Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Составные стержни и пластинки

..pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
21.07 Mб
Скачать
☆

и

и„.

■а1*

ии

-

“ *1

1 о

0

11

12.

 

о

LL

и

 

• U1Z " л

 

 

0 1

г1 **гг ■'■uZn

 

=

 

Un1 UnZ

 

U1nи2*

 

 

00

1

 

 

 

 

 

что нетрудно проверить, если учесть равенства (7) и (8). Пере­ ставляя сомножители получим ту же матрицу.

Итак, на основании (12) можно записать:

 

 

 

 

Г. =

п

 

 

 

А

П

U

 

 

 

 

И

и

ik Тк

 

Т. = Л

 

 

 

 

 

к =1

 

’ J 1 -1 *■I

 

 

 

Подставим эти выражения в (4). Получим:

 

 

 

А -

П П

 

 

 

 

 

Ли

_

п

т=

1

72Пос..ТТ.=Л ЦОС

Т £и

Г

L=1js.1

Ч

J

£=1

J -1

lJ

к=1 t k

* 1=1 c l

1

 

 

=

п

п

п

п

 

 

 

____

 

 

 

II

ZT

ZZ Лос.,и...1£.г тт

 

 

 

i= i

J=1

к=1 1=1

ч

Lk

J 1

к г

 

Изменяя порядок суммирования и замечая, что на основании (5)

2

Z

и .

 

=.А

и

 

,

 

ч

J ь

 

I

 

ct J

можно записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

п

л

h

 

2

 

 

и Т

а = Л 2Z г.

А, и .,

1

L^1 к=11=1

I

LI

гк к

и с учетом (7), (8)

<1113)

Таким образом, квадратичная форма (1) преобразованиями (3) и (12) свелась к сумме квадратов (13). Заметим также, что орто­ гональное преобразование (12) не изменяет вида квадратичной

формы (2), что легко проверить подстановкой (12) в (2). Следо­ вательно,

Покажем, что корни уравнений (17) и (6) - действительные положительные числа. При этом заметим, что квадратичная форма А 1 (1), представляющая собой работу внутренних сил Т£, положи­ тельно определенная, т.е. при любых действительных значениях больше нуля и лишь при равенстве нулю всех 7} обращается в нуль.

Следовательно,

таким же свойством должна обладать

и правая

часть равенства

(13). Для этого необходимо, чтобы все

Х \ были

положительными, что и доказывает высказанное утверждение. Совокупность положительных корней Хк характеристического уравнения (17) образует спектр характеристических чисел системы уравнений составного стержня.

Значения

т г-

, представляющие собой линейные комбинации

усилий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7*=

“ и

Г, +

UZ1

т2 + ... ■

* 1 7

 

 

 

 

и .

 

 

 

 

 

 

 

 

“ 12

 

Ч-lt

Tz +

*

U-hZ

у

 

(11.18)

 

*Т 7

 

* Т г

 

*Та

 

 

 

7>

 

 

Чг„

т2 + ...

*тК

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно рассматривать

как обобщенные внутренние сипы, с по­

мощью которых

расчет сложного составного стержня из

п +1-го

бруса во многих случаях сводится к расчету п

условных простых

составных стержней из двух брусьев. Величины Rk

(14)

играют

при этом роль обобщенных нагрузок.

может быть произведен по

Обратный переход

к усилиям

Т

формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т,= «„'/Г,

 

 

 

 

 

'

(1 U 9 )

Т2

 

 

* и гг

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

Ъ = и 1к

 

 

 

V

-

V

 

 

Таким

образом, линейными

преобразованиями

неизвестных

Т’ по формулам

(18) и свободных членов Л£опо формулам (14)

система дифференциальных уравнений

(5.17)

сводится к незави­

симым одна от другой дифференциальным уравнениям второго по­

рядка (16).

_

 

 

 

Переменные

Тк

можно рассматривать как обобщенные неиз­

вестные усилия, а величины

Rk -к а к обобщенные нагрузки. Введе­

нием переменных

7* и

Rk

задача о расчете составного стержня из

многих брусьев сводится

к более простой задаче о расчете составно­

го стержня из двух брусьев, для которого основная система урав­ нений состоит только из одного уравнения.

