книги / Составные стержни и пластинки

Обе функции V, и У2 должны удовлетворять указанным гранич­ ным условиям. Видим, что при этом правая (а следовательно, и левая) часть выражения (7) будет всегда равна нулю. Отсюда сле­ дует, что при ос1 Фос2

i

) \ у . а . х ~ о .

Таким образом, доказывается, что собственные функции урав­ нения (5) взаимно ортогональны при любых граничных условиях на концах стержня. Поэтому любая функция может быть разло­ жена по ним в ряд Фурье. Эти собственные функции, как это сле­ дует из решения уравнения (5), имеют вид:

Их вторые производные равны У',,= a k z sin ( k x + fi), поэтому при подстановке в уравнения (5.17) общий множитель sin ( kx можно вынести за скобки и сократить, причем оставшаяся система будет системой обыкновенных линейных уравнений.

Собственные функции Y можно представить себе как формы выпучивания сжатого прямолинейного стержня постоянного сече­ ния с упруго поворачивающимися, но не смещающимися в попе­ речном направлении концами (рис. 29). Длина такого стержня должна быть равна длине рассматриваемого составного стержня, а граничные условия, выражающие зависимость между прогибом У и углом поворота на концах, должны соответствовать задан­ ным однотипным граничным условиям (4) составного стержня, выражающим ту же зависимость, но между значениями Т. и Т* = 2Г..

Из (1) видим, что

Полому, сопоставив (2) и (3), найдем, что:

“ гг I й ,г = ' “ гг / и г<= ~ c i 9 *

Отсюда получим, применив условие (11.7):

и 1 г - ~ sin V7; u Z2 - Cos 9.

Таким образом, матрица коэффициентов и. имеет вид

Теперь можно написать выражения для обобщенных неизвест­ ных (H .I8):

Основная система уравнений составного стержня:

Тг " = Л\ Т + * г-

Решения этих уравнений следующие:

Т -A sh^x+dchA.x + Y ЛfR1(tJsh[A1(x-t)]ctt,

Обратный переход от функций Г, и Т2 к сдвигающим усилиям Tf и Т2 производится по формулам (П .19) :

^ cos Ч>Т1 ~ VTjStn V Т2 ;

Таким образом, для расчета составного стержня из трех брусьев с помощью линейных преобразований (4) и (5) вводятся такие обобщенные неизвестные силы и нагрузки, при которых основная система дифференциальных уравнений распадается на два независи­ мых уравнения, и задача (в случае однотипных граничных усло­ вий) сводится к расчету двух составных стержней, каждый^ с од­ ним ’’обобщенным швом”, по которому действуют усилия т1 или У2 В частном случае симметрично составленного стержня эти два расчета соответствуют случаям симметричной и антисимметрич­ ной работы стержня.

Вместо алгебраического решения характеристического уравне­ ния (I) можно использовать графический способ, известный под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензо­ ра второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформа­ ции в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривиз­

ны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графи­ ческую интерпретацию линейного преобразования любой сим­ метричной матрицы или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени.

Откладываем по горизонтальной оси отрезки длины, которые в определенном масштабе равны ^ Д1ли $Z A 22$MC. 3 0 ).От получен­ ных точек А и в соответственно вверх и вниз откладываются отрез­ ки AM W.BNв том же масштабе, равные ^Л гЧ г-Затем на линии MN,

как на диаметре, строится окружность, которая отсекает на оси ОХ отрезки А* и А2г 2 Для доказательства определим геометрически длины отрезков А

и А]

Полученные выражения совпадают с формулами 0 ).

Из этого же круга легко находится угол V, с помощью которого выражаются коэффициенты "л - Этот угол образован осью ОХ и ли­ нией MD. Действительно,

что совпадает с выражением (2). Линия AWповернута относительно оси ОХна угол 2Ч>.

Положим теперь, что все брусья, входящие в составной стер­ жень, имеют одинаковое сечение и расположены на равных расстоя­ ниях одни от других. При этом коэффициенты дифференциальных уравнений составного стержня, согласно формулам (5.14), равны:

поперечного сечения каждого бруса; ANc — разность продольных сил в двух брусьях основной системы, находящихся по обе стороны t -го шва.

Дифференциальные уравнения (5.18) принимают вид :

Тогда уравнения (1) можно переписать:

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид

При / д - 2 единственный корень характеристического уравнения

(16.4)

что, очевидно, является частным случаем формулы (8.4). При т.=3 получим:

Аг= fv +г Т Ц - 1 ) У Р \ Л* =3/1Ь -, Л*= [21*1)1fi

для стержня симметричного сечения, составленного из трех брусь­ ев. Первое значение Лг соответствует симметричному загружению, авторов обратно симметричному.

При четырех брусьях характеристическое уравнение системы (3) приобретает вид

Используя эти коэффициенты можно перегруппировать неизвест­ ные таким образом, чтобы система уравнений (3) разделилась на независимые одни от других уравнения. Новыми обобщенными неизвестными при этом станут (11.18):

Видим, что Т, является симметричной неизвестной, а Та и % -о б ­ ратно симметричными. Свободные члены уравнений (3) должны быть при этом также сгруппированы, согласно формулам Q1.14). Новые обобщенные свободные члены выражаются через первона­ чальные следующим образом:

Нагрузочный член Я* группирует симметричные внешние усилия, а нагрузочные члены’ и /?з - обратно симметричные.

Основная система уравнений теперь распадается на три незави­ симых уравнения: •