книги / Составные стержни и пластинки
..pdfПод составным стержнем будем подразумевать два или несколь ко монолитных прямолинейных^ стержней, соединенных между собой по всей длине податливыми или жесткими связями. Можно различать плоские составные стержни, работа которых определя ется силами и перемещениями, расположенными в одной плоскос ти, и пространственные составные стержни. Вначале рассматрива ется плоская задача составного стержня.
Считается, что работа каждого отдельного стержня, входящего в составной стержень, протекает в соответствии с обычными зако нами сопротивления материалов и, в частности, с законом плоских сечений. Поэтому внутреннее напряженное состояние каждого стержня считается полностью определенным, если известны значе ния моментов, нормальных и поперечных сил в каждом попереч ном сечении. Прогибы стержней считаются малыми по сравнению с их длиной, так что в геометрической части задача решается ли нейными уравнениями, а для стержня имеет место закон незави симости действия сил. Исключением, как и для монолитных стержней, являются задачи устойчивости.
Промежуток между составляющими стержнями, в котором располагаются связи, будем называть швом. Число швов в плоском составном стержне на единицу меньше числа составляющих стерж ней. Швы могут иметь значительную видимую толщину, при этом через шов можно провести некоторую воображаемую плос кость, отделяющую один составляющий стержень от другого. Поскольку поперечные сечения составляющих стержней могут иметь любую форму, то можно считать, что эти сечения доходят до разделяющих плоскостей, имея в зоне шва бесконечно малую толщину (рис. 11). Поэтому "сплошной” составной стержень со стержнями, непосредственно примыкающими один к другому, принципиально не отличается от любого составного стержня.
Связи, соединяющие отдельные стержни, могут быть как непре рывно распределенными по длине шва, так и сосредоточенными в отдельных точках длины стержня (дискретными). Часто сосредо точенные связи имеют одинаковую жесткость и расположены че рез одинаковые промежутки. В этом случае при не очень малом числе отдельных связей можно распределить действие каждой связи на участке длины шва, относящемся к этой связи и считать стержень соединенным непрерывно распределенными связями. Получаемая при такого рода представлении о работе составного стержня незначительная неточность компенсируется упрощением решения вследствие возможности перехода от системы линейных алгебраических уравнений, выражающих взаимодействие отдель ных связей по длине одного и того же шва, к одному дифферен циальному уравнению.
* Расчет криволинейных составных стержней имеет свою специфику и здесь не рассматривается.
Рис. 11 |
Рис. 12 |
Следует заметить, что дискретные связи могут передавать кроме сдвигающих и поперечных усилий также изгибающие моменты. Это обстоятельство может повлиять на распределение усилий по длине шва. Поэтому надо так выбирать разделяющую плоскость, чтобы моменты в отдельных связях на ней обращались бы в нуль, что почти всегда можно сделать.
По своему назначению связи в составном стержне могут быть разделены на два вида: связи сдвига, воспринимающие сдвигаю
щие усилия, которые возникают в швах составного стержня, и по перечные связи, которые препятствуют отрыву одних от других
или прижатию одних |
к другим отдельных стержней, входящих |
в составной стержень |
(рис. 12). В дальнейшем будем строго раз |
граничивать эти два вида связей, хотя конструктивно они могут совмещаться ,в одних и тех же элементах (например, в болтах).
Материал составляющих стержней, так же как и материал свя зей^ большинстве случаев может считаться подчиняющимся закону Гука до известного предела, за которым возникают пластические деформации.
Гл а в а 2. ТИПЫ СВЯЗЕЙ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
ИКОЭФФИЦИЕНТЫ ЖЕСТКОСТИ ШВА
3. СВЯЗИ, ПРИМЕНЯЮЩИЕСЯ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЯХ
Основная характеристика связей определяется зависимостью между деформациями, возникающими внутри составного стерж ня, и внутренними усилиями, вызванными в связях этими дефор мациями. Эта зависимость в большинстве случаев при небольших деформациях может считаться линейной, т.е. для работы связей
можно считать действительным закон Гука. В рассматриваемой стадии работа связей может быть охарактеризована коэффициен* том жесткости, представляющим отношение усилия в связях к соответствующей ему деформации. Для связей сдвига вводим коэффициент жесткости $ , причем
4 * г с т / г, |
(3.1) |
где 7^ - сдвигающее усилие, приходящееся на одну связь; т —число свя зей, приходящееся на единицу длины шва; р - деформация взаимного сдвига смежных волокон двух соседних стержней, соединенных связями сдвига 1
Для поперечных связей соответствующий коэффициент жест
кости обозначаем через |
7 , причем |
|
1 |
= S c m l 3 , |
(3.2) |
где S c — растягивающее усилие, приходящееся на одну связь; т —число связей на единицу длины шва; Э - поперечное расхождение соседних стерж ней, соединенных, связями. Размерность коэффициентов жесткости свя зей s и 7 - Н/см .
Рассмотрим, как видоизменяются коэффициенты | и связях различных типов, применяющихся в конструкциях. В металличес ких конструкциях в качестве связей применяются заклепки, сварка, пленки и решетки различного типа.
Заклепки. Работа заклепок не является типичной среди прочих связей. Ввиду укорочения стержня заклепки, возникающего при ее остывании, склепываемые листы оказываются сильно сжатыми. Поэтому, кроме деформации тела заклепки и смятия кромок от верстий листов, в работу связи включается также трение между листами. При этом в начале загрузки сдвиг сопряжения происхо дит из-за деформаций, возникающих до преодоления трения между листами. После того как сдвигающее усилие достигнет и превзой дет определеннную величину, зависимость между сдвигающим усилием и сдвигом станет иной, и деформации будут расти зна чительно быстрее. Экспериментами установлено, что трение в заклепочном соединении преодолевается при напряжениях на сдвиг в теле заклепки порядка около 50 Н/см^.
Отнеся значение срезывающего напряжения тела заклепок к уг лу сдвига, получим так называемый модуль упругости заклепоч ного соединения £3 . Согласно экспериментальным данным, этот модуль для упругих деформаций составляет 100—120 Н/см^. В соответствии с формулой (1) коэффициент жесткости шва будет
4 = /(Ъ се), (3.3)
1 Далее взаимные перемещения точек соседних стержней вдоль разделяю щей плоскости будем называть просто сдвигом.
где С —расстояние между центрами тяжести сечений склепанных стержней; dL— диаметр заклепок; е — шаг заклепок? к —число рядов заклепок по ши рине стержня.
При дальнейшем возрастании сдвигающего усилия работа закле пок переходит в пластическую стадию, в которой возможны зна чительные деформации без большого увеличения сдвигающего уси лия. Общая диаграмма работы заклепочного соединения на сдвиг показана на рис. 13.
Столь же сильно сказываются на работе заклепок, как попе речных связей, поперечные деформации склепанных листов. Буду чи сжатыми усадочными усилиями, возникшими после остывания заклепок, склепанные листы могут воспринимать довольно зна чительные усилия в поперечном направлении, работая при этом почти как монолитное сплошное тело. После преодоления началь ного напряжения от усадочных усилий поперечные деформации далее происходят в результате удлинений заклепок и изгиба лис тов, как пластинок. При этом напряжения в Заклепках становятся настолько большими, что превосходят обычно предел текучести. Диаграмма работы заклепки на отрыв показана на рис. 14. Что касается напряжений другого знака, т.е. сжатия листов, то тут, очевидно, роль поперечных связей выполняет непосредственное противодействие листов друг к другу, и склепанный стержень работает как одно целое. Учитывая сказанное, можно для началь ной упругой стадии работы стержня принять коэффициент попе речной жесткости заклепочного шва 7 там, где оси заклепок рас положены в плоскостях, параллельных рабочей плоскости стержня, равным бесконечности;т.е. считать поперечные связи бесконечно
сч
Рис. 13 |
Рис. 14 |
Рис. 15
жесткими. Однако часто заклепки располагаются так, что, выпол няя назначение поперечных связей, работают на срез. Это может быть, например, в шве, которым соединяются поясные уголки клепаной двутавровой балки с ее стенкой (рис. 15). В этом случае коэффициент поперечной жесткости шва t j , как и £ , определя ется по формуле (3).
