книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов

И работе [23] использовали четыре разных набора свойств и <потпотственно четыре обобщенных функции желательности, поз- 1иMin шине проанализировать с разных точек зрения механические,

млнологические и эксплуатационные свойства группы цементуе­

желательности, включавшую такие показатели, как выбиваемость готовых отливок из кокиля, трещиноустойчивость отливок, отбе­ линаемость и жидкотекучесть чугуна, а также его предел проч­ ности при растяжении.

Заметно помогло использование обобщенной функции жела­ тельности при решении задачи разработки составов высокопроч­ ных электродов, предназначенных для сварки магистральных газопроводов [99]. Функция желательности в этом случае вклю­ чала шесть характеристик механических свойств электродов, а том числе и ударные свойства при отрицательных температурах. I встроенные для каждого из этих свойств линейные математиче­ ские модели не позволяли наметить однозначного направления крутого восхождения. После же перехода к комплексному пока­ зателю качества этот этап удалось выполнить с большой эффектив­ ностью.

Столь же успешным оказалось использование обобщенной функции желательности при анализе квадратичной модели, свя­ зывающей этот показатель с режимами контролируемой прокатки стали 14Г2ФБ [48].

Во всех указанных работах использовали функцию желатель­ ности в форме (1.17) или (1.18). Но эти формы, вообще говоря, не являются единственно возможными. В зависимости от поста­ новки задачи можно выбирать и другие виды функции желатель­ ности. Например, в работе [22 ] для выбора медного сплава, имею­ щего одновременно с высокой твердостью и достаточную по тех­ ническому заданию электропроводность, использовали функцию желательности в виде In dt = у}.

|дс q — число параметров оптимизации; at — некоторые коэффи­

циенты («веса» параметров), которые устанавливают, например,

31

Для двусторонних ограничений (ymln «s у < f/max) в работе

[125] предлагается использовать следующий обобщенный пока­ затель:

(1.23)

Обозначения здесь те же, что и в (1.22).

Несмотря на то, что обобщенные показатели качества форми­ руются чисто эмпирически, опыт их использования свидетель­ ствует о перспективности такого подхода для решения задач со многими параметрами оптимизации.

1.2. ВЫБОР НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Независимые переменные (факторы, входы) могут быть коли­ чественными и качественными. К факторам также предъявляют ряд требований. Они должны непосредственно воздействовать на объект, быть действительно независимыми, измеряемыми, управ­ ляемыми-? Совокупность факторов должна быть совместимой.

Требование независимого воздействия на объект возникает в связи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функцией других. Однако это требование лишь желательное, но не обязательное. Независимость переменных до начала экспери­ мента должна быть установлена совершенно определенно. Необ­ ходимо иметь возможность менять в некоторых пределах каждый фактор, не затрагивая остальных.

Поскольку факторы должны быть измеряемыми, каждому"различимому уровню качественного фактора следует приписать ка­ кое-либо число. Например, определенный номер штампу, если в качестве фактора используются различные типы штампов; шихте, если изучаются различные типы шихт, и т. д.

Под управляемостью фактора подразумевается возможность установки и поддержания нужного уровня фактора в выбранном диапазоне постоянным в течение всего опыта или его изменение по заданной программе. Это требование аналогично требованию управляемости объекта.

Наконец, под совместимостью совокупности факторов пони­ мается возможность осуществить, причем безопасно, все заплани­ рованные комбинации уровней факторов, т. е. все опыты.

Каждый фактор имеет область своего определения. Границы этой области могут задаваться либо принципиальными ограниче­ ниями, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоя­ тельствах (расплавление при нагреве сплава во время термической обработки, поломка пресса при обработке давлением, перегора­ ние печи при плавке и т. д.), либо технико-экономическими сооб­ ражениями (стоимость материалов, продолжительность ведения

32

процесса и т. д.), либо условия­ ми и каждом конкретном случае (отсутствие подходящей аппара­ туры, установок, инструмента; невозможность сильно или вооб­ ще нарушать технологию и т. д.). Пример области^определениякв за­ даче с двумя факторами показан па рис. 1.7 (линия со штриховкой).

После выбора области^ опреде­ ления необходимо найти локаль­

ную область для проведения эксперимента. Выбор области экспе­ римента — плохо формализованная задача, хотя некоторые реко­ мендации здесь существуют [6 , 3]. Обычно ее решают в каждом

конкретном случае, исходя из содержательного смысла задачи. !*>га процедура включает выбор уровней варьирования факторов.

Вобщем случае уровней может быть любое число, расстояние между ними может быть одинаковым или нет. Число уровней оп­ ределяется конкретной постановкой задачи, видом фактора (число уровней качественного фактора задается автоматически), предпо­ лагаемой сложностью изучаемого объекта. Например, для построе­ ния линейной модели достаточно двух уровней; полная квадратич­ ная модель требует варьирования факторов, по крайней мере, на трех уровнях; полная модель третьей степени — на четырех и т. д.

Вобщем случае факторы — размерные величины, причем раз­ мерности могут быть самые разные и числа, выражающие вели­ чины факторов, могут иметь разные порядки.

Температура обычно измеряется в градусах Цельсия, коли­ чество элементов в сплаве — в процентах и т. д. Поэтому с факто­ рами в исходном масштабе обычно не работают, а проводят их предварительное кодирование, представляющее собой линейное преобразование факторного пространства.

Вкачестве примера рассмотрим очень распространенный слу­ чай варьирования факторов только на двух уровнях. Для осуще­ ствления операции кодирования прежде всего выбирают исход­ ную область эксперимента, задавая верхние и нижние пределы

изменения каждого фактора в ходе эксперимента Х /тах и Х (т1п

(рис. 1.7).

{■Далее, осуществляют центрирование, т. е. перенос начала ко­

Точку 0 обычно называют центром эксперимента.

33

Теперь удобно сделать так, чтобы в кодированном масштабе максимальный (верхний) уровень фактора соответствовал + 1 , минимальный (нижний) — 1 , а средний (основной) — нулю. Это

легко выполнить, воспользовавшись следующими формулами, связывающими значение факторов в кодированном масштабе (.х£) с их значениями в натуральном масштабе (Х£):

(иногда полуинтервалом).

В получившейся теперь системе координат кодированных факторов х £ факторное пространство ограничено ^-мерным кубом

(для одного фактора — это прямая, для двух — квадрат, рис. 1.7):

\xt \ <£ 1 , i = 1 , 2 , k. (1*25)

Предположим, одним из факторов в какой-то задаче является температура закалки. В качестве основного уровня для нее вы­ брана температура 1200° С, а интервал варьирования ^20° С. Тогда соотношение кодированных и натуральных значений дан­ ного фактора можно представить формулой

„ __ [*80к. °С] - 1200

20

На величины интервалов варьирования накладываются опре­ деленные ограничения. В частности, когда пытаются получить адекватную линейную модель (очень распространенная цель пер­ вых этапов исследования), интервалы варьирования стремятся сделать возможно более узкими, так как чем они уже, тем более вероятна возможность линейной аппроксимации. Правда, интер­ валы не могут быть меньше той ошибки, с которой фиксируется тот или иной фактор. В противном случае уровни просто окажутся неразличимыми. Например, не имеет смысла варьировать темпера­ туру закалки, основной уровень которой 1200° С, в^интервалс =ь5° С. Вряд ли имеет смысл столь высокие температуры измерять и контролировать с точностью более высокой, чем =±40—15° С; таким образом, температуры 1195 и 1205° С различить, очевидно, не удастся. Весьма распространенной является рекомендация: выбирать интервалы варьирования, не превышающие удвоенной среднеквадратичной ошибки в определении данного фактора.

Подчеркнем еще раз, что в общем случае выбор интервалов варь­ ирования зависит от постановки задачи.

Поиск оптимальных условий протекания того или иного явле­ ния (процесса) может потерять всякий смысл, если при постановке задачи пропущен хотя бы один сильно влияющий фактор. Чтобы обезопасить себя от этого, рекомендуют на первых этапах вклю-

34

ми«u и программу исследования все, в том числе и предполагаемые ж шмчнтсльными факторы, которые могут влиять на параметр мм| и м|плции. Но тогда выбранных факторов может оказаться слиш­ ком много, и прежде чем заниматься оптимизацией, возникает тппча отсеивания наименее влияющих и выбора наиболее значи­ мый факторов и их взаимодействий. В связи с этим необходимо pm смотреть некоторые из существующих в настоящее время спо- t нПпи отсеивания факторов. Все они основаны на том, что факторы MI имю расположить (априорно или экспериментально) в ряд в по­ рчам* убывания вносимого ими вклада в величину параметра оп- I и м и ищии. Такая диаграмма рангов позволит ответить на вопрос: ж г ли факторы необходимо включать в программу исследования и 1 и тлько часть из них. Во многих случаях такого рода задача МПЖ1Т иметь и самостоятельный характер.

иргш тавление об априорных знаниях того явления, которое пред- I ши г изучать. Лучше всего это делать с помощью своеобразного ж и холерического эксперимента, предложив возможно более ши­ римому кругу специалистов, работающих в данной области, распилпжить (проранжировать) факторы в порядке убывания степени in илнмния на параметр оптимизации.

1деп>, по сути дела, путем опроса специалистов в кратчайшее

прими и в сжатом виде составляется литературный обзор по изу­ чаемому вопросу. Действительно, данных в литературе по интере-

рпм.еи во всех тонкостях, которые ему могут встретиться. При мридмаритсльном чтении литературы он также может пропустить ни тонкости. В то же время опрос специалистов, занимающихся нмгииоэтим вопросом, может дать очень многое (иногда даже боль­ ше, чем чтение рабат тех же специалистов).

Априорное ранжирование обычно осуществляется в несколько и пион. Покажем их на примере одной из конкретных задач.

