книги / Составные стержни и пластинки
..pdfВыразим усилия Р PB ,Pfl и Р через обратно пропорциональные им величины:
|
2 |
Лл2 = л 7 г ‘ ;Л = г 2А пр ? |
|
где Гм —радиус инерции всего сечения колонны ; |
—радиус инерции сече |
ния одной ветви; Тар —приведенный радиус сечения колонны , учитывающий податливость связей сдвига. г
После указанной подстановки и решения относительно 1/Лм по лучим
(49.12)
Л2М " А '* -х г-(**№ )<*'*
Втаком виде формула более удобна для подбора сечения колон ны. Обычно при подборе сечения бывают известны общая гибкость А, которая должна быть равна гибкости колонны в другой плоскос ти, и Ав — гибкость отдельной ветви, принимаемая обычно 30—40,
атакже Ал —известная величина. После отыскания А мопределяется необходимое расстояние между центрами ветвей с.
Так как Ап обычно бывает велико по сравнению с другими А , то формулу (12) можно еще упростить, отбросив значения А~л2, или, другими словами, пренебрегая усилием Pfi по сравнению с Р,РМ и Рв. Тогда вместо формулы ( 1 1 ) получим
(РВ- Р ) ( Р М~ Р )= (JTZ/1 2 )P P M
и вместо ( 1 2 )
( * * / 1 М г < / / - а \ )• |
(*■ *» |
В практике проектирования обычно применяется другая формула, вошедшая в главу СНиП по проектированию металлических конструкций:
(49.14)
Эта формула получена из формулы Тимошенко (5) при ^п=°° и замене коэффициента Л"2/24 в запас прочности единицей. Формула (14) не учитывает пониженной жесткости ветвей на изгиб, вслед ствие наличия в последних сжимающих усилий, и поэтому может приводить к недостаточной прочности сечения. Формула (13), не учитывая влияния гибкости Ал , иногда дает излишние запасы. Что бы избавиться от них, необходимо вести расчет по более точным формулам ( 1 2 ) и ( 1 0 ).
Выведем теперь формулу для критической силы решетчатой ко лонны (рис. 78). Здесь в формулу ( 1 ) следует подставить значение
5 , равное (3.11) |
|
£ = EFf COS3с с / 8* |
(49.15) |
27т\ |
гГ 2&FB J B + L ZFp JMCOS 3oc |
(49.16) |
|
р = |
Ж г В |
F& +2L z Fp cc>s3oc |
|
|
|
||
где J a — момент инерции сечения ветви; f% |
площадь |
||
сечения ветви;Fp— площадь сечения раскоса (остальные |
|||
обозначения даны на рис. 78). |
|
||
Если |
выражение |
(15) подставить в |
(45.9), |
то получим формулу, найденную Энсгессером |
|||
и Тимошенко: |
|
|
|
1 / Р = L Zl(JrZE3M) + B 2!(BFp c Zc o s \ ) . |
(49.17) |
||
Формулу (17) можно получить и из формулы (49,16), если положить в последней 7/* - 0. Пос кольку 7а в решетчатых стержнях имеет очень малое значение, то для практических расчетов можно пользоваться формулой (17).
Рис. 78
Для определения гибкости решетчатых колонн СНиП рекомен дует пользоваться формулой (14). Это в принципе неверно, так как гибкость ветвей здесь не играет существенной роли, особенно в формуле Тимошенко (17). Окончательно уточнять формулы для решеток прочих видов не имеет смысла, так как удобнее при определении пользоваться простыми формулами для £, приве денными в п. 3, в сочетании с общей формулой (1).
Формулы, приведенные в п. 49, позволяют по заданной несущей способности подобрать требуемые связи: планки или решетки. Это и будет расчетом связей. В практике строительных расчетов принято проверять сечение связей на поперечную силу, которую ориентировочно берут равной 1—2% продольной сжимающей на грузки. Этот метод расчета не может считаться обоснованным. Уменьшение размеров связей повлечет за собой не разрушение последних, а снижение общей несущей способности центрально нагруженной колонны, что уже учитывается данными здесь ос новными формулами.
В случае внецентренного сжатия напряжения в связях могут быть определены по формулам, приведенным в п. 46.
Пример расчета составной металлической колонны на устойчивость. Колонна составлена из двух ш веллеров № 22 в, обращенных полкам и внутрь
и соединенных планками разм ером 10x180x260 м м |
(рис. 79). При этих раз |
мерах планки можно считать абсолютно жесткими |
на изгиб в своей плос |
кости. Расстояние между планкам и принято таким , чтобы гибкость одной
ветви на участке между д вум я соседними планками была |
В !тьи = |
= 40. |
У |
Потребная общая гибкость колонны должна быть такой же, какую эта колонна имеет в другой своей плоскости. При свободной длине колонны t —490 см, ту—8,3 см имеем
Д = АЛ= 4 9 0 /8 ,3 = 59.
По обычной формуле расчета (14) получим:
- хгв=\fs9z-4 0 2 = t,2;
ту ~ 490/42 — 1 1 ,7 = 1/г/у |
• |
|
С2/4 = 1 1 ,7 - /• |
= 11,72 - 2,172 = 132,2; |
с =■ 23 см. |
Этот результат намного ниже необходимого разме ра. По формуле (13) получим более точное значение:
5Т
см
хг Хг X
м1 - В
■« 5 9 |
2 |
- 0,823 |
592 |
1 |
|
--------- |
|
||
|
|
|
59 2 |
- |
°
- = 32.4;
40 2
Гу |
= 490/34,4 = |
15,1; С2/4 = IS ,I 2 |
|
- |
2,172 - 223,3^ |
<? = |
30 см. |
|
|
|
Вне. 79 |
Еще более точно можно |
вычислить необходимое с по формуле (1 2 ), |
||
учитывающей сопротивляемость продольному изгибу стержня, лиш енного связей сдвига:
1 |
( Лв2 - Л |
г )А ~г- 0,623А~/ ( К 2- А А2) |
м |
А~ъг - |
А'2- 0,623 ( А '2- Г / ) |
|
|
|
Здесь: А „ = l/r ty * |
490/2,17 = 226; А = 5 9 ; Л В= 4 0 . |
|
Подставив эти числовые значения в формулу (12), получим: |
||
|
AM =s 35,7; Гу — 13,7; С - 21 см, |
|
что ближе к тому |
значению с , которое получается при расчете по норм ам , |
|
однако все же превышает его. Это указы вает на недостаточную надежность
общепринятого метода расчета подобных колонн.
Рассчитаем еще колонну, над которой производились испытания, в связи
с происшедшей |
в 1909 г. катастрофой гамбурского |
газгольдера. Размены |
||||||
колонны поодзаны не рис. 80. Кроме того: |
215000 МПа; J M=- 644 см |
; |
||||||
85,3 см ; |
D„ - 320,1 см ; FB- |
24 см |
; I - 340 см; В = 113,3 см ; С = |
|||||
*—*6,3 см; |
. |
|
РА -УГ Z E j/if - |
|
4 * 2 |
, |
= |
|
P ~ J T * E 3 J L Z= 1180 кН ; |
313 K H ;J 3 = 247„1. / ( J f £ |
Вс3) |
||||||
= 132,5; |
/>д = Л гЕЭа1 В* = |
282 кН ; Рл =jr*E J „f(B c ) |
= 95100 кН . |
|
|
|||
Подставив эти значения в уравнение |
(10), получим: |
|
|
|
||||
|
|
133,5Я г — 62770Р |
+ 4717000 —О, |
|
|
|
||
откуда Р = Ркра 895 кН . |
|
|
|
|
|
|
||
Эксперименты показали в трех случаях значения Ркр\ 810, 835 и 894 кН . При увеличенном вдвое числе планок: В — 56,65 см ; Jb — 66,25 см ; Р~ —
— 11 280 кН ; Рп — 190200 кН ; остальные данные не изменяю тся. Критичес кая сила определится из уравнения
|
|
|
■V |
113,3 I |
113,3 |
__________ i |
СN16 713.3 |
•Г |
|
3400 |
----—--------------- - |
|
|
------------------- V |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 80 |
67,25 Р г - |
102750P + 9434000 = 0, |
|
|
откуда Р — 981 кН .
Среднее экспериментальное значение критической силы для этого случая оказалось 1026 кН . Точность совпадения экспериментальных и теоретичес ких значений здесь следует признать вы сокой .
50. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ, НАГРУЖЕННОГО РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ
НАГРУЗКОЙ
Продифференцируем один раз уравнение изогнутой оси двухветвенного составного стержня (35.7)
у ж- ^ у ш= М„ \ г/Е Э" - |
(50.1) |
Учитывая, что М'м - М^-О. и что при распределенной вдоль оси стержня продольной нагрузке (рис. 81)
Q - P y ' + Q ° |
(5 0 2 ) |
где Q — поперечная сила от внешней попереч ной нагрузки, представим (1) в виде
у ЗГ |
.г ш РЛг |
У - |
E E J |
|
|
|
|
|
|
|
|
а 0" |
|
|
Если продольная и поперечная на |
||||
грузки |
равномерно |
распределены по |
||
оси стержня, то |
|
|
|
|
Р = р (L -л) ; Q °= cf,(l- * ) |
(50*4> |
|||
Рис. 81
и уравнение (3) будет |
|
|
|
|
|
|
Ж г >» Р(1~х) г / |
р (1 - х )у ш |
Z p y " |
= |
$ ( 1 - х ) Л 2 |
||
у'>‘у~~ЩГАу |
хёз |
ГЁ7 |
|
ез„ |
||
T -' .V |
- р а ' Х,.\г г + Р(г-*14’ " . 2 |
p |
S |
_ ± ^ 1 , (50.5) |
||
4 |
е л » |
Z E D |
Z £ J _ |
Е 3„ |
||
где V - у —угол поворота касательной к оси стержня.
Введем безразмерные величины
X = x /l; f t ^ p f l Z E l y s = y l 3/Z E J ; ос= Е Е З/(Е Зм).
Тогда уравнение (5) преобразуется в следующее: |
|
ч и- £ ‘? * г '+ р ( 1 - х ) ч > - г р * '- о с р ( 1 - х . ) £ г г ч>=‘ |
|
« л л ' Л г * - * ; . |
<50*6) |
Здесь дифференцирование производится уже по безразмерной ко ординате X.
Запишем граничные условия на концах стержня, считая, что при X —0 будет полная заделка стержня, а при x —t возможен свобод*
ный сдвиг торца: |
0 ; |
|
||
при |
х= 0 : у — 0 , у'- 0 , Г а |
(50.7) |
||
при |
л —?: УИ„= /И„= 0 ,6?°= |
0 , Г= 0 . |
||
|
||||
Всего имеем шесть граничных условий, что соответствует диффе ренциальному уравнению шестого порядка. Однако при выводе уравнения (6 ) его порядок снизился до четвертого. Это было достигнуто благодаря введению переменной ¥*, что исключило реше ние у =• c o n s t , соответствующее неискривленному стержню, и сде лало ненужным условие у(0) ~ 0. Далее использованные выраже ния (2 ) и (4 ) предполагают отсутствие горизонтальной опоры на верхнем конце стержня и автоматически удовлетворяют условию Cr(i)— 0 . Остаются, следовательно, четыре условия, которых доста точно для полного решения задачи. Преобразуем эти условия на ос новании того, что (35.1)
Г Е Зу"= Т с - М л £E3y"'= T c - Q =т‘с - Р у - Q ° |
(50.8) |
При х = 0 второе равенство (8 ) дает
у ^ - а 0/ Е Е З ^ ^ г / Е Е З
или в безразмерных величинах
<p"+s-0.
При x — t из первого равенства (8 ) и условия 7 = 0 получим
Z E 3 y * = 0 или Ч>'=0
п*2 г— 1
Пщ! п-г ^
-—V
<г
•с:
-/ » С
и, согласно уравнению (8 .1 ):
т "= А * Т + й = Л2 Т + М 0с /? Е Э
иусловию М0= 0 (7), Т = 0.
Продифференцируем два раза первое уравнение (8)
Z E d y m = т'с - Q ' = T c - Р у "+ $ .
Тогда при х = I получим
КЕ д у Ш = ~Py"+q,
ив безразмерных координатах
f < f - s =О
Итак, имеем четыре граничных условия:
Ч>(0) = 0 , 1Р , ( 0 ) + s - 0 \ |
Ч * ( 1 ) = 0 , |
4>"'(U +рЧ> ( 1 ) - s = 0. |
(50.9) |
Рис. 82
Неоднородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (6) можно решить методом конечных разностей. Для этого разбиваем стержень по длине на tt участков (рис. 82), Значения производных от в точке I длины стержня заменяются следующими выражениями конечных разностей:
VT= |
' |
ч>!“=
<л"=
v .' = 4 lZ h H < ti H -4>._,),
(50.10)
J
где h = 1/ ri —безразмерный шаг, представляющий собой достаточно малую долю длины стержня.
