книги / Синтез транзисторных усилителей и фильтров

не зависит от величины а и примерно равен я/Дсо. Таким образом, колебания характеристики могут задаваться выбором о. Увеличе­ ние значения о приводит к уменьшению колебаний и при конечном числе полюсов п суживает диапазон частот с данным отклонением фазы.

по Баттерворту) и рассчитаем положение комплексной пары полюсов из ус­

F(p) = __________U268_________

p3-f3p2 -f- 4,535/7 -}- 2,535'

Рис. 2-14.

Известны полиномы, обеспечивающие равномерно-колебатель­ ное приближение времени задержки. Коэффициенты полиномов передаточных функций были найдены методом решения нелиней­

К недостаткам перечисленных линейно-фазовых аппроксимаций следует отнести неравномерность амплитудно-частотной характе­ ристики в пределах линейной части фазовой характеристики (или соответственно плоской части времени задержки). Этот недостаток можно устранить, используя передаточную функцию постоянного

Чтобы получить линейную зависимость фазовой характеристики, полином Р (р) следует выбрать из числа полиномов, обеспечиваю­ щих линейность фазы.

Фазовый сдвиг

52

и время задержки

функций постоянного модуля в два раза превосходят значения фа­ зового сдвига и времени задержки соответствующих функций, со­ ставленных только из конечных полюсов. Это можно показать с по­ мощью уравнений (1-17), (1-18), (2-34) и (2-40).

2-5. Сравнение различных аппроксимаций передаточных функций

Сравним некоторые аппроксимации, которые приводят к пере­ даточным функциям, не имеющим конечных нулей.

На рис. 2-15 и 2-16 показаны соответственно амплитудные и фа­ зовые характеристики пяти аппроксимирующих функций третьего

положения полюсов этих функций приведены на рис. 2-17. (X — аппроксимация по Баттерворту, Д — по Чебышеву, О — по Па­ пулису, □ — по Бесселю, V — линейно-фазовая аппроксимация). Эти рисунки дают возможность судить о влиянии расположения полюсов на характеристики фильтров нижних частот.

53

Сравним сначала амплитудные характеристики. Из рис. 2-15 видно, что увеличение затухания в полосе заграждения много больше для тех функций, которые аппроксимированы по модулю, чем для тех, которые аппроксимированы по аргументу. Это оче­ видный результат. Затухание в полосе заграждения увеличивается тем сильнее, чем ближе расположены полюсы к оси /ю (рис. 2-17). Это понятно, так как полюсы, близкие к оси /со, сильнее изменяют в зависимости от частоты длину и фазовый угол вектора от полюса до оси /со. Величина, характеризующая относительное положение полюса на плоскости р, называется добротностью Q. Добротность

с наибольшим затуханием в полосе заграждения и допускаются колебания в полосе пропускания, то наиболее подходящей яв­ ляется аппроксимация по Чебышеву. При этом увеличение ампли­ туды колебаний приводит к возрастанию затухания и наоборот. Заметим, что для функции Чебышева полюсы расположены ближе к оси /со, чем для других функций (рис. 2-17). Небольшие различия между расчетным и действительным расположениями полюсов ока­ зывают более сильное влияние на характеристики цепи, когда по­ люс расположен ближе к оси /со (т. е. имеет ббльшую добротность). Следовательно, если важно реализовать требуемые амплитудную и фазовую характеристики возможно точнее, то нужно найти зна­ чения параметров элементов для фильтра Чебышева гораздо бо­ лее точно, чем для других.

Из всех известных характеристик, не имеющих колебаний в по­ лосе пропускания/ наибольшее затухание в полосе заграждения дает аппроксимация по Папулису.

54

В ряде других случаев целесообразно использовать аппрокси­ мации по аргументу. Так, если передаточную функцию предпола­ гается реализовать цепью, на которую будут подаваться прямо­ угольные импульсы, и выходная форма импульса будет контроли­ роваться, то более важной становится фазовая характеристика. Переходная характеристика цепи с линейной фазой имеет меньший выброс выходного напряжения, чем соответствующие характери-

«» с)

стики цепей, реализующих функции, аппроксимированные по мо­ дулю. Это видно из рассмотрения осциллограмм прохождения прямоугольного импульса через электрические цепи, соответствую­ щие функциям третьего порядка с различными видами приближе­ ния. Осциллограммы рис. 2-18 {а — входной сигнал, б — фильтр Ваттерворта, в — фильтр Чебышева, г — фильтр класса L, д — линия задержки Бесселя, е — линия задержки с линейно-фазовой чарактеристикой) заимствованы из работы [12].

Амплитудные характеристики максимально-плоской аппрокси­ мации времени задержки и функции с .линейным расположением полюсов при /г = 3 настолько совпадают, что их можно рассматри­ вать вместе. Обе они.изменяются монотонно и в полосе заграждения имеют значительно меньшее затухание, чем кривые, соответствую­ щие аппроксимациям по модулю. Так, на частоте а) = 4 их зату­ хание на 20 дб ниже, чем у кривых, аппроксимированных по

65

нец, у чебышевской характеристики оно не достигает значительной величины в полосе пропускания. При возрастании частоты все

фазовые характеристики стремятся к предельному значению---- — я,

2

или для трехполюсной функции к —270°. Из сказанного видно, что передаточные функции, полученные на основе аппрокси­ мации по модулю, имеют фазовые харак­ теристики, значительно отличающиеся от идеальных. Аналогично амплитудно-частот- II ные характеристики передаточных функ­ ций, аппроксимированных по аргументу, далеки от ступенчатой формы. Наиболее простой способ одновременной аппрокси­ мации функции по модулю и аргументу состоит в использовании некоторого усред­ ненного расположения полюсов и нулей, получающегося из аппроксимации функции по модулю и аппроксимации функции по

аргументу. Например, объединить преимущества максимально­ плоской и линейно-фазовой функций можно, расположив полюсы по окружности с центром в начале координат на равных расстоя­ ниях по вертикали (а не с равными углами между полюсами). Ди­ аграмма расположения полюсов для этого случая показана на рис. 2-19.

Для сравнения различных аппроксимаций удобно также ис­ пользовать импульсные переходные характеристики фильтров [131.

2-6. Преобразование частоты

В предыдущих параграфах данной главы показаны методы решения задач аппроксимации по модулю и аргументу передаточ­ ной функции в полосе низких частот. При синтезе высокочастотных, полосовых и заградительных фильтров, а также различных усили­ телей можно использовать т.е же аппроксимирующие функции, применив к ним некоторые преобразования переменной со (или р).

Пусть, например, требуется аппроксимировать амплитудночастотную характеристику высокочастотной функции, которая в нормированном виде представлена на рис. 2-20. Очевидно, такую характеристику можно рассматривать как отображение низкочас-

56

тотнои характеристики на область частот 1 < w < оо. Отображение получается при замене переменной

р = 1/s в аппроксимирующей функции цепи. Такое преобразование

f(s ) =

При аппроксимации по Баттерворту корни знаменателя только поменяются местами со своими сопряженными величинами, так как при модуле, равном 1, обратные комплексы равны своим сопряжен­ ным. Поскольку корни знаменателя находятся в сопряженных па­ рах (или имеется корень рг = — 1), то полином знаменателя со­ всем не изменится. Кроме того, в полиномах Баттерворта а0 = 1, поэтому высокочастотная функция Баттерворта отличается от низ­ кочастотной только числителем, в котором появляется л-кратный нуль. Следует отметить, что при синтезе jRCL-цепей преобразова­ ние частоты выполняется не на этапе аппроксимации, а после реа­ лизации низкочастотной функции. Так, если функция модуля за­ дана на произвольном высокочастотном интервале s, то с помощью преобразования

где р — нормированная низкочастотная переменная, она преобра­ зуется в нормированную низкочастотную функцию. Задача ре­

57

шается в низкочастотном интервале, и полученная функция реали­ зуется низкочастотной цепью. Искомая цепь получается измене­ нием элементов низкочастотной цепи таким образом, чтобы сопро­ тивление каждого элемента (или группы элементов) на какой-то частоте высокочастотного интервала было таким же, как и сопро­ тивление соответствующего элемента на соответствующей частоте низкочастотного интервала.

Пусть LH и Си обозначают индуктивность и емкость низкоча­ стотной цепи. При преобразовании р — co0/s требуется, чтобы

1 СнР СцО)о

где индекс «в» относятся к элементам высокочастотной цепи. Сле­ довательно,

(2-45)

т. е. если при реализации нормированной низкочастотной функции заменить каждую индуктивность емкостью, а каждую емкость — индуктивностью согласно формулам (2-45) (сопротивления R при этом не изменяются), то получится цепь, реализующая заданную высокочастотную функцию.

Такая методика значительно сокращает вычислительную ра­ боту, однако она не всегда применима при синтезе активных RC-це­ пей. В тех случаях, когда такая процедура возможна, емкости заменяются сопротивлениями и наоборот. Формы связи между высо­ кочастотными и низкочастотными элементами активных цепей бу­ дут приведены при синтезе соответствующих цепей.

Рассмотрим преобразование низкочастотной характеристики- в полосовую. Для выполнения такого преобразования частотная переменная со низкочастотной функции заменяется новой перемен­ ной:

ветствует двум точкам со'= 0 и со —►оо в полосовой, и, наконец, точ­ кам со = 1 и со = — 1 соответствует две частоты среза сох и со 2 по­ лосовой функции (рис. 2-21).

При рассмотрении полосовых функций целесообразно ввести понятие ширины полосы В. Заметим, что для низкочастотной функ­ ции ширина полосы В совпадает с частотой среза (для высокоча-

58

стотной функции это понятие лишено смысла). Ширина полосы в низкочастотной функции со — ± В соответствует ширине полосы

0) ^а>'4 = + £

в полосовой. Решив это уравнение, найдем

(2-47)

Изложенное становится более ясным после анализа амплитуд­ ных характеристик, представленных на рис. 2-22, где / — низко­ частотная характеристика, 2 — полосовая. Для полосовой функции

при положительных частотах имеются две частоты, соответствую­ щие © = ± В. Эти частоты определяются уравнениями:

Если взять среднегеометрическое этих частот, получим

Следовательно, полосовая функция имеет геометрическую, а не арифметическую симметрию относительно средней частоты ©0, т- е* половина полосы пропускания, лежащая ниже ©0, более сжата, чем половина, лежащая выше ©0; это значит, что ©0 — ©х < ©2 — ©0. Разность между ©j и ©2 равна ширине полосы пропускания:

Заметим, что если преобразование частоты, определяемое со­ отношением (2-46), применить к линейно-фазовым аппроксимациям, то фазовая характеристика преобразованной функции перестанет быть линейной. Для получения неискаженной фазовой характери­ стики применяют другие виды преобразований (см., например, [14]). Правда, в этих случаях искажается амплитудная характе­ ристика.

59

При переходе к функциям комплексной частоты р = /со преоб­ разование низкочастотной функции в полосовую принимает вид:

S2 - f

(2-50)

Аналогично можно получить преобразование частоты, соответст­ вующее переходу от низкочастотной функции к заграждающей (рис. 2-23). В этом случае

■W

Приведенные преобразования позволяют заменить аппрокси­ мацию полосовых и заграждающих характеристик низкочастотной аппроксимацией с последующим их применением.

Функции цепи удобнее иметь в виде произведения простых мно­ жителей, чтобы избавиться от вычисления корней полиномов. Поэтому формулы (2-50) и (2-51) следует применять непосредст­ венно для отыскания полюсов и нулей нужной функции по извест­ ным полюсам низкочастотной.

Каждый простой множитель низкочастотной функции преобра­ зуется согласно формуле (2-50) следующим образом:

1 e 1

р - рк .*+-г

Это выражение можно представить в виде:

1

(2-52)

Р —Рк

Из формулы (2-52) видно, что каждый полюс pk низкочастотной функции преобразуется в два полюса полосовой функции, которые

60