книги / Составные стержни и пластинки

+ c 2.\z l i Z B l A * - ( m f + тг )ш г ]= //•$.

В полученном алгебраическом уравнении четвертой степени для А2 все корни действительны. Для доказательства этого предста­ вим уравнение (3) в виде:

представлен гиперболой с вертикальной асимптотой (рис. 1 0 1 ). Сумма этих членов R дает график, изображенный на рис. 102. Кривая R - R ( \z) монотонно убывает, переходя через бесконечность при А2 ,равных:

и, имея в виду равенство (4), пишем сразу дифференциальное

занный на стр.. . .

Работа всех сил на перемещениях, вызванных податливостью

Отсюда отысканием минимального значения для А получим систе­ му (9), приведенну!б в табличной форме. Если положить все то будем иметь уравнения для составного стержня с абсолютно

жесткими поперечными связями. Из числа этих уравнений л — дифференциальные и п- — алгебраические. Выразив в последних значение через 7} и подставив их в п дифференциальных уравне­ ний, получим найденную выше (5.18) систему уравнений для Т в стержне с абсолютно жесткими поперечными связями. Вместе с тем вторая группа уравнений вида

в поперечных абсолютно жестких связях. Эти же уравнения можно получить из системы уравнений (6.3), если в последней *-ое урав­

66. СТЕРЖЕНЬ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ С УПРУГОПОДАТЛИВЫМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И СВЯЗЯМИ СДВИГА

В случае стержня из двух брусьев имеем систему двух диффе­ ренциальных уравнений. Найдем значения коэффициентов и сво­ бодных членов уравнений для этого случая:

д„= 1/{£,+,)* l/(Et F2) * a z/ ( £ , J 1) * b t/( £ 2 Jz ) - g }

h„ ' ■=- a / l e , i , ) + ъ/<ег эг ) ч ; k „ = 1/(E1 * 1/(ег э2 )= к ;

S'® = - м ° а / ( Е ,^ ) - м " ъ ц е ^ ) - ы “Ц е , F J +HI K W S .-,

*w =

Индексы 'Для упрощения записи отбрасываем. Система уравнений (65.9) будет:

т"/Ь=дТиэ +д0 ,

УкТ,*$(1г-дк)Т=$£кв* Ькдс

Сравнив полученное уравнение с найденным ранее для этого случая уравнением (8 .1 )

придем к следующим тождественным соотношениям:

дк - i

кЯо “ **, ш Мй .

Приняв их во внимание, можем переписать уравнение (2 ):

ЬВ- к д х Ч *1кЛг ~ ^ к Г = Я.

Это бикубическое уравнение имеет шесть корней. Можно дока­ зать, что два из них действительны, причем один положителен, а другой,— отрицателен и равен по абсолютной величине первому. Обозначим эту пару корней через ± А * Остальные корни обяза­ тельно комплексные и имеют вид:

Общее решение уравнения (4) без правой части при этом вы­ разится:

s = 4 - ( T ‘'f i - g T - g o ).

Усилия в поперечных связях получаются

* = - s ' ( 9Н ) т“- [ i/ц i p ш+ g'J /с

В частном случае, когда i — 0, что может быть, например, в стержне, составленном из двух брусьев, симметрично относитель­ но продольной оси, система уравнений (1 ) распадается на два неза­ висимых дифференциальных уравнения:

Уравнение (5) совпадает с уравнением (3) для составных стерж­ ней из двух брусьев с абсолютно жесткими поперечными связями, так как можно доказать, что при условии В ^ - BQFZ у а ~

д а = Л . Это означает, что распределение усилий в связях сдвига такого стержня не зависит от степени податливости поперечных связей и остается тем же, что и при абсолютно жестких поперечных связях.

Что касается уравнения (6 ), то оно является не чем иным, как уравнением балки на упругом основании. Действительно, диффе­ ренцируя его два раза и заменяя вторую производную от через 5, получим

ной и равномерно распределенной по длине стержня продольной нагрузкой, то .вторые производные от них, взятые с обратным зна­ ком, дают поперечную нагрузку, приложенную к первому и ко вто­

Рис. 104

Частное решение уравнения (67.5)

5= 5*= (f x(L + x)/*i

и полное решение

откуда

5 '= / / (C3 +Cz )ch/Hx-cosM*+M (Сч -С^)сь М* -sin /Ах + V * <С1* e ^ s h / u x - c o s /i x +АЦСг - С3 )sh/ux-sin/ix * ?АД

Из этих уравнений можно определить все произвольные постоян­ ные.

Ограничимся случаем, когда балка настолько длинна что мож-

значениями е ~ * L , т.е. когда имеем ’’бесконечно длинную балку. При этом: