книги / Синтез транзисторных усилителей и фильтров

получить коэффициент низшей степени р, равный единице, т. е.

F (р) — Kpq (атрт + а,п-\Рт 1■+• • • • Т- а2Р2 а'Р О-

Пусть новая частотная переменная определяется соотношением

апРт = Рх'

тогда полином приобретает такую форму, в которой коэффициенты высшей и низшей степеней р равны единице (произведение всех положений нулей равно единице):

В качестве числового примера можно рассмотреть нормирование, ха­ рактеризуемое следующими равенствами:

12 (рп + 3)_____

Р (Рп) =

РЪп+ 2р„ + 2рп + 1

В этом примере произведение всех положений полюсов до нормирования составляло 1018, после нормирования — 1, причем расстояние полюсов от начала координат сократилось в 10° раз.

Нормирование частоты можно осуществить также нормирова­ нием величин индуктивностей и емкостей. Рассмотрим сопротив­

р на то же число. Сопротивление не изменится. (Точно так же не изменится сопротивление индуктивного элемента, если L умножить, а р одновременно разделить на со0.) Если частота нормирована от­ носительно ©о и комплексное сопротивление нормировано относи­ тельно R 0, то нормированные величины элементов:

Из этих выражений видно, что нормированные величины без­ размерны, если Д0 имеет размерность сопротивления, и сохраняют свою размерность, если в качестве Д0 используется числовая ве­ личина. Переходя к аппроксимации передаточных функций, сле­ дует отметить, что многие из них табулированы. Табулированные функции обычно нормированы по частоте (1 рад]сек) и сопротивле­ нию (I ом), и в результате их реализации получаются цепи с нор­ мированными значениями параметров элементов.

31

ГЛАВА ВТОР АЯ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

2- 1. Понятие аппроксимации функций цепи

Задача синтеза состоит в том, чтобы построить электрическую цепь с заданной реакцией на известную задающую функцию. Та­ ким образом, синтез электрических цепей связан с решением двух проблем: проблемы образования функции, так называемой аппрок­ симации функции, и проблемы реализации найденной функции электрической цепью.

В предыдущей главе были рассмотрены различные способы

рация — образование рациональной функции по ее модулю или аргументу. Такая операция важна тем, что практически .требова­ ния к электрической цепи задаются либо графически, либо анали­ тически, либо дискретным рядом точек и выражаются через модуль или аргумент передаточной функции или любое сочетание этих данных. По модулю передаточной функции синтезируются такие электрические цепи, как фильтры и широкополосные усилители.

Электрическим фильтром называется четырехполюсник, модуль передаточной функции которого остается практически постоянным в определенной области частот, называемой полосой пропускания, и достаточно резко падает с удалением от границ этой области. Границы области пропускания именуются граничными частотами (нижней сои и верхней а)в соответственно). Область с достаточно большим подавлением амплитуды называется полосой загражде­ ния. Между полосами пропускания и заграждения находится пе­ реходная область.

Фильтры подразделяются на фильтры нижних ч а с т о т в полосу пропускания которых входит <о = 0, фильтры верхних частот, в полосу пропускания которых входит о) = оо, полосовые фильтры, у которых нулевая и бесконечная частоты лежат вне полосы про­ пускания, и заграждающие фильтры, полоса заграждения которых расположена между полосами пропускания.

По аргументу передаточной функции синтезируются линии за­ держки. Идеальная линия задержки представляет собой электри­ ческую цепь, обеспечивающую линейный фазовый сдвиг в сколь угодно широкой полосе частот.

В общем виде задача аппроксимации формулируется следую­ щим образом: по заданной в конечном интервале некоторой неот­ рицательной функции переменной со требуется найти рациональ­ ную функцию комплексной переменной р, модуль или аргумент которой на мнимой оси аппроксимирует заданную функцию с опре­ деленной степенью точности. Рациональная функция должна быть

32

при этом реализуемой, т. е. такой, которой соответствует хотя бы одна устойчивая электрическая цепь. Поставленным требованиям могут отвечать многие рациональные функции, различные не только по своему порядку, но также и по распределению полюсов и нулей, если, конечно, не отыскивается решение, оптимальное в том или ином смысле.

Рассмотрим решение задач аппроксимации характеристики фильтра нижних частот. В дальнейшем будет показано, что полу­ ченные решения могут быть использованы при синтезе фильтров верхних частот и полосовых фильтров.

Решая эту задачу, введем понятие идеального фильтра. Под идеальным фильтром нижних частот подразумевается электриче­ ская цепь, имеющая постоянное усиление в полосе частот от нуля

Р и с . 2-1.