Аналогично заклепкам работают болтовые соединения, лишь с той только разницей, что в них начальные напряжения попереч ного сжатия и силы трения, вызываемые натягиванием болтов гай ками, играют значительно меньшую роль.
Сварные швы. Податливость сварных швов необходимо учиты вать лишь тогда, когда напряжения в них значительно больше рас четных напряжений в теле окружающего металла. В противном случае деформации стержня будут происходить в равной мере как вследствие податливости сварных швов, так и в результате дефор маций материала соединяемых элементов, и стержень при этом сле дует рассматривать как сплошное монолитное тело. Тем не менее часто податливость сварных швов значительно превышает воз можности деформации сдвига и поперечного растяжения материала соединяемых стержней, в этом случае сварной стержень можно рассматривать как составной на упругоподатливых связях, каки ми являются сварные швы. Особенно уместна будет такая схема расчета в стержнях, соединенных прерывистыми или точечными швами.
При определении коэффициентов жесткости сварных швов можно принимать модуль упругости наплавленного металла рав ным модулю упругости основного металла соединяемых стерж ней. Так как сопротивление сварного шва сдвигу или разрыву зависит от формы его поперечного сечения, причем определение на пряженного состояния внутри шва представляет собой в большин стве случаев нерешенную и весьма сложную задачу теории упру гости, то затруднительно дать простые формулы для определения коэффициентов £ и ^ . Кроме того, необходимо иметь в виду не точность формы сечения по длине шва, начальные тепловые напря жения, достигающие в сварных соединениях значительной величи ны и т.д. Рассмотрение всех этих вопросов выходит за пределы предлагаемой работы. Однако во многих случаях задача может быть решена упрощенно, обычными методами сопротивления материалов.
Для связей в виде перемычек или планок (рис. 16) сдвиг проис ходит в результате деформаций самих планок и вследствие дефор маций соединяемых ими ветвей на участках между планками. Для определения коэффициента жесткости шва на сдвиг £ дадим нижнему стержню (рис. 17) продольное смещение относительно верхнего на величину Г и найдем возникающее при такой дефор мации сдвигающее напряжение t ', отнесенное к единице длины стержня. Число планок считаем бесконечно большим, а стержень бесконечно длинным. Поэтому при решении задачи методом де формации получим в случае неравных сечений ветвей, соединенных
|
|
r f i |
|
1 |
|
1Г |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
t/ |
|
|
|
||
L |
|
|
|
[ |
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
1 • |
|
—----- J |
|||
l |
|||
< |
, |
|
|
1 |
/ |
|
|
|
Jn |
|
|
j |
|
■ |
|
)
V |
1 |
J |
|
|
1 |
•
*)
Рис. 16
планками, лишь два неизвестных —угол по ворота любого верхнего узла % и угол пово рота любого нижнего узла стержня 4>г . Урав нения метода перемещений при обозначениях (см. рис. 17) будут:
Как обычно, влиянием поперечных и про дольных сил, пренебрегаем. Решив уравнение (4), получим:
* Даже в случае квадратных планок влияние поперечных сил составляет примерно 20Сс влияния изгибающих моментов. Поскольку же изгиб та ких коротких планок создает малое перемещение стержней, то поперечные силы в планках вполне можно не учитывать.
Г Ш т г г т ^ . |
"'1 |
* |
|
М£
-■ ■ -тцщ ц]--------------Ч*ЕЩЦЦ]'-At2
в _ *
Рис. 17
r/C z) 4 2 32 /B +2 J„ /с )_________ .
