книги / Составные стержни и пластинки
..pdf„у_ л / ch А х - c h A l |
^ 1 г ~ х 2 ) |
|
У=М ZA z J ? c h A l |
+ ЪЕоЭо |
' |
На левой опоре при л =0 |
|
|
|
1 - c h M |
|
% = ! / ’« » = р ( г х г т>сьхг * |
j e Л / |
|
При загружении балки изгибающими моментами, приложенными к торцам, согласно (36.4), имеем:
|
|
- М |
( - |
s h A x |
|
л |
|
|
|
|
|
AVchAl |
|
£о з0 ■у |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
а на левой опоре при х= - 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(39.1) |
Приравняв нулю выражение |
|
|
|
|
|
||||
4> + 4> = р ( — |
-----------ch X I |
-1 — |
V |
д J — I — |
t f t A }. |
) - р |
|||
р м |
U e p^ |
2хг v ch \г |
) |
\E0Jg |
w |
1 Uj |
|||
получим |
|
PI |
2E0Jo ( c h A t - 1 )~ J ) X 2t z ch M |
|
|
||||
|
М= |
|
|
||||||
|
|
4E0 lg\ l s h A l |
+ЪА21г сЬ\1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
или, видя обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Л г - V ; |
|
|
|
|
(39.2) |
|
& |
_ |
V ( Ер Эр) |
|
|
|
S . E J |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
~ll(BBJ)~1f(E0l0) |
Е0 30 - E E J ■ М |
|
|
|||||
найдем
М = Р1 2 c h i - 2 -Jbi>ZChi>
4i>sh'dimjh'd2’ Ch)}
Вслучае жестко закрепленных на сдвиг торцов из (37.8) имеем
Р/ • - М л Р - 2 2
У ~ 2 \ гТ) ( - c h A x + t h - ^2j - s h X x + l ) + t e ’f i ( l Z~ x Z),
на левой опоре
P V
%= У '(О) -
К Л
и для 4>м имеем выражение (39.1). Из условия 4>р + = 0 находим:
W J =°-> I M i W b M + W W l h - O ;
ш
*1 Е о д о М М + Ш " ^B ol0 (th M tjix i)
Возьмем теперь балку, нагруженную равномерно распределен ной нагрузкой.
При торцах, свободных в отношении сдвига, согласно (36.14):
/ ^ / Sh Л л . А CL . г 2 з v
у ^ |
Ы |
г |
- |
Ххг т |
|
^ г |
( - |
1 П |
* |
* * * >■> |
|
на опоре |
|
|
a |
|
|
|
а |
3 |
|
||
v |
= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Н ь л 1 + М ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О О |
|
С учетом |
(1) получим: |
|
|
|
|
|
|
||||
^ A Z - t A A l |
, |
i* |
|
|
t h A l |
|
|
||||
|
А*Р |
|
s b r ) tM (- |
АТ) |
|
О ''о |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hr)*» |
|
|
(Al--bhAl)/(A32)+ t3/(3E03c) |
qdz |
3J-3*h)>+J3)>3 |
||||||||
|
th A lim + t/(E 0D0) |
|
' |
3 |
|
+ |
|||||
При жестко закрепленных торцах из |
(37.12) следует: |
||||||||||
|
4 |
|
t shAx |
q,x |
|
q ( - i 2 i zx+*tx3) |
|||||
ч‘~ т> Az shAt |
AZD |
q.t3 |
|
<ti3 |
|
||||||
Ур!)* |
_ |
l |
|
n |
|
|
|
||||
3> |
Л2 |
|
\2D ■ T |
" |
|
|
3 eB3, |
' |
|||
|
|
|
Q t2 |
m |
n |
и |
|
V*-1 |
• |
||
|
|
|
|
|
|
|
-0, |
M--------- — |
|||
40.ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРОГИБОВ
СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
Общее решение дифференциального уравнения (35.11) можно получить методом вариации произвольных постоянных. Ввиду не которой громоздкости вывода дадим сразу окончательный резуль
тат, который затем проверим подстановкой в исходное уравнение
*
У ~ |
^ shAx+-Cz ch A x |
+ С3х |
+ |
/ |
М0 ft) * |
•* |
s h X ( x - t ) dt = |
\ М(t) ( x - t ) d t . |
|||
|
А |
г |
о |
° |
(40.1) |
|
о |
JoоJ |
|
|
|
Дифференцируя, получим
X |
^ |
yi^/iC1chXn+XC2shXx*CfY jl/(t)chA (x -t)dt-j^ ffvibjdtJ
М°м |
M°M |
/ = / ^ SW A + XZC2 C h \x -■£ f M°(t)sh\(x-t)cLt - у - ' |
£J 6 |
= A % s h A x +XZC2chA* ' j y j M ° ( t ) s h A (x - t ) c U |
■ |
О |
|
у = A^chAx * AC2shAx - ^ jt f ° ( * ) chA(x- t)dt - |
; |
^ О |
|
X |
|
y s , £ c , shA x +>?сг ChAx - £ jM (t> s h * C x - i ) d i - £ M % )-— >
и подставляя в (35.7), приходим к тождеству. Далее находим
|
- f - + у= к \ |
shAx + / с2сШ - £ - [ м Ъ)МЛ (x-t)dt, |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
°Х |
|
|
|
& |
= |
'V ,chXxtACshXх - f M t ) c h A ( x - t ) d t . |
|
|||||
Z c J |
Z.EJ |
|
'• |
^ |
V £ |
|
|
|
|
При x -0 |
|
|
2 &EJ „ |
xx. |
, |
Л |
|
y(0) = C2+C, |
|
|
|
|||||
y'(0)=,\C1+C3 , T(0)-A -~Г~Г2 >W |
— |
|
||||||
|
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
cr - - j r t W |
7 W . |
C2 ~ A 2 S E J |
T<° ) ’ |
|
|||
|
c, ^ ' !0>- |
j r |
h T |
r(OJi c^ |
w ) - i |
h n |
T<el |
|
Подставив |
эти значения произвольных |
постоянных |
в решение |
|||||
( I) |
- (2), получим уравнения метода начальных параметров: |
|||||||
У = у(0)+ у '(0 )х + Г(О) JT£ £ J |
f s /7 /U - Л х |
) /■ Т(0) * |
|
|
y g j (cbАх " 1) “ |
J М ("t)sh\ (x~'t)ctb ~ £ ^ "* |
|
||
* |
О |
|
^ |
|
о |
(x - t)c t- k i |
|
|
|
|
|
|
|
|
У '= у'(О )+ ? « > ! - £ _ |
{ Ш х . 1Нт(0)1± |
_ shXx J |
(4 0 з ) |
|
1 г M °(t)chA (x - t)c L t -- jrzr J* M ° ( - k )d t ; |
|
|||
о |
^о'ъ |
о |
|
|
|
|
Л |
|
|
Т = Г ( 0 ) ~ ? - + т (о№ * х - ^ § 2 J M ° ( tjs h \ (x-t)cLt.
\ ° |
* |
*■ = г-дагАйл * m o j s M * - — |
J u w c h x ( x - t ) d t . |
|
Л |
Заметим также, что |
|
y -r F l £ T |
- |
X |
|
EaJo f M (t)(* -"t)cLt j
,
►(40.4)
Выражения (4) не содержат гиперболических функций.