до некоторой конечной частоты со0, именуемой частотой среза, и ну­ левое усиление на всех частотах, больших а)0. Амплитудно-частот­

Обозначая со' = со/со0 и опуская для простоты штрихи, полу­ чаем частоту, нормированную относительно частоты со0. Реализа­ ция передаточной функции ступенчатой амплитудно-частотной ха­ рактеристики требует бесконечного числа р—г. Совершенно оче­ видно, что все реальные цепи должны быть достаточно просты. Это неизбежно приводит к необходимости применения аппроксимации.

Изложение проблемы аппроксимации во всех ее аспектах тре­ бует применения весьма сложного математического аппарата (см., например, [7]) и выходит за рамки данной книги. Целью настоящей главы является ознакомление читателя с основными методами ап­ проксимации. Аппроксимирующие функции табулированы, это

33

позволяет использовать их при проектировании электрических це­ пей различного назначения, не прибегая к предварительному обра­ зованию функций.

Перед обсуждением методов аппроксимации заданной функции с помощью другой функции следует оценить критерий, позволяю­ щий судить об удовлетворительности достигаемого приближения. Можно установить несколько таких критериев, пригодность ко­ торых может быть различной при различных обстоятельствах.

2-2. Максимально-плоская аппроксимация функции по модулю

щая определению. Функция g (а ) может быть требуемой функцией модуля или аргумента и задается аналитически или графически. Допуская, что функции g (а ) и f (х) непрерывны в интервале [а, Ъ] и имеют все производные в точке х0 (причем а < а 0 < Ь), их можно разложить в ряд Тейлора в окрестности этой точки. Предположим, что оба ряда сходятся. Тогда

если k первых коэффициентов обоих рядов равны у соответствую­ щих слагаемых ряда (а0 и Ь0 — слагаемые нулевой степени). Функ­

проксимирующей функцией £-го порядка по Тейлору относительно

тельно, аппроксимация по Тейлору описывает заданную функцию с большой точностью при значениях а , близких к а 0 , и менее точно при значениях, близких к границам интервала.

При вычислении передаточной функции по заданному модулю можно использовать не сам модуль, а квадрат модуля. Положим, что квадрат модуля задан в виде рациональной функции от р. До­ пустим также, что дана рациональная функция G.(/(o), удовлегво-

34

ряющая условиям, при которых она является квадратом модуля функции цепи. Эти условия сводятся к следующему. Функция G (/со) должна быть четной функцией от со, а степень числителя не должна превышать степени знаменателя. Кроме того, если функция G (/со) имеет конечные полюсы на мнимой оси, то эти полюсы должны быть двукратными. На основании уравнения (1-20) данную функ­ цию можно написать в виде

Таким образом, задача сводится к определению функции F (/со), если известна функция G (/со). По существу можно рассматривать G как функцию комплексного переменного /?, a G (jay) — как ее зна­ чение на оси /со. Можно написать соотношение

Разложим числитель и знаменатель функции G (р) на множи­

‘зеркальное отображение — на отрицательной вещественной оси. Второй множитель дает четыре комплексных нуля, расположенных симметрично относительно начала координат. Третий множитель дает пару нулей на оси /. Полюсы и нули квадрата модуля переда­ точной функции располагаются симметрично по квадрантам.

положным знаком и функция F (р) должна соответствовать устой­ чивой цепи. Следовательно, полюсы G (р) в левой полуплоскости принадлежат функции F (р), а полюсы правой полуплоскости от­ носятся к функции F (— р).

Выбор нулей не столь прост. Если F (р) не является входной функцией, то .условие, что она не должна иметь нулей в правой полуплоскости, не обязательно. Поэтому не обязательно приписы­ вать функции F (р)' все нули функции G (р), расположенные в ле­ вой полуплоскости, это следует делать только в случае, когда функ­ ция F (р) должна быть функцией минимальной фазы. Если условие минимальной фазы не задано, то функции F (р) можно приписать некоторые нули правой полуплоскости. При этом комплексные нули объединяются в пары, так как F (р) должна иметь вещественные

35

коэффициенты. Нули на оси /со, так же как и полюсы, делятся поровну между F (р) и F (— р).