инммлх исследований требовалось проранжировать влияние на

ишмпературы гомогенизации (х12).

Иннттно много разных методов ранжирования. Можно проHt HIи 1 1* анкетный опрос, а можно искусственно разыгрывать дис-

(■уп ии, после которых собирать мнение специалистов и др. На­

35

пример, в [113] описано около 25 способов постановки вопросов перед специалистами. Хороший обзор'методов опроса'приведен

в[119].

Врассматриваемом примере использовали метод анкетирова­ ния. В составленной опросной анкете (форма которой в общем слу­ чае точно не определена) обычно указываются наименования фак­ торов, их размерности, способы определения, возможные области изменения и другие сведения. Специалистов просят проранжировать входящие в анкету факторы по степени их важности так, чтобы самый важный, с точки зрения специалиста, фактор полу­ чил ранг 1, следующий за ним — ранг 2 и т. д. Если специалист считает два или более факторов равнозначными, он должен поста­ вить им одинаковые ранги (например: 1; 1;, 2; 3; 3; 3; 4; 5 и т. д.).

Разрешается включать в анкету дополнительные факторы, если их список кажется неполным, или изменять их интервалы варьирования, способы определения и т. д.

Вэкспериментальной психологии установлено [61 ], что ран­ жирование факторов может зависеть от порядка, в котором они предъявляются специалисту. У последнего подсознательно может возникнуть мысль, что факторы, помещенные в начале перечня, являются более важными и наоборот. Поэтому в анкетах порядок расположения факторов целесообразно сделать случайным и со­ общить об этом специалисту перед началом опроса.

При небольшом числе факторов (k < 10) процедура ранжиро­

вания, как правило, не представляет каких-либо трудностей. В слу­

чае же, когда k > 1 0 , для облегчения процедуры часто применяют

следующий прием. Выбрав самый важный фактор, специалист вы­ черкивает его из перечня и рассматривает остальные. Выбрав из них самый важный, он снова его вычеркивает и т. д.

Результаты опроса в рассматриваемом примере представлены

особенности проведенного опроса. Одни специалисты ранжиро­ вали факторы весьма уверенно. Например, 1 -й специалист припи­ сал наиболее сильно влияющему, по его мнению, фактору х3 — ранг 1, фактору х4 — ранг 2, фактору хг — ранг 3 и т. д. Другие,

хотя и делали различия между факторами, но менее уверенно. Например, 3-й специалист приписал ранг 1 сразу двум факторам х3 и х4, ранг 2 —^факторам хг и х2, ранг 3 — факторам х9, хи,

ихп . В последнем случае вводят так называемые «связанные ранги»

ипроводят переформирование рангов. Например, в ранжировке 3-го специалиста факторам х3 и х4 приписан ранг 1 , т. е. между ними разделены 1 -е и 2 -е места, поэтому связанными рангами для х3

и х4 будет 1,5 [(1 + 2)/2 = 1,5]. Факторам [хх и х2 был приписан ранг 2 , т. е. между ними разделены 3-е и 4-е место, поэтому связан­ ными рангами для хх и х2 будет 3,5. Факторам л:9, xw и хп был при­ писан ранг 3, т. е. между ними были разделены 5, 6 и 7-е места.

36

I и 0 л н ц a 1.6. Первоначальные результаты опроса специалистов

Факторы (/)

А-

иинлигга показано в табл. 1.7. Переформированные результаты

фн|1МИ plHINM*

Mi,m prtiti и

37

38

39

m Теперь подсчитаем в табл. 1.6 и 1.8 суммы рангов 2- аи> по-

ставленных i-м специалистом (т — число специалистов) /-му фак­ тору (k — число факторов). Эти суммы будут основными показа­

телями силы влияния факторов на изучаемое свойство.

ными, и если это так, можно пользоваться любой из них. Проверим гипотезу об их адекватности сравнением итоговых ранжировок факторов, полученных в обеих таблицах.

Запишем в первоначальной и переформированной таблицах (соответственно табл. 1 . 6 и 1 .8 ) ранги итоговых ранжировок

0,-. Для каждого /-го фактора этот ранг определяется суммой ран-

т

гов 2 аа- Ранг 0 = 1 получает фактор с наименьшей суммой ран-

( = 1

гов. Из рассмотрения ранжировок 0)” (см. табл. 1.6) и 0)2) (см. табл. 1 .8 ) видно, что они практически совпадают, и, следовательно,

таблицы адекватны.

В общем же случае гипотезу об адекватности можно проверить

где k — число факторов.

Значение rs = 1 свидетельствует о полном совпадении ранжи­ ровок, если rs — — 1 — ранжировки полностью противоположны, в случае rs = 0 между ранжировками нет никакого соответствия.

Это столь близко к 1, что проверять статистическую значимость rs

даже не имеет смысла.

Поскольку в данном случае rs практически не отличается от 1,

переформированную таблицу можно считать адекватной первона­ чальной, и в дальнейшем будем пользоваться именно ею.

40