книги / Составные стержни и пластинки

III j 11Mill 111Mill Ml l l MMI I l l l l l l l l l l l l l l l ll I 11| 11 M11M I l+l f+H-l 111111111I I 111n H I II 1111

Рис. 43

загружения балки, составленной из двух брусьев, причем эти решения в дальнейшем можно использовать при расчете балок, составленных из любого числа брусьев. Действительно, если мы имеем решение Т(л) для сдвигающих сил в балке, составленной из двух брусьев, то в балке из нескольких брусьев при тойже нагруз­ ке решение для любой обобщенной сдвигающей силы 7/Of) можно написать сразу путем замены значения Л в Т(х) через \ и пропор­ ционального изменения Т(х)ъ отношении

{А и с без индекса здесь относятся к балке, составленной из двух брусьев). Поэтому в дальнейшем изложении будут рассмотрены главным образом составные балки из двух брусьев.

Необходимо еще раз оговориться, что в случае неоднотипных граничных условий такой путь решения сложной составной балки неприменим; так, например, балку из трех брусьев, имеющую по концам у нижнего шва упоры, препятствующие сдвигу среднего бруса относительно нижнего (рис. 43), свести к балке из двух брусьев не представляется возможным.

Если балка имеет продольную ось симметрии, то ее напряженное состояние обратно симметрично по отношению к этой оси. Поэтому можно заранее сказать, что в симметрично составленной балке симметричные обобщенные неизвестные обращаются тождественно в нуль, благодаря чему количество независимых дифференциаль­ ных уравнений ( 1 ) значительно уменьшается по сравнению с общей задачей о расчете составного стержня. В частности, для балки, сим­ метрично составленной из трех брусьев,__приходится учитывать лишь одно обобщенное сдвигающее усилие Тл , и расчет такой балки сводится к расчету балки из двух брусьев без всяких дополнитель­ ных вычислений. Необходимо лишь при этом заменить значения Аи S в балке из двух брусьев соответственно на Лаи определенные для симметрично составленной балки из трех брусьев (9.5).

22.ПЕРЕХОД ОТ СОСТАВНОЙ БАЛКИ К МОНОЛИТНОЙ

Если в основных уравнениях составной балки

положить все 1, 2 ,. . . ,Л) равными бесконечности, то по. лучится монолитная балка. Продольные сдвигающие усилия Т£ в такой балке будут изменяться по тому же закону, что и Л/*, а сдвнгающие напряжения Тк—по закону поперечной силы Q .

где D —определитель матрицы коэффициентов Л ц .; Дц, —минор этого оп­ ределителя для элемента Дц-

Вместе с тем сдвигающее усилие Т£ может быть определено по обычной формуле Д.И. Журавского, известной из сопротивления материалов:

(22.3)

Здесь S Hi —статический момент площади той части сечения, которая распо­ ложена выше i-ro шва, взятый относительно центральной оси всего сече­ ния стержня, рассматриваемого как монолитное; J м —момент инерции все­ го сечения балки.

При определении 5М1-и 7Мдолжны быть учтены различные моду­

В случае балки, составленной из двух брусьев, получим простую формулу

Эта же формула (5) будет справедлива и для случая балки, симметрично составленной из трех брусьев, причем Я берется рав­ ным Уд(9.5):

Формула (4) дает выражение значения / J M, определенного для монолитного стержня, через элементы сечений отдельных брусьев, входящих в состав всего стержня.

Дадим здесь попутно вывод формулы для определения момен­ та инерции монолитного стержня J M через элементы сечений от­ дельных стержней. При вычислении момента инерции сложного монолитного сечения некоторые затруднения вызывает необходи*

Последняя формула, впрочем, очевидна.

23. СОСТАВНЫЕ БАЛКИ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ

Перейдем теперь к расчету балки, состоящей их двух брусьев. Сдвигающее усилие Т в составной балке из двух брусьев опреде­ ляется из уравнения (8.1):

Здесь свободный член А вследствие отсутствия продольной нагрузки становится

( C / £ E J ) M °

Напишем уравнение (1) в виде

Уравнение (3) аналогично уравнению для растянутого изогнутого стержня, которое имеет, как известно, вид

где /V—продольная растягиваю щая сила; £ Эс—нагибная жесткость стержня; у с—поперечная нагрузка.

Для того чтобы провести полную аналогию между этими двумя уравнениями, следует приравнять друг другу их соответствую­ щие коэффициенты, т.е. положить:

H / ( E 3 c ) - k i r , ЕЭс = Е Е З / ( $ с ) ,

после чего можно заменить решение одной задачи решением другой, и наоборот. При этом необходимо учитывать граничные условия, которые должны также иметь в обоих случаях одинаковый вид.

ное сдвигающее усилие, равное единице в сечении, где расположен на точка А , вызывает в этой точке напряжение бт. Тогда общее напряжение в точке А , согласно принципу независимости действия сил, будет:

б= бл + твт .

Вмонолитной балке:

Эта формула дает возможность определять напряжения после того, как решением дифференциального уравнения найдены сдвигающие усилия Т Формула (6), равно как и решение (5), применима и для симметрично составленной балки из трех брусьев.

24.СВЕДЕНИЕ СОСТАВНОЙ БАЛКИ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ БРУСЬЕВ

КСОСТАВНОЙ БАЛКЕ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ

Вособых случаях соотношения между сдвигающими усилиями

вразличных швах могут сохраняться по всей длине стержня. Положим, что

где Т —некоторое усилие, не зависящее от номера шва.

Подставляя (1) в уравнения (5.18), получим

осс т" _ н

~ ~ ~ Т& * - к \ к + &и ( ^ 1 , 2 , . . . , * ) . (24.2)

Для того чтобы эти уравнения были совместны, надо положить, во-первых,

или

(24.4)

где

В качестве коэффициентов от-для балок со сравнительно жестки­ ми швами можно взять значения, пропорциональные сдвигающим силам, определенным по формуле Д.И. Журавского, т.е. пропор­ циональные статическим моментам вышележащей части сечения, рассматриваемого как монолитное, относительно центральной оси этого монолитного сечения. При малой жесткости швов лучше брать значения <xj что соответствует сдвигам в швах стержня, лишенного связей сдвига.

Уравнение (4) описывает лишь общую картину изменения сдвигающих усилий вдоль стержня и не может быть использовано для определения максимальных напряжений в местах концентра­ ции напряжений на концах стержня.

25. БАЛКА НА ДВУХ ОПОРАХ СО СВОБОДНЫМИ ТОРЦАМИ, НАГРУЖЕННАЯ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ

Для балки с равномерно распределенной нагрузкой (рис. 45,а) q^const решение (23.5) представится в виде

Половину частного решения можно отнести в общее решение, изменив соответственно произвольные постоянные. Получим:

= shAx + Cz cbAx * С3* + С^-q,ск /(2 # 'Е Е J ) -

Возьмем начало координат в середине балки. Тогда, вследствие симметрии нагрузки, коэффициенты при нечетных функциях об­ ратятся в нуль. Останется