c, v . - =^
Для пластинки с регулярно расположенными ребрами полним уравнения:
в э * шч(УМ - 2 * * им ) 2 ~ <eu r V f ?‘>
(71.6)
Далее поступаем как изложено в п. 70. Примем при шарнирном опирании ребер и отсутствии поворотов их сечений на опорах
у - - У(х ) vc; |
9. = 9(x)rL, |
(71.7) |
|
|
|
|
Y (х) = Yf s tn ( s r x /l) , |
В (x)=Qsmr(JTxfl) ^ |
|
После подстановки |
(7) в |
(6 ) и сокращений получим для одно |
родной задачи (<£?—0 ): |
|
|
|
2Г4Ед |
1_ |
|
|
|
41** |
+ г |
|
|
|
А ( r - i - ) Y t- ( r + 2 - |
b j T ZGJKP |
= Q. |
d |
|
|
1 l zd 2 |
|
Приравняв нулю определитель этой системы уравнений, получим характеристическое уравнение для определения т\
- ( r - 2 - 2 / l + - f ) ( r + 2 - 2 8 + - ± ) + (r - - L ) 2 = 0, (71.8)
где введены обозначения:
JT* EU |
_ 2 2 Г 26Э кй |
А ~ i f t * ' |
(71.9) |
Ч11<1г |
Преобразуя (8 ), имеем:
- ( r + - £ - ) 2 - ( r + - £ ) ( 2 - 2 8 - 2 - 2 / t ) +
+ (2 + 2A) ( 2 - 2 fl) + ( r - - * - ) 2 = 0;
2С" + - | г ) (S + /4 ) + 4 ( / ( - S - M = 0;
|
|
(А+ В)т 2 + Щ - В - А В ) г +А + В ~0, |
|
отсюда |
|
|
|
|
|
г |
+АВ i |
+ A b f-(A + B )2 |
(71.10) |
|
A |
+ 8 |
|
|
|
|
При 3 |
|
предельным переходом из (10) легко получить фор |
мулу (70.8).
Полученные здесь и ранее результаты можно обобщить на слу чай тонкостенных ребер открытого профиля с секториальной
жесткостью Е ^ ^ . |
и на случай действия продольных сил в ребрах |
р . , При этом надо только уравнения (4) записать в виде |
|
|
|
еЛ р / ' ~ £& |
в ~= |
а значения А и 3 (9) |
положить равными: |
|
тг^Ед |
3 T ZP |
_ _ 2JT% JKp |
Z J i %J*,27 |
72.УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР
Втехнике широко применяются слоистые материалы с про дольными элементами повышенной жесткости и со связующим материалом, который воспринимает поперечные и сдвигающие напряжения. При небольшом числе продольных элементов расчет такой структуры на сжатие в продольном направлении с учетом возможности потери устойчивости может быть произведен по уравнениям, приведенным в п. 68. Однако, когда число продоль ных элементов велико, этот расчет оказывается громоздким и тре бует решения системы дифференциальных уравнений общего по рядка, равного ушестеренному числу швов составной структуры. При регулярной структуре расчет может быть упрощен за счет пере хода к конечно разностным уравнениям или в пределе —к диффе ренциальным уравнениям в частных производных. Для простых
граничных условий задача может быть доведена до конца в анали тическом виде.
Положим в уравнениях (68.1) й (68.2)
* » ‘ |
* » « / * * • |
где G —модуль сдвига материала ш вов; |
Еу— модуль его упругости в попе |
речном направлении; hk = С —расстояние между соседними стержнями /-го шва; &- ширина составного стержня, которую в дальнейшем будем прини мать равной единице.
Переходя к регулярной системе, все значения 4*, Чк и ак—Ьк—
—с/2 полагаем одинаковыми для всех швов и будем писать их без индекса. При этом система уравнений (68.1) —(68.2) будет:
EFT, |
|
|
Pc |
27*2 |
(72.1) |
- E P S ? |
2 7*2 |
|
Здесь r 2 = E 3 f ( E F ) *
Второе уравнение системы (1) можно заменить более простым уравнением
(72.2)
соответствующим уравнению (65.6).
