книги / Составные стержни и пластинки

шение системы (5), известное из курса сопротивления материалов (при отсутствии продольных нагрузок N ?), выражается форму­ лой Журавского:

монолитный; J w — момент инерции сечения всего стержня, к ак монолитно­ го; — статический момент частоты сечения, лежащей выш е z-ro шва.

Для стержня, показанного на рис. 83, при отсутствии продоль­ ных нагрузок решение системы (2 ) имеет вид

М.Р= [ 1/(Ьг - Ч ; )] J‘MN d * .

Вобщем случае стержня, изображенного на рис. 84, и при нали­ чии продольных нагрузок можно, определив осредненные значе­ ния Л(0 для каждого шва, далее рассчитывать стержень, как моно­

литный с постоянными по длине нагрузочными членами . В обо­ их случаях силы Т- считаются постоянными на рассчитываемой длине шва,

Если на стержень из брусьев, скрепленных только по торцам, действует нагрузка, обратно симметричная относительно середи­ ны длины стержня, то осредненные значения свободных членов все равны нулю, а следовательно, и все неизвестные Т£ обращают­

ся в нуль. Поэтому закрепления против сдвигов (жесткие или упругие) оказываются незагруженными, а весь стержень работает как совершенно лишенный закреплений против сдвига.

При очень больших коэффициентах податливости закреплений

откуда

* 2 ъ - * * )

Т*.=

АIСРг Ъ + ъ »

где И -0—осредненное значение свободного члена.

При средних значениях коэффициентов податливости необхо­ димо решать систему уравнений (4 ).

Возьмем теперь последнее уравнение системы уравнений устой­ чивости составного стержня (43.3):

Левая часть представляет собой выражение кривизны монолитного стержня, изогнутого моментом УИ [так как Т здесь определяется по формуле (2 ) для монолитного стержня]. Поэтому уравнение (4) можно переписать в виде

где С —некоторое постоянное значение. Око должно определяться совмест­ но с постоянными С1и Сг из граничных условий: у (О) —0, у (<) = 0 и усло­ вия (5). Получим систему уравнений:

^г * ~ О\

С,f Sffi oCl + Cz COS oLl + C - О ;

Определитель этой системы должен быть равен нулю, иначе все постоянные обращаются в нуль:

Sin OCl +1-COSCC1 -COSoLt + COS act — ;1/Ot+CCE^/P

2Z B J

=т ;

2TJ

Рассмотренная задача имеет значение как предельный случай устойчивости составного стержня с податливыми связями сдвига, шарнирно опертого по концам с несдвигающимися торцами. Точное решение для случая стержней из двух и трех брусьев было дано в п. 46, причем там оно не могло быть доведено до конечной прос­ той формулы.

53.ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ БАЛОК

Вцелях упрощения расчета составных балок можно с некоторой степенью приближения в выражениях (5.14) для коэффициентов и свободных членов уравнения составного стержня пренебречь осе­ выми податливостями стержней (EF-)4 по сравнению сизгибной податливостью (EEJ)~1>При этом:

Для того чтобы оценить погрешность, возникающую при этом упрощении, рассмотрим наиболее невыгодный случай балки, состоящий из двух одинаковых прямоугольных брусьев с нулевой толщиной шва (рис. 86). При этом

Пренебрегая первым членом выражения в скобках, получим:

df - В/(ЕбН ) ; A = 2 , t f ) l b / ( E 6 h ) \

Таким образом, максимальная ошибка в определении А состав­

носительно возрастает и погрешность уменьшается. После подста­ новки выражений (1) в уравнения (5.18) последние принимают вид:

fthXl + At

Ci~ A * £ E J chAl-)

Второй, многократный корень уравнения (9)

Аг - 0

соответствует условиям:

г ," = 0 ; T1 ci * w . . . + THcn =o.

Последнее равенство может быть удовлетворено л — 1-ым спосо­ бом, например:

>-(53.14)

что соответствует Л —1-ой кратности корня уравнения Аг*л~г,=- 0. Решения типа (14) дают смещения отдельных стержней вдоль швов без продольных деформаций, т.е. как жесткого целого, в соответствии с условиями ) = 0. В составных балках такие состояния могут не учитываться.