Воспользовавшись выражениями (10) и граничными условиями (9), находим
% * 0 '
t/’n4-z"4’n-2', Z h i |
(504) |
Заменяя производные от V по формулам ( 1 0 ) с учетом (11), по* лучим систему конечно-разностных уравнений, эквивалентную дифференциальному уравнению (6 ) 5
& Г1 Л * Гч Г а |
= |
(50.12) |
где коэффициенты vCk и свободные члены вычисляются по форму лам:
r1i~ 5 -2H -h)hlp + Z h LAZl Z- ( l - h ) h 'A Zl ZcC'P±
т |
,= TJ - 2 [ 1 - (h - D h ] h Zp + Z h ZXZl l- l1 - { h - l) h '\b if t loip ) |
Гe 6+ 2h3f l + 2 h ZX2 1 2
Г.. = 6 - 2 (1-Lh)hZp *Z b / 1 - ( 1 - i h ) h iAZl 2ccp |
|||
^4* |
|
|
|
= |
|
|
f l - Ь г\ 21г |
К п |
= - S - ^ V z 2 ; |
||
А,Л-7 |
|
|
|
С/С*2 |
|
^ |
2 |
Т п ,п - 2 |
~ 2-> |
|
|
Т*Ск~° |
ПРИ |
U - k l > 2 ; |
|
(1 = 2,3,., ..л-2);
П - 2 ) ,
т0: = - { 1 - ih ) h*1) ? 1 ZOLS |
( i = 2 , 3 , . . . , n - 1 ) ; |
r * - 2 h * s .
Критические значения продольной нагрузки
вычисленные Э.Г. Давыдовой [8 ], приравниваем нулю определите
ля однородной системы уравнений ( 1 1 ) |
при т.-~ 0 , приведены в |
табл. 2 . |
1 |
1^
0
0,5
1
1,5
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2 |
|
|
|
|
ОС. |
|
|
|
|
0,05 |
| |
0,10 |
| |
0,15 |
~|| |
0,20 |
| |
0,25 |
|
| |
|||||||
0,392 |
|
0,785 |
|
1,18 |
|
1,57 |
|
1,96 |
0,427 |
|
0,849 |
|
1,27 |
|
1,68 |
|
2,09 |
0,525 |
|
1,03 |
|
1,52 |
|
1,99 |
|
2,45 |
0,675 |
|
1,30 |
|
1,88 |
|
2,43 |
|
2,94 |
|
0,05 |
0,10 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
2 |
0,862 |
1,63 |
2,3 |
2,91 |
3,46 |
2,5 |
1,07 |
1,98 |
2,74 |
3,4 |
3,96 |
3 |
1,30 |
2,34 |
3,17 |
3,85 |
4,43 |
3,5 |
1,54 |
2,69 |
3,58 |
4,27 |
4,83 |
4 |
1,79 |
3,04 |
3,96 |
4,65 |
5,19 |
4,5 |
2,03 |
3,38 |
4,31 |
4,99 |
5,5 |
5 |
2,28 |
3,69 |
4,63 |
5,28 |
5,77 |
5,5 |
2,53 |
4,00 |
4,92 |
5,55 |
6 |
6 |
2,78 |
4,28 |
5,18 |
5,78 |
6,2 |
6,5 |
3,03 |
4,54 |
5,42 |
5,98 |
6,37 |
7 |
3,27 |
4,79 |
5,63 |
6,16 |
6,52 |
7,5 |
3,5 |
5,02 |
5,82 |
6,32 |
6,65 |
8 |
3,73 |
5,22 |
5,99 |
6,46 |
6,76 |
8,5 |
3,94 |
5,42 |
6,15 |
6,58 |
6,86 |
9 |
4,15 |
5,59 |
6,28 |
6,69 |
6,95 |
9,5 |
4,35 |
5,75 |
6,41 |
6,78 |
7,03 |
10 |
4,54 |
5,9 |
6,52 |
6,87 |
7,09 |
10,5 |
4,71 |
6,03 |
6,62 |
6,94 |
7,15 |
11 |
4,88 |
6,15 |
$.71 |
7,01 |
7,21 |
11,5 |
5,04 |
6,26 |
6,79 |
7,07 |
7,26 |
12 |
5,19 |
6,37 |
6,86 |
7,13 |
7,30 |
12,5 |
5,33 |
6,46 |
6,93 |
7,18 |
7,34 |
13 |
5,46 |
6,54 |
6,99 |
7,22 |
7,37 |
13,5 |
5,58 |
6,62 |
7,04 |
7,26 |
7,4 |
14 |
5,7 |
6,69 |
7,09 |
7,30 |
7,43 |
15 |
5,91 |
6,82 |
7,18 |
7,36 |
7,48 |
Г л а в а 8. НЕКОТОРЫЕ ИНЫЕ ВИДЫ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