Уравнения (1) и (2) являются дифференциальными уравнения ми вдоль длины стержня и конечно-разностными уравнениями относительно порядковых номеров составляющих стержней. Бу дем искать решение этих уравнений в виде:
Т = |
77 COS km sin Ал ; |
к |
S |
m |
cos km sin Ax ', |
|
к |
tn |
|
|
(72.3) |
|
у k - у ^ co s k m |
sin Ax , |
|
} |
|
|
|
|
|
|
где
A = П .Я /Z .
Здесь l —длина стержней; n —число полуволн выпучивания на протяжении длины I.
Подставив (3) в уравнение (2), получим:
cos ktn - |
- ( 7 /А г) у [cos km |
- c |
o |
s |
(72.4) |
а вместо первого и |
третьего уравнений |
системы (1) |
с |
учетом |
~г~У*л COS
тт[ ( - р - - l)cos (k-1)m*(z* "J~F + |
A*Jcos km* |
+ ( - ^ T |
- l)c o s (k * Vm]~ |
Ут [cosa - i)m -coskm - |
|
|
|
|
|
|
(72.5) |
- COS (k +i)m *■cos (k + 2)m ]- |
ym [cosк |
cos (k* 1) mJ=0; |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
Уm t c o s (k ' 1*m ~2coskm +CDS0< + 1)f*\ + |
|
— — T [cos (к - D rot cos krri]+ (E F.\*- - £ - ) * |
|
2 r * |
m |
|
|
|
|
|
|
* и |
cos km = 0. |
|
(72.6) |
|
|
|
zfm |
|
|
|
К |
уравнению |
(6 ) |
прибавим другое уравнение, полученное из |
(6 ) |
заменой к на |
А+ 1 : |
|
|
П
~ Xzv z Ут [cos(k-i)m -coskm -cos(k+i)m +
+cos(к+2)m\+-гQ-J T |
[cos (к-1)т +£coskmt |
Z v m |
|
cos (k +i)m ] + (E FA2“ |
Ут [cos km * cos (k+1)rri]-Q (72.7) |
и заметив, что
c o s tk - l) m + c o s ( k + i) m = 2co skm co sm ; coskm+cos(k+1) m -
-2cos^l^HL cosу - ; cos(к-Dm+ C0s(k+2)m=2cos^^cos~,
z z
перепишем уравнения (5) и (7) в виде:
[г ( - ^ - |
<)*osm*Z+ ~ |
+ -f - / ] г cosm k - J ^ |
х |'2COS^Y |
*Z cos |
Ут cos l k+'Om |
Pc ^ |
x cos — |
|
(/m cos (k + 1)tn - * 0 ; |
к (72.8) |
|
|
'2 4 |
|
3m |
Щ |
у т cos l£ y> m .1.2 |
iEFf - P ) , |
|
c o s - C O S |
A z v 2 (COS 2 |
|
|
|
m |
|
fк +iJ/n |
c |
|
+ ~-~2 (CQSt77+ 1)T |
c o s m k ~0. |
J |
m |
|
В однородной системе двух алгебраических уравнений (8) не известными являются Тт cos rrtk и y^co s (b+Dt* . Эти неиз вестные отличны от нуля при равенстве нулю определителя
1+ |
j j - Л* |
|
J p - ( l+ c o s m ) i |
|
V 2 |
|
|
|
m |
3/71 \ |
*1 / m |
= 0. |
Z„2 |
T ~ •“ Т Г |
T T T T - * » - |
ZX г |
|
Pc |
c o s |
tn |
{ ^ - ~ r ) c o s - f - |
|
2 r ‘ |
2 * |
|
|
|
|
Разлагая определитель по элементам второй строки, получим:
|
Р |
|
m |
( |
|
|
EF |
2 |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
c o sm - cosmj* |
|
РС |
|
fTl |
С |
|
|
2 |
ТП |
( |
С^ |
|
|
+ 1 ^ C 0 S T |
1 ^ |
( 1 + c o s m ) + E F X c o s -2 ( / + J L |
|
2$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c 2 |
|
|
|
|
|
|
- cos ~ j [ t + |
|
|
+ - ^ j c o $ m - c o s m )< - ^ - j(e o s - f |
4 v 2 |
|
. |
£F |
2 |
c • |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosm |
- cosm - |
( n c o s m j\-- |
P |
|
+ — — Л + - r - |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'Cos-j-(i+ |
|
|
AZ-cosm)+ EFAZcos |
(i+ j ^ A z - |
|
- |
COS m ) + ^ |
L ( 1 + C 0 sf7 ^ _ _ A _ _ _ |
( c 0 s j n |
|
_ e 0 s |
3 ^ _ y |
|
|
|
x( * * |
- |
j | - |
Az - cosm |
0, |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
COS ( m / 2 ) - C 0 S (3m/ 2 ) |
2 |
AZc2EF ( f+. cos m) |
|
|
|
|
|
|
|
Л ЕЗ+ 1 й 7 ^ |
|
|
2 с Ч - |
Замечая, что: |
|
|
|
|
|
' |
’ |
|
|
2 |
eos(m/2)- cos(3m}2) |
. |
2 , |
|
|
|
|
2 |
|
----------- c o s |
( m / 2 ) |
|
|
( m / 2 ) ; c o s m = 1 - 2 s i n |
|
( m / 2 ) ; |
находим |
U c o s m = 2cos2(m l2 h |
1 -cosm = 2si»*(m /2), |
„ |
P |
|
|
|
г |
m |
XZEJ |
|
|
|
|
|
|
с со$г ( т /2 )
(72.9)
4. 4sir?2 ( т /2)
Т— 1 Г Р —
Форма потери устойчивости (3) показана на рис. 113. Она соот ветствует граничным условиям:
при г= - 0 и |
z — Н |
Г - |
0, |
у = 0; |
|
при * =• О и |
x = t |
Г - |
5 = у ~ 0. |
г / 2 |
На плоскостях z —0 и z -Ц |
поперечные усилия s = - ( d s / d x ) |
должны восприниматься стерженьками, как показано на |
рис. 113. |
На плоскостях |
л - |
0 и |
х — I |
должны восприниматься сдвигаю |
щие напряжения |
V - дТ fd x . При этом следует положить: |
|
к |
= н /с ; |
Mm =JT; |
tr? - ЯГсJH. |
|
Значения п и т |
следует подобрать из условия минимума рур, |
причем ширина с должна укладываться целое число раз на ширине структуры. Если поперечный размер структуры не ограничен, то минимум ркр можно получить аналитически .13 условий:
Л
дрКР _ |
4 ? . z |
т |
E J |
|
|
|
sm |
2 * |
с |
+ [ r U s i n 2f j ( ? e f ) l 2=0j |
ip |
|
|
|
|
(72.10) |
U '+ t s iJ f / lf e F b + c a B '- f W J f E F ) |
i t s i J f p |
\ гс |
|
|
|
|
Умножим первое из уравнений (10) на |
Хг , а второе на sin |
и результаты сложим. Получим |
|
|
ЕЭА* |
|
с s in 2 ( т / 2 ) |
=0 |
|
с |
|
1 |
*fsinz (ml2) |
|
|
|
* |
XZEF |
|
Отсюда определим:
sia-^- |
£ j/ « * |
+[4ггз1пг(т/2)/Л2] sin2^ |
£j |
|
А2 |
|
|
|
с г |
|
|
? |
Az ~£(с*-+ гя) ’ |
(72.11) |
|
|
i |
r |
4sirv’(^ W ) |
C2 |
|
(72.12) |
|
|
t |
|
Л*ЕЭ |
|
^ Г с * - 4 г * ) |
’ |
|
|
|
|
|
где |
Г 2 " J/E . |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражения |
(11) и |
(12) |
во второе уравнение (10), |
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
с4 (сг-4гг) |
*icbz(c2-ttr)z __ |
4сН(с- |
EJ |
|
л*с ~ |
|
£’ 2 |
" |
b^EFc*1 |
±~ЕРсе,(сг-^ ) "°> |
|
2 |
|
4д-*1$2(сг- 4 г 2)г/{ с 2е е ) |
|
4% сг |
44 |
|
" |
$ ( с г - 4 г 2)~ 4 4 гг~(с2- 4 / ) / с 2 = ~4'(с2-'< г2) 2 ~~ЁЁ~ |
(72ЛЗ) |
и из (11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. г т |
_ |
|
Е ЗА*________4£J*?c2________ 4 г 2 |
(72.14) |
s,tt |
Т |
” |
$ ( с 2- 4/’2; |
“ |
$ 2 f c - * r 2; 3 |
|
|
|
После подстановки значений (13) и (14) в выражение (9) и не сложных преобразований получим
т т р |
= |
|
|
Н ( С 2- |
4т2) |
(72.15) |
|
|
|
|
|
*р |
4 с ( с г~*1г2) |
|
|
|
|
Поскольку значение |
sin |
2 |
|
|
|
(m (2 ) должно находиться в преде |
лах от нуля до единицы, то из выражения (14) находим: |
£ ЭЦс' |
> р |
2 |
Ш Т |
Г |
2 |
- |
4 г (с г - 4 г г) г |
; |
|
— (с2- * , / ) ; |
|
|
|
|
|
(72.16) |
Е3*?с2 |
|
|
)/ ЕЯ? |
, |
с24rZ |
|
|
|
^ г (сг-Ч г2) 2 |
|
|
|
|
|
|
При соотношениях жесткостей |
| , % и EJ, не удовлетворяю |
щих неравенствам (16), формула |
(15) |
не действительна, и мини |
мум критической нагрузки достигается при значениях $/п г(гт}(2)— 0 и sin z(m/2) — 1- Именно, при
|
р р |
|
р р р |
р р р |
р р р |
И |
И |
И |
I t |
t |
|
|
|
|
|
| |
|i |
^ |
^ | |
1 | ^ |
| |
|
|
|
|
|
Рис. 114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 115 |
|
|
|
sift |
(т /2)= 1 ; |
tn -ТГ, |
c ~ 2 h |
|
|
из формулы (9) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,2 |
п |
2 |
JT |
2 _ _ |
|
|
ркр - |
|
MnV |
|
|
E J |
|
|
|
. 2 - 2 |
|
|
C l 2 |
|
|
|
|
ft |
JT |
с |
|
|
|
|
|
что соответствует |
форме |
потери |
|
устойчивости, |
показанной |
на |
рис. 114. Усилия 7 |
здесь везде равны нулю и каждый стержень ра |
ботает в упругой винклеровской среде. Минимальное значение ркр при варьировании I /п получается
m in р кр ~ (^(с ) )/'/£ J
и соответствует
г 2/ л 2 = {я1/г)ГЁТр?
Другой предельный случай
т - 0 ■ Н — 00
дает форму потери устойчивости, показанную на рис. 115. Здесь S — 0 и прогибы всех стержней одинаковы. На боковых гранях должно быть обеспечено восприятие сдвигающих напряжений Г Критическая нагрузка
at г Е З
с
и создает одну полуволну выпучивания по длине стержней.
73.ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОЙ ПЛАСТИНКИ
САБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
Возьмем многослойную плиту, представляющую собой ряд тон ких упругих пластинок, соединенных между собой упругоподатли выми связями сдвига. Для каждой составляющей пластинки будем считать справедливой гипотезу прямых нормалей. Кроме связей сдвига пластинки должны быть соединены поперечными связями, препятствующими удалению или сближению, пластинок.относитель но одна другой по толщине. Эти поперечные связи можно считать абсолютно жесткими, что не приведет к заметной погрешности нигде, за исключением узких зон у краев пластинки, где работа поперечных связей имеет характер краевого эффекта. Общее чис ло пластинок, которые будем называть слоями, равно /г+ 1, а число промежутков между ними, которые будем называть швами, равно п. Порядок нумерации слоев и швов устанавливаем сверху же, как для составного стержня (см. рис. 24).