Линейное преобразование (14) свободных членов Д-^можно рас­ сматривать как разложение внешней нагрузки М°к и М° ( к = 1,2,...

,п ) на некоторые обобщенные нагрузки Я*, являющиеся, как и

Дв, заданными функциями длины стержнях. Поэтому такой метод решения, можно назвать методом разложения внешней нагрузки по

собственным функциям основной системы уравнений составного стержня.

12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ

Уравнения (1,1.16)

 

 

(12.1)

имеют общие интегралы

 

 

 

X

 

% $ЬЛкх+ВкchXkx

ШзИ*к (х- -t)dt

( 12.2)

(к = 1 ,2 ,..., п )>

где Акт Вк—произвольные постоянные.

Правильность интеграла (2) нетрудно проверить подстановкой его в уравнение (1).

Пользуясь формулами (11.19), получим:

T . ~ Z u

\/F

т; = £ [ C . . s h \ . х +V..chltX

*

t(=.i KL

t

к

1 ki

к

kt

к

 

u k,

/ Г

 

г

 

 

 

 

+ — - .

 

j R kH)shAk (x-t>d-t,

 

где

Ак ’

! > к Г а к г Щ Вк-

Ск{ ~ U4

Произвольные постоянные

и Вк ( к = 1 ,2 ,... ,л) находятся из

граничных условий, число которых должно соответствовать поряд­ ку системы уравнений, т.е. равно 2 п . Обычно граничные условия ставятся на концах стержня. Если в торце стержня отсутствуют дополнительные препятствия сдвигу по t -му шву, то можно запи­ сать, что в торцевом сечении х =0 или х — 1.

Другой вид граничных условий получается, если в t -ом шве имеется абсолютно жесткое препятствие сдвигу. В этом случае сдвиг и пропорциональное ему напряжение сдвига равно задан­ ной величине

'£’• (а ) —т!( й )~

Ц.оС

1

i

1 L

где d.£— значение предварительно созданной и жестко удерживаемой дефор­ мации сдвига по С-му шву в сечении л = а .

Однородными граничными условиями называются такие усло­ вия, которые выполняются при нулевых значениях неизвестных и их производных в заданном сечении стержня. В каждом шве мо­ гут быть свои граничные условия. Если для всех швов однород­ ные граничные условия имеют одну и ту же форму, то такие гранич­ ные условия назовем однотипными. Однотипные граничные усло­ вия допускают особенно простое решение уравнений стержня, составленного из многих брусьев. Действительно, если все 7^ в данном сечении удовлетворяют одному и тому же однородному условию, то этому_же условию будут удовлетворять обобщенные неизвестные 7к , образованные линейным преобразованием (11.18) из Тс . При этом произвольные постоянные Аки Вк решения

(2) могут быть найдены независимо для каждого переменного Тк . Если же граничные условия не являются однотипными, то перемен­ ные Т к оказываются связанными ими между собой, и произволь­ ные постоянные приходится находить из совместного решения системы 2а уравнений.

Если сечения, где заданы граничные условия, значительно уда­ лены одни от других, то целесообразно общее решение в интеграле

(2) писать в виде

 

 

 

 

 

—r

i “/IjL X

4

ДLЛ

02.3)

 

 

* V

 

-

 

 

 

 

где A

—иные произвольные постоянные.

 

При этом, учитывая, что при большом аргументе Лкх второй член в правой части (3) не может очень сильно возрастать, следу­ ет положить, исходя из заданной точности вычислений, для

Л*Л=-Х. (12.4)

постоянную Вк равной нулю. Так, если требуемая точность расче­ та 0,01, то *=-Zn0,01 =4,6, при точности 0,001 Х=-1п0,001 = -6,9.' При этом можно считать

f k = K e ’ Ak*

02.5)

Степень затухания функций Тк (4) вдоль длины стержня зави­ сит от характеристического числа Ак. Наименьшее характеристи­ ческое число_Л., дает наименьшее затухание. На участке, где Af*> х , все усилия Тм и их производные в однородной задаче практически исчезают. Это означает, что сдвиги по всем швам на этом участке равны нулю и стержень работает, как монолитный. Функция же

(5) определяет местное воздействие вблизи торца составного стержня на участке А,л * х ,где х-расстояние от торца.