51. СТЕРЖНИ С АБСОЛЮТНО ПОДАТЛИВЫМИ СВЯЗЯМИ СДВИГА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
Если в составном стержне с абсолютно жесткими поперечными связями связи сдвига абсолютно податливы, т.е. коэффициенты жесткости связей сдвига ? равны нулю, то
ъ- т ; - о
исуммарные сдвигающие силы Т- по длине шва не меняются. Ин тегрированием из формулы (5.13) получим, что разность сдвига, накапливающаяся на участке ( Ъ —а) длины балки по г-му шву при
этом
ГЛ6)-Г£ (а) = ( A ^ i - A . ^ * . .
■+ А СпТп ) ( Ь - а ) + [ A d * . |
(51.1) |
|
J |
LO |
|
Если хотя бы на одном конце бруса нет препятствий сдвигу по ^му шву, то, очевидно:
7 1 ^ -
Если брус имеет на обоих концах жесткие закрепления, препятствующие сдвигу по г-му шву (рис. 83), то получим условие
<л ; , т1 ч , Т2 * - * й Сп Г» >( * - “ > |
4- Х‘ О. |
Такое уравнение можно написать для каждого шва, имеющего закрепления подобного рода. В итоге получается система алгебра ических линейных уравнений, в которых неизвестными являются
|
(51.2) |
« ■1Т1 + й Ш Т! |
dx =0. |
|
|
Расстояния между жесткими закреплениями |
могут быть |
различными для каждого шва (рис. 84).
Если закрепления против сдвигов не абсолютно жесткие, а упру гоподатливые, то:
Г. <а.)*=-т. V. |
(52.3) |
|
|
1& |
|
Здесь Г£ ( ) и Г; (tLg)—сдвиги в точках |
ig и Og по *-му шву, где имеются |
|
упругие закрепления против сдвига; V .j , |
—соответственные коэффи |
|
циенты податливости этих закреплений. |
|
|
Подставляя равенства (3) в (1), получим:
Рис. 83
179
Написав такое равенство для каждого шва, получим систему уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ, |
|
(д |
- |
Ъ, -a~t |
J |
у- +д |
Т + ... + А |
T + -S ■*- - |
[AIA * =0> |
||
X U |
'1 |
2 |
п ь1~ъа 1 |
•* 10 |
|
||||
л |
т+(д -У20-*1'2* )т+ *А Т +-^-т- fA.ndx=0; |
>(51.4) |
|||||||
A n Ti |
\f*22 |
Ъг - |
a z J |
2. " ^2h н |
Ьг -а 2 J |
ю |
|
|
|
|
|
|
■4„+(д |
Ьп - а п ] « |
L _ |
$ й |
dx=0. |
J |
|
А п.1Т1+Аь2Т2*- |
\ пп |
Ъп-а п |
J па |
||||||
Свободные члены уравнении (2 ) и (4) представляют собой средние значения Д£о на участке между точками <2%и Ъ. размещения закреплений против сдвига шва.
В случае жестких закреплений система (2) почти совпадает с системой уравнений для определения сдвигающих усилий Т.м в монолитном стержне того же сечения, получаемой из системы
(5.17) при | t.= 00 U = 1,2,... рл ): |
|
|
|
А 11Г1 |
* А 12 |
тп + |
|
4 * т; + а „ т ”* - .+ а пХ + а „ = о -, |
(51.5) |
||
|
м |
м |
|
А П1Г> |
й п г Тг " * - * * „ « % +л па=0- |
|
|
Разница м е ж д у системами (2) и (5) состоит лишь в том, что в системе (2) берутся осредненные значения свободных членов. Ре-