т э , з г / в 2+ |
) /в с * 1 2 j „2/ с ‘ ' |
_________(рЗпГ /с г)(1231/В |
+2Э„/с) ,_________ |
т : 7, J 2 / в ! м « , C J, |
* эг )/в с * 1 2 з * к * ' j |
Моменты, действующие на планку по ее концам, будут
|
С* |
|
с |
|
|
|
(3.6) |
|
|
ВЗПГЕ |
гэ„Е |
|
|
|
|||
МГ |
+ % |
ЮпЕ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
а поперечная сила в планке |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
_ 12Э„ГЕ |
|
6J„E |
||
U ~ |
'с ~ |
~ |
С |
~ |
с 3 |
|
^ |
С2. |
- |
^ |
|
_ 1 гэп г в |
* |
|
(3-7) |
||
|
------F5— |
|
||||||
|
7 2 |
JL, 3z |
f B Z |
+ J n |
( J f + |
) / B c ___________ |
||
12 J 7 |
Эг / В 2 +4Jn (2, |
+3Z)fB c |
+ J $ / c z |
|||||
Отсюда в соответствии с формулой (1) получим выражение для
>тс . i2Jn£ 1Z3,32lB z^3n (J 1-t3s )lBc
ВГ |
В с 3 |
КЭ1Зг 1В2+Мп (3,+Зг ')(Вс+Э2п ! с г <3*8) |
В частном случае одинаковых сечений ветвей 7т=-^=-^ получим
$ = 2 Ь Е /[ В сг (2 с р п + 3 / J B )] |
(3.9) |
Иногда момент инерции планок J n можно считать бесконечно большим по сравнению с моментами инерции ветвей J, и 32. Тогда из формулы (8) следует:
у _ 1 2 ( 3 , + Ъ ) Е
в ^ с г
(3.10)
или в случае одинаковых ветвей
£ = 2ЬЭд Е ! 5 г с 2
Рассматривая планки как поперечные связи, можно установить, что при равномерном удалении стержней друг от друга ни планки, ни ветви не изгибаются, и это удаление может происходить лишь в результате осевого растяжения планки. Так как деформации рас-
тяжения планок незначительны» то в большинстве случаев послед ние можно считать абсолютно жесткими поперечными связями (/? — =*»), а составные стержни на планках — стержнями с абсолютно жесткими поперечными связями.
Положение разделяющей плоскости определяется точками перегиба планок. Положение этих точек находится из эпюры моментов (рис. 17, б) :
а в? |
+ M z ) j |
|
М2 ) ; |
подставив значения M1YLM£ и з |
(6), с помощью (5) найдем |
||
- ______6 ЭтЭ2 С * |
В |
|
6 J ^ 2c^ J2J„ 8_____ |
~ 12J,32C + 3„P S32 )B |
с ' |
127,Jz c + J n (J1+ Jz )B ' |
|
при -7, - J 2
а « Ъ = c j2
ПрИ J,7-00
& = L J J P ! + J 2 ).
Значения Л и Ъ далее будут нужны нам для определения усилий
впоперечных связях, т.е. продольных усилий в планках.
Вшарнирно-стержневых системах (фермах) с параллельными поясами сопротивление решетки сдвигу и расхождению ветвей существенно зависит от ее конструкции. Бели решетка образует шарнирно неизменяемую схему, то работой ее элементов на изгиб можно пренебречь н учитывать лишь их сжатие и растяжение. На рис. 18 а, б, в приведены типы простых решеток, наиболее употре бительных в металлических конструкциях.
Рассмотрим решетку, показанную на рис. 18, а. Нетрудно по строить эпюру продольных сил, возникающих в решетке от единич ного сдвига Г — 1. Для того чтобы удержать этот сдвиг, следует
в узлах решетки приложить сдвигающие усилия Тс . Пояса и стойки решетки при сдвиге остаются ненапряженными (рис. 19).
Единичное перемещение по направлению сил Тс = 1 можно определить, пользуясь способом Мора. Суммируя и интегрируя влияние нормальных сил в пределах одной панели, получим:
|
Г* |
3 |
Z i |
в |
1 |
в |
|
^ J |
EF- |
(2coscc)2 |
COSct |
EFp |
2cos3ос £Fp |
где |
fp - площадь поперечного сечения раскоса. |
|
||||
ле |
Этому перемещению соответствует усилие |
71= 1. По форму |
||||
(1) |
|
' |
|
|
|
|
|
|
$ |
= £Fp c o s* o c/d Z. |
(3.11) |
||
Предполагая, как обычно в фермах, шарнирное соединение стержней в узлах, приходим к выводу, что под влиянием сил^— 1 (рис. 20) продольные силы возникают только в стойках решетки
ивызывают расхождение поясов на величину
Э= с/(Е Р е)
( Fc — площадь поперечного сечения стойки). Поэтому коэффи циент поперечной жесткости шва в соответствии с (2) будет
1 = £Fc /(B c) = £FC/( B 2tg ос).
При этом пояса стержня должны деформироваться по ломаной линии (см. рис. 20). В действительности, такой деформации бу дут противодействовать изгибающие моменты, возникающие в узлах. Поэтому коэффициент жесткости ij будет иметь немного большее значение. При бесконечно жестких на изгиб поясах коэф фициент ч имеет максимальное значение. Его нетрудно вычислить, если учесть, что пояса в этом случае не будут деформироваться, но зато в работу включатся раскосы решетки.
При расхождении поясов на Э -1 усилия в стойках будут (с? / Ic) EFC , а в раскосах (3sin2ct/c)EFP; общая вертикальная проекция усилий, действующих на каждый узел, будет
= (Э/с)Е (Fc + 2since Fp).
Отсюда |
^ |
|
|
|
1 = ~ Е Г (Fc t2 s i f'S<x |
FP ) = |
(3.12) |
||
|
BFc |
* E sin 2 осcos ос |
||
|
|
|||
" |
2 B z igoc |
+Z |
B z |
Fp |
f W |
t - W |
p c * / |
Р и с . 2 0 |
|
Рассмотрим теперь раскосную решетку без стоек (см. рис. 18,5).
Поскольку |
и в предыдущем случае, стойки |
не принимали |
участия в работе решетки на сдвиг, то значение |
$ останется преж |
|
ним (10); |
что касается коэффициента поперечной жесткости £ , |
|
то при абсолютно жестких на изгиб поясах он может быть найден по формуле (12), в которой следует принять Fc ~ 0. При гибких поясах, учитывая их работу, получим:
1 |
В |
В |
2 S i h |
ос •/ FPE |
|
В |
(■ 2 sih г ос. cos ос Fp |
|
В |
*1*д2 ос Г о ) ' |
В________________ I _________________
2 В г ( 2 s i n z oc CO$ccFp )~1+ |
(*ttg2ccFn }~1 |
Рассмотрим еще треугольную решетку |
(см. рис. 18, в ). В ее |
узлах приложим действующие в продольном и поперечном направ лениях силы Тс — 1 (рис. 21,а) и 5С~ 1 (рис.2 1 ,5 ) .Применяя формулу Мора для определения обобщенных перемещений Г и Э , соответствующих обобщенным силам 7^ и , получим:
в |
1 |
i |
|
. |
г |
i |
в |
----------------------- з ------- _ _ |
•*-B C g o t i g |
ос |
EFC |
^ |
|||
' созсс |
cosz oc |
EFp. |
* |
у |
|
||
|
<( cos*ecFp |
tg - |
|
|
|
|
|
|
Fc- ) > |
|
|
||||
Э - B tg ос (1/BF£ ).
Отсюда
1IB
B Z ( COS ~ 3oc/Fp -t±g3 CC / F c )
4/B __ |
E F e |
ш |
'Э |
B z tgoc |
|