В формулах (3) и (4) внешняя нагрузка представлена через из гибающие моменты, которые нетрудно получить для статически оп ределимых балок. Если же' балка статически неопределима, на пример заделана по концам, то эпюру моментов следует предста вить в виде суммы эпюр пролетных моментов №„(*), вычисляемых
для статически определимой |
(свободно |
опертой или консольной) |
|
балки и опорных моментов |
А^л= MA + Q |
х, где МАи |
- значения |
изгибающего момента и поперечной силы на левом конце балки. Подставив в выражения (3)
МotтIt; ---МА+ад t +M„t, |
(40.5) |
|
|
|
|
и, учитывая, что |
|
|
X |
* |
|
J s b A ( x - t) d t = (сМ х-1)/А; |
JchA(x—i)dt=- (s b M fA ; |
|
о |
о |
j-bshA(*--t)di= ( s h A x - Лх)/Аг, ftc h A (*-t)d±~(vhAx-1)JXzJ |
|||||||
0 x |
|
g |
x |
aJ |
|
X |
|
/ 6* - t)c tt |
/ 2 , |
J d x ~ A? f i ( x - t ) d i - x / 6 ;J t d - t - x Zf z , |
|
||||
0 |
|
0 |
о |
|
|
0 |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
j/( 0 ) ty '(0 ) x * tr { a > - ^ ~ ^ (shM - M + T < 0 ) j z ~ |
|
||||||
*(chAx-i)-jZJ} (chAx-1)~ p M* |
—— - ^ - . ( s h A x - A x ) - |
|
|||||
|
|
|
£0Jv |
2 |
A317 |
n |
|
QJ |
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
MnW (x -t)dt; |
|
|
- J 2 $ MaU)ShA <X~t)4t |
|
||||||
Eo30 6 |
AD |
|
|
|
|
|
|
y ‘= y ’(0)+T(o) J Z J E J (chA* " 1)+T(0) TZ E J |
sh*x ~ 7 JT * |
|
|||||
<shAx- - ! - i - X ---- (cM x-l)— ?A |
** - — |
f M .(t)‘ |
^.(40.6) |
||||
|
|||||||
Е Л |
|
x |
|
|
2 |
T> i ’ |
|
c h M x - t ) d t —=lrr- J |
M ( - t)d t; |
|
|
||||
|
C0 °0 0 |
|
|
|
|
|
|
T-t(0) Sh^ * - ^ T ( f f ) c h A x M A( C h A x - 1 ) - ^ ^ Qx |
|
||||||
H s b A x - A x , - ^ - f " , W (* -* > * * ’ |
|
||||||
|
C l ) |
Д |
C»£“| |
jT*p ~J |
|
||
|
|
|
|
||||
X —“fc(0)chAx + T~(0)AsbAx — |
|
MAA$hAx "cD~ ^ |
|
||||
|
AZ2EJ |
Г |
|
|
|
|
|
x(chAx-f)-----— — |
J Mn (-t)chA ( x - - i) d t . |
|
|
||||
Сюда можно добавить еще уравнения • (1)
M = M A + QA x + Mn W 't Q*QA +M'lx)*
Получены уравнения начальных параметров более общего вида, пригодного для статически неопределимых балок.14
41. РАСЧЕТ РАМ ИЗ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Весьма эффективный расчет рам по методу перемещений при меняется как для обычного недеформационного расчета, так и для расчета рам на устойчивость и на динамические воздействия. Основ-
Рис. 66
Рис. 65
Рис.
ным элементом этого расчета является стержень, заделанный обо ими концами или заделанный одним концом с шарнирно опертым или свободным другим. Если стержни рамы составные, то для определения реакций опор при повороте или смещении узлов сле дует исходить из уравнений прогиба составного стержня - в обыч ном случае двухветвенного стержня из уравнения (35.11) и его ре шения в форме метода начальных параметров (40.3).
Стержни рамы могут иметь на концах жесткие закрепления про тив сдвигов, что является наиболее частым случаем ( рис. 65), или свободные для сдвигов торцы (рис. 66) . Наконец, могут быть упругие закрепления против сдвигов, возникающие как следствие неразрывной передачи сдвигов от стержня к стержню, как, напри мер, в неразрезных составных балках (рис. 67).