Если часть характеристических чисел меньше чем X /I , где I - длина стержня, а часть больше, то для малых характеристических чисел общее решение соответствующего дифференциального урав­ нения следует брать в виде (?) или в виде

Т e Ак sh A k х + Вк chAk х ,

а для характеристических чисел, больших Х/1,в виде (5).

13. РАМНЫЙ СТЕРЖЕНЬ СО МНОГИМИ СТОЙКАМИ

Рамный стержень с двумя стойками £м. рис. 16) в принципе не отличается от любого составного стержня из двух брусьев и сдвигающие усилия в нем подчиняются дифференциальному урав­

нению (8.1), причем коэффициент жесткости шва $

определяет­

ся по формуле @.8).

 

В случае нескольких стоек сдвигающие усилия в

t -ом шве

основной системы (рис. 28) вызывают сдвиги не только в этом,

но и в соседних швах. Действительно, построив эпюры моментов от единичных сдвигающих усилий с двух соседних швов, интегриро­ ванием произведений ординат этих двух эпюр найдем, что взаимная работа сдвигов по соседним швам не равна нулю. Это может быть объяснено тем, что сдвиг по шву в рамном стержне вызывается искривлением не только перемычек, но и стоек, причем изгиб стойки приводит к деформации сдвига в швах, расположенных

по

обеим

сторонам стойки. Поэтому сдвиг по t'-му шву здесь

оказывается равным

 

 

 

 

 

03.1)

где

^ i -1

>

+ l

—напряжения связей сдвига в трех соседних швах;

I-.

. ,

^ •

11 4 '±4

• ~ соответствующие им коэффициенты жесткости.

Подставив выражение (1) в формулу (5.13), получим вместо (5.17)

 

l j 2

n

 

 

 

 

 

r f

 

 

 

 

r~~ ■'■ 0"0

 

 

OQ =„4J

 

 

PT

n

 

 

■pM

 

Рис. 28

 

r n

1 - 5 - 4 - д .

 

Ua_

 

MMi——>

 

Т1 /$11 + ^

 

*^ 12rz

+^1nTn*&iQ '•

 

Т1 /

$ 12

^ г г * Тэ ^az^Zi^i *^ гг ^

»

•

■

•

* * *

% * • * » • * %

►(13.2)

< -Z

 

' Ta % l£ .n -,,n « + T* i} n - 1 ,* =

 

 

* W

 

г/ - + Л » -/,л \

* A *-1,0 ’

 

M

' W

Тп 'Н * .* ШАш,Т,* Л*

Т**~*ЛЛ * Л «

•

Коэффициенты

 

$L,L

И ^г,о/МОЖНО ПОЛУЧИТЬ из эпюр,

показанных на рис. 28*, по формуле Мора. При этом для

^ будет

формула

(J.8).

 

 

 

 

 

4 _ tf

 

J £+*cz +J„ ( J£+ J£+i)Bc______ ^

LL

B‘ 3

 

 

 

 

93.3)

 

 

 

 

 

 

а для $ i

и

$ itz+1

формулы

 

 

 

 

- J a e j .

 

*« £ 7А+-»

 

 

 

 

;

W

2 д 2

 

 

 

 

CZ£

 

В случае одинаковых стоек J . = Ji+1 - J

формула @) получа­

ет вид (3.9)

 

гЧЕ._______

 

BC 2 ( 2 C/ J „ +B/J)

 

Работа связей сдвига здесь будет выражаться не суммой квадра­ тов (10.1), а квадратичной формой более общего вида

J*t+1 Т- т■

 

' L О

03.4)

7

J-Гi-i

 

имеющей матрицу трехчленной ленточной структуры.

Система дифференциальных уравнений @) так же, как и систе­ ма (5.17), допускает разложение ее на ряд независимых диффе­ ренциальных уравнений типа (11.16). Для этого следует квадра­ тичную форму (1) преобразованием:

т . - £ ; т . . т !

 

п )

‘ <=7 у 1

 

 

-Д,

T'i

, 2.