Абсолютная жесткость поперечных связей приводит к тому, что все слои имеют один и тот же прогиб w (x,y). Продольные переме щения (*t у ) и v- { х, у) для срединных плоскостей швов в общем случае различны, что будет обозначаться индексами, указы вающими на номер слоя.
В каждом шве выделим разделяющую плоскость, по обе сторо ны которой различаются продольные смещения смежных слоев. Продольные перемещения и деформации каждого слоя будем экст раполировать за пределы фактической его толщины вплоть до раз деляющей плоскости. Разности продольных перемещений 2Ц-и Ли
ло обе стороны разделяющей плоскости |
£-го шва: |
|
Ди=—-— с. + и, |
- и . : |
A v . — —■=---- с. + v |
- и . |
(73.1) |
i ОХ I |
4+1 с |
Ь |
о у |
I |
£+1 L |
|
Здесь |
— расстояние между серединами толщины слоев, лежащих по обе |
стороны I -го шва. |
|
|
|
|
|
|
Дифференцированием (I) получим: |
|
|
|
д д и / |
£?2JV' |
|
i |
|
|
* |
|
г^ е |
у |
— удлинения осевой плоскости t -го слоя в направлениях |
* и У ; |
d'iU~ сдвиг в той же плоскости. |
|
A e i |
= <?‘ |
- г 1: |
A P L=£ 4* * - £ |
L |
t+f |
|
?> Г |
|
х |
~х |
х * |
^ у- |
У |
Примем, что между разностями смещений и касательными на пряжениями в связях сдвига t -го шва существует линейная зави симость:
(73.3)
= *С A u i > Гу Н ' 4 “ , ’
где —коэффициент жесткости связей сдвига г-го шва.
Подставляя (3) в (2), пологим:
1 |
d r ; |
|
|
tv |
|
дх |
|
6 |
д х 2- |
1 |
> |
г |
|
d z w |
ду |
|
|
|
с<- д у 2 * А РУ ' |
|
|
|
|
2 |
1 |
,( |
дГ* |
1 |
* § L - U c . |
д х ду |
* У |
17 |
1 |
д у |
|
Ах |
/ |
с |
|
Составим теперь условия равновесия для внутренних усилий в пластинке /-го слоя, Для осевых усилий будемиметь дифферен циальные условия равновесия:
А |
( |
Вб* |
, |
дт*у |
1+ Г*"- Т*’ |
р с - |
0 ; |
|
|
|
hi |
V |
ах |
|
1 д у -) |
х |
|
л |
^ х |
|
|
|
> |
(73.5) |
|
|
|
|
|
|
|
\)+ V i |
|
Г i-1+ р i |
|
|
|
А- ( |
* * |
|
|
|
- |
= L1. |
|
|
|
|
дх |
, |
|
|
ht |
\ |
ду |
|
|
/ |
У |
|
У |
ИУ |
|
|
|
|
|
Здесь |
|
С |
. L |
t |
—осевые нормальные и касательные напряжения |
б х , |
и у , л |
в |
*-ом слое; |
f j - t ' j t 1* 2 ^ - |
|
- |
разности сдвигающих напряжений, |
передаваемых со стороны |
/ -го и |
|
— 1-го ш вов; |
р£ и |
|
составляющие |
осевой нагрузки, которая действует в срединной плоскости |
*-го слоя; ^ • - |
рабочая толщина |
с-го слоя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
Для изгибающих и крутящих моментов в |
/-ом слое: Л/Д Л/у и |
Л/‘ |
|
можно составить уравнения: |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
д М ‘ |
дМ*у |
-ь i |
|
£-4 . |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
~дх |
|
+ |
ду |
~ |
|
|
т * * т X |
|
• |
|
(73.6) |
|
|
|
|
д М ‘ |
|
d M l |
|
•' . |
. |
i-1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
д у |
|
|
д х |
= Qy + m v ->т у |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Up |
7 U у |
- |
поперечные силы в |
t -ом слое; тж+ т х |
. |
+ №у ~ |
моментные |
нагрузки, передаваемые со стороны |
/-го и |
i + 1-го шва. |
Кроме того, имеет место равенство