Рассмотрим сначала работу заделанного по концам двухветвен ного стержня с жесткими закреплениями против сдвигов торцов. При повороте левого конца такого стержня на угол V0 имеем начальныё условия:
у ( 0 > - 0 \ y'!0)=Vo-, Z ( 0 )= 0
(41.1)
и у с л о в и я на п р аво м к о н ц е :
y(t)=o: у ’( I) - о , гг(1)^о. |
(41-2) |
Используя формулы ( 40.6) и полагая в них Мп = 0, на основа нии (1) и (2) получим систему уравнений:
/7 |
MA |
MA |
e |
f¥,A |
L |
||
4>l +T(Q) xz z |
— ( c h A l - V - ^ < c W - 1 ) - - j T ^ y - - j b j j |
||
« QA l 3 _ n .
>(ShM-A U - J ^ Y ' O ,
If + T(0) |
n |
. . - |
Ate |
_, ii |
A/^ |
— -— |
s/?/U |
г - 5 Ы г - — |
|||
0 |
/1Г£7 |
|
И2? |
г2 |
|
|
|
|
л и |
|
|
|
*(chAl.-1)~-T-z |
Т" |
|
||
|
|
|
'''л |
^ |
|
|
|
|
Ё0 ^0 |
|
|
, |
0Л |
(41.3) |
|
||
г - 1 |
^ х |
|
T(0)AshAl--^-AEEJshAt~y^-Z:Bl (cbM~1)=0.
Второе уравнени е это й |
си стем ы м ож но |
у п р о сти ть , вы чи тая |
из |
|
него третье урав н ен и е, ум н о ж ен н о е на c f ( £ E 3 А2) .п р и в ед я его |
та |
|||
ки м образом к в и д у |
|
|
|
|
Ч - м а Т э„ |
- 4* г е 0 J0 |
=0 . |
(41.4) |
|
|
||||
Далее, используя обозначения (39.2)
■О—A l , f i = -Z2/ Ео^0 ^ системе уравнении (3), (4) можно придать вид
r < W ~ y г (с* У-*; + /И, (i - c h '> > - ± jb /) + ^ (} - s h 1 - j*
*р-) )+ Ч>/РЛ =0J
> (41.5)
- М А - — т - Ч - 4 4 " * ;
T(0)~EFJ cshi>~ MAshi> ~^y - ( c h 'A - D ^ O .
Решая эту последнюю систему по правилу Крамера, находим ее определитель
c h V ' l |
I - CM - J JM2 |
|
|
0 |
- 1 |
- J L |
|
^ |
-sh У |
7_ £>A 9 |
|
= 2 - 2 c h i + T > s h t + ( K W f i ^ s h i |
(41-6) |
||
и определитель, получаемый заменой второго столбца свободными членами:
Ch)>-1 |
^о гРАг |
V - s h V - ' j f i i ) * |
О |
Ч>0 Eg Dp |
г |
|
||
|
|
|
Sh'A |
|
1-chi> |
%е 0 и0
-(Z -Z c h 9 * Ash9+-y JS& s h f) .
Отсюда полним |
|
|
|
|
%E0io |
2 -Zch )> + 9sh*'+ Ol3)pi> s h )> |
|
A |
t |
2 -2 c h '> + * shj>+(i!l2)Jti>3sh)> |
|
и далее находим |
|
|
|
|
|
% £ Л |
f i v Sh'A |
|
|
2 t 2 |
2 -2 ch ))+)>shi+(1/I2)fifs h У |
_ _ |
|
A3sh'i |
|
2 1 г |
2 - 2 c h ^ + f s h $ +(l/1 2 )fli> Sh |
||
(41. 7)
(41.8)
(41.9)
M = M + iQ= |
% E03g |
2 -2ch >>+ Ash A-(l/6)Jb9*sh A |
(41.10) |
|
z |
2 - 2ch A + Ash A +(1f12)fi A3shA |
|||
t A |
~A |
t z |
|
|
При оседании правой опоры на значение <? граничные условия следующие:
|
у ( 0)=*О) |
у ,(о)-о; |
|
£(0)~0: 1 |
(41.11) |
|
|
y (t) = &; |
у ’(г)=0; |
|
г (г )^ 0^ J |
||
и получим уравнения: |
|
|
|
|
||
|
|
|
МА |
|
М А |
|
™ |
л Ч |
Е |
л >2> ( c h A - i) |
2 |
|
|
|
А 3Р |
|
6 |
°* |
|
(41.12) |
|
|
|
|
|
|
|
T(0)T Z E J * nr |
АП |
|
|
< c h 1>' $ , т |
° ‘ |
|
|
sl" >~ |
|
|
|
||
|
|
|
О |
|
V^ |
|
T(0)Ashl?-~£])-AZE3shl> --^d. £ E u ( c h ) - i ) ^ 0 , |
|
|||||
причем второе уравнение системы здесь можно заменить на
Мл у | Q A |
I* |
О, |
откуда Qa-~ |
г м А |
Ео ио |
2 |
|
|
ь |
Определитель системы уравнений (11)—(12) тот же, что и у системы (5) и выражается формулой (6), а вместо (7) получим:
c h l- 1 |
Хг2 8 |
|
О |
О |
A 2V<?s h 1 |
s h l |
О |
2 |
1 - Chi |
и вместо (8)-(Ю ):
M = __£D_ ____________ j>3sh1______________ .