привести к сумме квадратов - fj

Это может быть сде­

лано, например, таким же способом, каким в п. 11 квадратичная форма (11.1) приводилась к сумме квадратов (11.13). При этом уравнения (2) преобразуются и получают вид

чЛш*Ь*л »9*

+*2° ’

03.5)

 

где 4*-л —новые коэффициенты, получаемые умножением матриц II 4 t-y || и IJ J Lj || .

Таким образом, система уравнений (2) приводится к виду (>.18), после чего методом, подробно описанным в п. 11, .система сводится к независимым дифференциальным уравнениям (11.16).

Несмотря на кажущуюся громоздкость этого метода, он легко может быть использован при наличии ЭВМ и программ для преоб­ разования матриц и отыскания собственных векторов и характе­ ристических чисел последних.

14. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАЗЛОЖЕНИЕМ

ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ В РЯДЫ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ

Этот метод так же, как описанный выше метод разложения нагрузки по собственным функциям основной системы уравнений, применим только в случае однотипных граничных условий. Возь­ мем, например, граничные условия вида

7: ( О) = Т . ( 1 ) = О ( t -

которые довольно часто встречаются на практике. Разложим сво­ бодные члены A i0 в тригонометрические ряды

Оа

Д £о = 2Г CL sifi ( k?rx / 1) ( г.'= 1,2,.. п ) . (14.1)

Каждый член разложения дает следующее решение системы

е . п )

ГИ ~ bih Sin 1 Ш х / г >>

(14.2)

где к —порядковы й номер члена разложения.

Видим, что эти решения удовлетворяют заданным граничным

условиям. Подставив выражения (2) в систему

 

(5.17) и сократив

на sin ( k j r x f i )

, получим систему алгебраических линейных урав­

нений, в которой неизвестными являются коэффициенты Ъ.^ :

$

2

2

 

 

"Л

 

V

A,z ъ2к*~ *А ,Л к+а‘*=-‘>''

 

 

 

 

 

 

 

04.3)

*21

* (AZ2+ Щ т У ■* М Ъ- ‘

^

0;

 

 

£2'

I 2 §2 J

 

*УГ2

*t z / “лк ' “"лк

Окончательное решение будет суммой решений (1), полученных

для отдельных членов разложения

Ъ= £ Т = Ъ Ъ;кsin(кЯхЦ).

Оно в общем случае получается в виде бесконечного ряда, кото­ рый, однако,обладает, как показывает опыт, быстрой сходимостью, так что для практических целей обычно бывает достаточно сохра­ нения двух членов разложения (к - 1 и к -2 ).

В случае граничных условий

т!= т '(г!= О, т.е T . ( 0 ) = t . ( t ) = 0

свободные члены следует разлагать в ряд

Л

= Z

CLt . COS ( kJTX/l).

t-O

£-0

ifi

В общем случае однотипных граничных условий, который мо­ жет быть представлен равенствами;

А Ъ

(0) + ВГ.(О) =01 J

(14.4)

СТг.

1

Wc=1,zt„.,n)}

(г) -ta r ( 1) = о \

 

Где А, В, С u .D -

некоторые заданные значения, разложение следует вести

по собственным функциям дифференциального уравнения

 

 

У "+ осг у ~ 0 .

04.5)

Пусть собственная функция, отвечающая уравнению (5), задан­ ным граничным условиям и некоторому характеристическому числу ос — ос i будет У;, другая такая же функция, отвечающая характеристическому числу <xz , - Уг . Согласно уравнению (5), можем написать:

У / * « /

У, = 0 ,

У / - * с |

04.6)

У, =<?.

Умножив первое уравнение (6) на Yz ,'а второе на % , проинтег­ рировав их от нуля д о г- и отняв одно от другого, получим:

/ ( Уг У , К

+

У У’

=

Q

 

ф

^

 

Производя интегрирование по частям, имеем:

 

г-

 

 

 

 

/

У / - У, Yz")dlr = I уг УГП Уг

I’ =

04.7)

 

 

 

 

= Уг (D

Yt '( l > - У, ( l) Y ^ x t - y ^ Y ^ W ,

Y '(0).

Самый общий случай граничных условий Уравнения (5) соответ­ ствующий граничным условиям (4), будет:

A Y ( 0 ) + BY*(О) = О; CY(t) t ^ y '(U ^o .

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности