книги / Составные стержни и пластинки
..pdfюлучим упрощенное уравнение устойчивости составного стерж ня, сжатого центрально приложенной силой/7:
y m - ( f - Y £ j ) y " = 0 . |
(54.5) |
При шарнирных опорах на концах стержня (л = 0 их—О кривая выпучивания является синусоидой:
у - f sin ( fr x ll) . |
(54.6) |
После подстановки (6 ) в (5) получим
Р |
с |
Z E J |
I* = 4 |
откуда
о « Зг\ е Э 2 JTZ£E J L 2
р = V — J3— +Л г а . - Г - + Z 4 , с\
55. СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Будем исходить из общего уравнения для сдвигающих сил (5.17), которое имеет при двух составляющих брусьях вид
(т '/$ )'= |
<ГТ+А, |
(55.1) |
где |
|
|
г г - f / ( £ r Fr ) t l l ( £ i Fi l * c 1I S £ U ■ |
|
|
А = N ° / i £ t F1 ) - N I K £ 2 FZ ) 1- / с / д а . |
|
|
Уравнению (1) можно придать вид: |
|
|
т"/5 ~ ( $ '/ $ 2)Т =2ГТ+Л |
или $ т'- ^ 'Т -% $ гТ=$гА . |
(55.2) |
В общем случае уравнение (2 ) следует решать численными метода ми. Аналитические решения получаются лишь в частных случаях. Рассмотрим некоторые из них.
1. Стержень не изменяется по высоте, но имеет переменную ши рину b (*) . Связи сдвига равномерно распределены по площади шва (рис. 90), имеющего постоянную толщину.
£ = аЪ(х)-, |
А - |
-B ih, |
1 |
12с |
Ъ(х) |
* Е2 h'z |
+ E1h 3 + Ег h* |
||
А = ЬШ |
р = JUl— |
*2 |
12 М с |
|
>Н |
Eth* |
|
E jh S tE zh * |
|
где а, А - постоянные величины. |
|
|
|
|
Уравнение (2 ) будет
аЪ(ж)т "-аЪ '(ж/т- аАЪ(*)Т= а гЬ (x)R
или |
|
Т"~g ( x ) T ' - a A T ^ a R g (х) = Ь '(*)/Ь (х)- |
(55.3) |
Аналитическое решение получим при |
|
Ъ(х)~ fieOLX Q(x)-oc}
когда уравнение (3) приводится к виду
Т"- ос Т'~ аАТ ~ aR.
Общее решение здесь
Т - C1B hlK-i-Cz е*2*+Т*,
где /А, и Az —корнн характеристического уравнения
И2- осА - аА - 0,
определяемые по формуле
частное решение. Постоянные 0^ и ^определяю тся из граничных усло-
' вин.
При
b ( x ) = ft'* fL; д(Х>=П/х
уравнение (3) приобретает следующий вид: 7~" = ( n fx ) T '- a AT =a.R.
Однородное уравнение
x T " - n T '- o c A x T = 0
имеет решение*
[С11 ) { У((1А х)+Сг К^{'1аА<х ), |
(55.4) |
где 1у и Ку— модифицированны е функции Бесселп порядка |
|
(n+D/ г . |
|
При п ~ 1, т.е. при линейной функции b(x)=Jix порядок функций
Бесселя равен единице, при |
п — — l[ b (x )= j5 /x l получим функции |
Бесселя порядка нуль, при л |
целом четное решение (4) выражает |
ся через элементарные функции. |
|
Частное решение при |
равно Т =-{RfA) при переменном R |
оно может быть найдено методом вариации произвольных посто янных, на чем здесь останавливаться не будем.
2 . Оба стержня одинаково изменяются вдоль оси по высоте, но не изменяются по ширине (рис. 91). Шов постоянной толщины
В1 |
&г h Z (х) |
В3 |
4 -const, %'~0) |
h 3 (*) |
h(x) ’ |
h ( x ) + |
где &-} , В2 >^3— постоянные величины.
Уравнение (2) будет
Т" _ ёз Т+Д
Цh(x)
При |
h(x) = x n |
имеем
Т " - $ В } * - ПТ = $ А . |
(55.5) |
Решение однородного дифференциального уравнения ( й ~ 0) :*
т= /т f c i y ( / т ъ ; |
- £ ) * |
с2 к у |
( /тт3 — ■)}, |
|
где |
|
|
|
|
2q ~2 = -h. ) |
q = 1 - и / г |
; |
V = 1/2 $ = 1/(2 -п ). |
|
При п — 1 : |
|
|
|
|
4 = 1 , 4 |
= |
1/2 |
|
|
Э. К ам ке. Справочник по обыкновенны м дифференциальным уравнениям, 1951, с. 581, ф-ла (9 ).
Э. К ам ке. Справочник по обы кновенны м дифференциальным Уравнениям, 1951, с. 5 8 1 ,ф-ла (10).
При п — 3
<1 = -1/2 -
При п —2 дифференциальное уравнение (5) вырождается в урав нение Эйлера, решение которого при4= 0 можно искать в виде
ТСх |
, |
при этом: |
|
СЛ( * - 1 ! х л~г - £ , в ъ С х * ~ г= 0 , Л ( Л - 1 ) - ^ в 3 = 0; |
|
Лг - А - $ В } =0; |
Л Ч / 2 ± |
Таким образом, имеем решение:
T~Cix |
* |
|
|
где Т —частное решение. |
|
3. Площади сечений составляющих стержней постоянны, а рас стояние между ними изменяется по линейному закону; коэффици ент податливости шва 1/^ изменяется по закону * . Этот случай соответствует часто встречающимся в практике решетчатым состав ным стержням с поясами, оси которых составляют острый угол (рис. 92), Здесь:
с = А х , $ = В / с г = В / ( А г* ‘) , ^
гго 1 / (E i F )*Ц 1Е1 F J + A x 1/ E E J ;
Г ( ш Л . Л - L —
|
|
$ = |
\!Q + i/*i |
и, согласно |
(7), (8 ) |
и (9): |
|
Т ~ |
x ~ 0,S [ |
С, |
( 1 7 х ) + сг к + { * ъ * У \ ' |
Г л а в а 9. ПРОСТРАНСТВЕННО РАБОТАЮЩИЕ СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ
САБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
56.СТЕРЖЕНЬ, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ ОТДЕЛЬНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Впространственно работающем составном стержне поперечные сечения его могут смещаться в своей плоскости в двух направлени ях, а также закручиваться вокруг некоторого мгновенного центра. Считаем, что составляющие стержни тонкостенные, открытого про филя, скреплены жесткими в своей плоскости, достаточно часто по ставленными диафрагмами, играющими роль поперечных связей. Ввиду этого все сечение составного стержня перемещается и пово рачивается в своей плоскости как жесткое целое. Связи сдвига в пространственном составном стержне могут быть расположены так, что они препятствуют взаимному смещению вдоль оси стержня любых точек поперечного сечения различных составляющих стерж ней.
Вкачестве основной системы примем стержень, лишенный свя зей сдвига. Каждый составляющий стержень основной системы нагружен приложенными к нему внешними силами и усилиями, передающимися на него связями сдвига и жесткими диафрагмами. Последние усилия перераспределяют внешние изгибающие и кру тящиеся моменты, которые приложены к составляющим стерж ням, между этими стержнями пропорционально их жесткостям на изгиб и на стесненное кручение.
Для дальнейшего изложения необходимо ввести понятие центра изгиба сечения составного стержня, лишенного связей сдвига, и дать способ его определения. Повернем сечение составного стерж ня как жесткое целое на малый угол 6 вокруг центра с коорди натами сх , Су , заданными в произвольной прямоугольной систе ме координат х, У (рис. 93). При этом сечении каждого составляю
щего стержня с координатами центра тяжести |
, Ь* сместятся в |
||
направлении оси я |
на величину &(6р - су) и в направлении оси у |
||
на величину — Q ( |
- сх ) . |
Эти смещения вызывают изгибаю |
|
щие моменты в составляющих стержнях:
Сечение составного стержня |
Рйс. 93 |
X
где J x j |
Су |
и |
— экваториальные и центробежный моменты инерции |
|
сечения |
t-ro |
составляющего стержня; штрихами обозначены производные |
||
по длине стержня |
z |
. В отличие от обычных правил сопротивления мате |
||
риалов момент инерции |
Эх берется относительно оси у , а момент инерции |
|||
J — относительно оси |
. AfJ и М* означают изгибающие моменты в с-ом |
|||
Стержне, действующие в плоскостях zx и zy.
Полные изгибающие моменты во всем сечении составного стерж ня выражаются формулами:
л /,= ZA /;' = - e " l Z E ^‘ (s f - c x) * z e ^ y (6^-oj/)];
M y - * z M y = е " [ г е э ' ( Ь у - cy ) * z s 3 ^
Если сж>су —координаты центра изгиба, иначе называемого цент ром вращения, то стержень испытывает только кручение без изги ба. Отсюда следует, что в этом случае М=Му= О
и
сУ = » к * К
= Е В К у K + Z H y Ъу
Из этих двух уравнений находятся координаты ся, Су центра изги ба, выражения для которых здесь записывать не будем.
Пусть относительное смещение сечения z ~ z 0 и сечения z=-za+ + d z основной системы представляет собой поворот вокруг центра
Учитывая равенство (1), получим, что производная от разности смещений связи сдвига в точке разреза
EL(А.к)- £*/ у =f Ви /(EJj) [ со‘(A.k) ~ to ( А . к )] , |
(56.2) |
а так как координаты со«•’ и toкотличаются одни от других только разными началами отсчета, то выражение, стоящее в квадратных скобках равенства (2 ), не зависит от положения точки А^на линии связи сдвига и, следовательно,
где Л Си — секториальная координата ю (Л'У точки |
Мк—начала координат |
||
ш * , отсчитанная в координатах ю*, продолженных через связь А£ - |
, или |
||
равная ей секториальная координата |
со* ( М^) точки |
М - - начала отсчета |
|
координат (О1, взятая в координатах |
со*, продолженных через связь А к —А^ |
||
(рис. 9 5 ). Полная секториальная ж е с т к о с т ь ^ здесь обозначена через
Дадим теперь поступательные смещения и сечениям составного стержня в направлении главной оси инерции всего сечения состав ного стержня х . При этом возникнут продольные перемещения, распределенные по закону плоских сечений, причем в центре тяжес ти сечения каждого составляющего стержня эти перемещения бу дут равны нулю. Получим напряженное состояние, соответствую щее изгибу стержня в направлении оси х , которое полностью соответствует поведению составного стержня с абсолютно жестки ми поперечными связями при изгибе в главной плоскости инерции полного сечения. В основной системе по направлениям разрезов