А |
2~2 c h f + ls h 1 + ( / Ы ъ/1 2 ) $ Ь $ |
Q e 8j>_____________ 1 * s h 1 _______________
АI 3 2-2ch)> + I s h l + (fo»3j i 2 ) s h $
Мь ~ Ма +1°а =М а - 2 М а ~ - „ а
Если стержень шарнирно оперт правым концом, то при повороте левого конца на угол Ч>0граничные условия будут:
y(0)=^t(0)=0- у ’(0)=% \ y ( t) s Т(1) - мв -О,
а уравнения метода начальных параметров:
T ( 0 ) - ~ - ( c h 1 - 1 ) + MA |
+ |
|
|
*( >>- s h -V + -J -P УЪ)= |
-V flP A 2; |
_ /m cD |
й л |
(41.13) |
Т(0) |
sh1-MA3 h ^ - ~ (ch9-1)-0; |
|
|
MA +(QA / * ) O =O. |
, |
Определитель этой системы уравнений
Ch 9 -1 |
1 - c h 9 ~ j f i 9 |
9 ~ s h 9 ~ jji9 |
|
|
s h 9 |
- S h 9 |
1 - ch 9 |
=2-2ch9+9sh9+ |
|
+ (i/3)J*93sh 9. |
||||
|
|
|
||
0 |
1 |
9 |
|
Далее, заменяя второй столбец определителя столбцом свобод ных членов уравнений (13), получим:
C h 9 - 1 |
-4>0 t 2 X Z |
9 -sh9 --gfi93 |
9 29sh 9 . |
||
sh V |
О |
1 -ch 9 |
|||
Z |
9 |
||||
О |
О |
9 |
|
|
|
MA = l |
2> |
9*sh9 |
°A=~ |
Мл • (41.14) |
|
2-2 ch 9+9sh9+ jrJ393sh 9 |
|
||||
При осадке правой шарнирной опоры на значение |
из условий |
||||
у ( 0 ) - у * ( 0 ) ~ Т ( 0 ) - 0 \ у ( ъ ) = д \ Т ( 1 ) ^ М В = 0
получим аналогично |
|
9 3sh9 |
|
2 ~2ch 9 + 9sh 9 |
+ f t 9 3sh 9 * |
Последние выражения могут быть получены из формул (14) с по мощью теоремы о взаимности реакций.
Найдем теперь формулы для реакций составного стержня со свободно сдвигающимися торцами. При повороте левого конца на угол % стержня, заделанного обоими концами, граничные условия
Ц(О) = 0, у'(0) =Ч,д , Т (0 ) - 0 } y(t)~ t/'(i)= T (t;= 0
дают уравнения:
r(0 )~ A * Z E j( sh |
Мл |
|
м. |
2 л . |
|
1* |
|
|
|||
|
а А г |
А2) |
|
*0*0 |
A3D |
|
|
|
|
||
* t s h 9 - 9 ) ~ |
- - if |
l ■ |
|
(41.15) |
|
|
6 ? o Jo |
o |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|