ + + + —+н—

27 28

185

тов ведут по формуле (2 . 1 2 ), дисперсии оценок коэффициентов

считают по формуле (2.28).

Особенностью насыщенных планов является отсутствие степе­ ней свободы для проверки адекватности модели. Разумеется, если некоторые из bt окажутся статистически незначимыми, их

можно исключить из модели, и тогда появляется возможность проверки ее адекватности по Е-критерию. Если же все коэффи­

Важным в данном случае является способ оценки дисперсии опыта S2U. Чтобы получить ее, необходимо дублировать опыты. Но

дублировать все опыты плана здесь явно нецелесообразно, по­ скольку речь идет об эксперименте для выбора наиболее существен­ ных факторов, и число опытов такого эксперимента должно быть минимальным. Поэтому весьма разумной представляется рекомен­ дация включать в план эксперимента несколько фиктивных факто­ ров, переходя таким образом к другому насыщенному плану (см., например, [93]). Эффекты фиктивных факторов будут равны нулю только в том случае, если опыты проводятся абсолютно точно. Поскольку этого быть не может, дисперсию неадекватности S lee^,

рассчитанную по формуле (2.96), можно использовать в качестве оценки дисперсии опыта Sy с числом степеней свободы ^ N —

— k — 1 . В данном случае формулу для расчета S\ можно упро­

стить [93]:

N - k - 1

N Z tj

<2-144)

где bj — коэффициент регрессии при /-м фиктивном факторе (всего таких факторов N — k — 1 ).

Применение планов Плакетта—Бермана проиллюстрируем сле­ дующим примером.

Изучали отбеливаемость отливок одного типа из серого синте­ тического модифицированного чугуна в зависимости от содержа­ ния в нем основных компонентов и примесей, а также условий выплавки и модифицирования, всего k ~ 15 факторов (табл. 2.56).

Требовалось выяснить, какие из рассматривавшихся факторов наиболее сильно влияют на отбеливаемость. В план эксперимента было решено включить еще четыре фиктивных фактора для оценки дисперсии опыта, поэтому использовали план Плакетта—Бермана для k = 19. Этот план, включающий = 20 опытов, был составлен

указанным выше способом и приведен в табл. 2.56. Там же приве­ дены результаты определения отбеливаемости (в %) по клиновой пробе, как отношение полностью отбеленной части клина ко всей его высоте. Опыты не дублировали.

Коэффициенты линейной модели считали по формуле (2.12). Их значения указаны также в табл. 2.56.

186

Дисперсию Sy подсчитали по формуле (2.144):

Проверили статистическую значимость коэффициентов, для чего, рассчитав по (2.28) дисперсии оценок коэффициентов, по­ строили по (2.90) их доверительные интервалы:

Статистически значимые коэффициенты, т. е. те, для которых выполняется условие (2.91), отмечены в табл. 2.56 звездочками.

Таким образом, зависимость отбеливаемости чугуна от изучен­ ных факторов можно в данном случае описать следующим уравне­ нием:

у— 29,65 4- 2,95х2 + 2,85*з + 2,65*5 —

—5,25*8 — 2,85*u -f- 5,35*1а + 3,65*14 + 5,95*хб. (2.145)

Анализ абсолютных значений и знаков коэффициентов этого уравнения позволяет выделить факторы, наиболее сильно влияю­ щие на отбеливаемость. Среди них в первую очередь следует

опытам, поэтому можно проверить его адекватность. Для этого подсчитаем по (2.96) Дисперсию неадекватности. Оказалось, что

fi = 4. Следовательно, при 5%-ном уровне значимости модель

(2.131) можно признать адекватной. Теперь при необходимости этой моделью можно воспользоваться для снижения отбеливаемое™

факторов), а потому является насыщенным. Такие планы были

(*/) и натуральном масштабах (X/) соотношениями (1.24), то

187

Т а б л и ц а 2.56. Планирование отсеивающего эксперимента по выбору фак

188

189

190