Итак, функция F (р) однозначно определяется функцией только в том случае, если F (р) должна быть функцией минимальной фазы. Применим рассмотренный метод для-аппроксимации передаточной функции идеального фильтра нижних частот максимально-плоской функцией. Если все нули передаточной функции находятся в беско­ нечности, то

Остается определить число слагаемых п и значения коэффици­ ентов В с тем, чтобы найти аппроксимирующую функцию. Первый коэффициент выбирают равным единице для того, чтобы исходная функция Н (/со) и аппроксимирующая функция совпадали при со = 0. Функция отклонения в полосе пропускания

k-ro порядка требуется, чтобы первые k производных функции о т -. клонения равнялись нулю. При х = 0 первые три производных

обеспечивает аппроксимацию по Тейлору £-го порядка для единицы на интервале | со | < 1. При данном значении п аппроксимация осу­ ществляется функцией вида

36

где полином РВп называется полиномом Баттерверта л-й степени.

Такие полиномы вычислены и представлены в [5, 81 для п в интер­ вале от 2 до 10. Там же приведены нули полиномов Баттерворта. Угловая частота, соответствующая половинной мощности, норми­ рована до 1.

Итак, получена рациональная функция, аппроксимирующая по Баттерворту идеальную передаточную функцию фильтра, все нули этой функции находятся в бесконечности.

Рассмотрим поведение аппроксимирующей функции в полосе

—это уравнение прямой с наклоном 20п дб на декаду.

Сучетом полученных соотношений, а также того обстоятельства,

что максимально-плоская кривая асимптотически приближается к единице в полосе пропускания, строим диаграмму, показанную на рис. 2-3. Граничная частота со = 1 соответствует точке v = 0. С удалением от граничной частоты в обе стороны максимально-пло­ ская аппроксимация приближается* к предельным значениям, т. е. к единице и к нулю. Максимальное отклонение при со = 1 состав­ ляет 3 дб. Очевидно, оно не зависит от порядка п аппроксимирую­ щей функции. Амплитудная (а) и фазовая (б) характеристики филь­ тра, аппроксимированного по Баттерворту, показаны на рис. 2-4 для п = 3.

В качестве примера максимально-плоской аппроксимации рассмотрим аппроксимацию передаточной функции фильтра низких частот с полосой пропускания до / 0 = 500 гц (3140 рад/сек), включаемого после источника тока. В указанной полосе величина передаточного полного сопротивления, определяемого как отношение выходного напряжения к входному току, не должна отклоняться от номинального значения более чем на е = 7%, а при

38

© > 2©0 модуль \ Z 2i\ должен составлять менее 10% своего номинального значения в полосе пропускания.

Нормируем частоту относительно 0 О(используя выражение для ш = 1):

Из условия для полосы заграждения найдем п:

2 lg 2

так что следует выбрать п = 5, ближайшее целое число. Теперь можно оп ределить частоту при половинной мощности из выражения £ л<о|" = 1:

Чтобы воспользоваться таблицами полиномов Баттерворта, основан­ ными на нормировании щ = 1 , нужно изменить принятое нормирование. После построения цепи (см. гл. 5) вычисляют денормированные значения параметров, используя 1,167 ©0 D качестве нормирующей частоты вместо ©0- По этим таблицам для требуемого передаточного сопротивления получаем

1 4- 3,2361/? 4 5,2361/?2 .4 5,2361/Я + 3.2361р^ + рз *

89

2-3. Равномерно-колебательная аппроксимация функции по модулю

Если функция / (лг) колеблется около заданной функции g (*), то разность между ними содержит ряд максимумов и минимумов. Некоторые.из отклонений могут быть большими, другие— малыми.

параметров ak таким образом, чтобы свести к минимуму наиболь­

Для наименьшего отклонения полинома f (л:) степени п от за­ данной функции g (я) в интервале [а, Ъ ] необходимо и достаточно, чтобы в этом интервале разность f (х) — g (х) достигала своих наи­ больших и наименьших значений не менее (п + 2) раз, причем знаки отклонений функции / (х) от функции g (х) должны чередоваться [7]. Если рациональная функция f (х), содержащая п параметров, аппроксимирует вещественную функцию g (х) на данном интервале по Чебышеву (т. е. так, что наибольшее отклонение / (х) от g (х) сводится к минимуму), то все отклонения от g (х) максимумов f (х) равны между собой и равны величинам отклонений на границах интервала. Аппроксимацию данного типа называют равноволновой или равномерно-колебательной.

Обратимся опять к низкочастотной идеальной функции квад­ рата модуля, предполагая снова, что все нули передаточной функ­ ции находятся в бесконечности. Таким образом, квадрат модуля передаточной функции равен постоянной, деленной на четный по­ лином, подобно выражению (2-6). Последующие рассуждения проще провести с этим полиномом, т. е. с функцией, обратной квадрату модуля, и рассматривать отношения входных величин к выходным.

40