книги / Составные стержни и пластинки

стержня равно такому же отношению для монолитного стержня. Поэтому приведенная длина составного стержня при однотипных граничных условиях должна определяться так же, как для моно­ литного стержня: при полной заделке Lnp— 1/2 L , при консольной заделке Lnf>— 2 L и т.д. Что же касается критической силы Ркрг то она изменяется не пропорционально квадрату приведенной длины, а несколько иначе.

Для стержней, составленных из двух и из трех симметричных брусьев, формула (45.8) справедлива для всех однотипных гранич­ ных условий, если в ней заменить значение L на L пр

«Р J r V ( L npZE3)<! -A2/(E,Js )

При большом коэффициенте приведения работа стержня прибли­ жается к работе монолитного стержня, а при малой —к работе па­ кета брусьев, не соединенных между собой связями сдвига.

При неоднотипных граничных условиях задача определения кри­ тических длин и нагрузок сильно усложняется. Рассмотрим лишь один случай неоднотипных граничных условий, имеющий большое практическое значение, а именно:

при

причем ограничимся стержнями из двух или трех симметричных брусьев. Эти граничные условия соответствуют шарнирному опиранию концов стержня, устроенному таким образом, что сдви­ ги, а следовательно, и напряжения V опор стержня равны нулю (рис. 74).

Начало координат берем в середине стержня при наличии только центральной осевой нагрузки имеет вид (45.4), а напря­ жения в связях сдвига X выражаются при этом согласно формуле (45.6). Подставляя эти выражения в граничные условия (2), получим четыре уравнения для нахожде­ ния произвольных постоянных. Определи­ тель этой системы уравнений должен быть равен нулю. Из этого условия получим уравнение

Рис. 74

[~(P9Z~ Z E d ) s in \ l ' C h ^ i - ( P ^ + ^ZE3)sh^t-cos^l]x

*[(Pi- ^ZED)cos)>2l 'Sh)>1-Щ +%SZEJ)ch)> i•sin ^t]=0,

откуда следуют два условия потери устойчивости стержня:

Первое условие дает симметричные формы потери устойчивос­ ти, а второе — обратно симметричные.

47. ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫЕ СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНИ

В случае внецентренного приложения продольных сжимающих сил

Ч . ' - ' Ч , М ^ - Е Р . е . ,

где 0#— эксцентриситет приложения равнодействую щ ей силы Р относительно центра тяж ести всего сечения, к а к м онолитного; 6i — эксцентриситеты при­ лож ения сжимающих сил Pi к каж дом у стержню в отдельностй (рис. 75).

Так как Мм и М а—постоянные, то общее решение (45.5) допол­ няется частным решением

М„Л г/ ( В 0 э0 1- M ° ' / ( Z E J )

-Р Л Ч Е ' З ,

что и следовало ожидать, поскольку ранее нами условлено отсчи­ тывать прогибы от линии действия равнодействующей сжимающей силы, а здесь эта равнодействующая перемещается на расстояние 60 относительно первоначальной оси стержня. Однако, так как мы от­ носим значения Ре0 и Рс к поперечной нагрузке, то в данном случае линию отсчета прогибов будет удобнее взять так, как если бы эксцентриситет е, был равен нулю. Общее решение неоднород­ ного уравнения при этом

У = ^ Sh >> * * Сг Ch % х * С3 sini>z x + С,. COS)>2 х + е 0 . (47.1)

Граничные условия примем такие, как в стержне со свобод­ но сдвигающимися торцами, шарнирно опертом в сечениях х — - I

и л - I :

у (±t) = 0, T(±l)=D.

Сдвигающие напряжения могут быть определены по формуле (45.6), куда следует подставить найденные значения Сг и Сг,( С1~

— С3 — 0). Максимальные сдвигающие напряжения возникают у торцов стержня

Если стержень имеет жесткие закрепления против сдвигов на торцах при шарнирном опирании концов, то решение становится иным. Граничные условия в этом случае выглядят так:

у ~ (± t )= 0 , Т (±1) =0.

Так как

c V ~ Z E U y " ,+ P y ,+ M ° ' М ° ~ 0 ,

ТС

Z E J y " ’ (,±1) +Р у ‘ (± 1 )~ 0 .

Произвольные постоянные определяются из уравнений:

С2 s h ^ t -ь Сц cos i>2 l + ео -О ;

(P91b^ZEJ)Cz sh91i-b ( P ^ - ^ Z E J ) ^ sin 92 UO,

откуда:

Максимальный прогиб

48. СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПРИ ЛЮБОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКЕ

Решение, данное в п. 47 для внецентренного сжатия и шарнирно закрепленного по торцам стержня со свободно сдвигающимися торцами, в работе [38] обобщено на случай любой поперечной нагрузки. Для краткости приводим здесь лишь конечный резуль­ тат:

f/(- MM * 2

Начало координат здесь взято на конце стержня, а длина стерж­ ня принята равной L ; £ представляет собой вспомогательную переменную, заменяющую л в выражениях Д/м и Af®под знаками ин­ тегралов.

Ввиду сложности этой формулы можно при граничных усло­ виях:

рекомендовать другой способ решения этой задачи, а именно — разложение поперечной нагрузки в тригонометрический ряд.

Пусть £-ый член ряда разложения выражается формулой

t} - q,k sin(kJTxfL).

Решение, соответствующее этому члену, ищем в виде

Если у торцов М 9равны нулю, т.е. если сила Р приложена централь­ но в смысле определения, данного в конце п. 48, то, согласно (45.2) и (1), получим,что7"(0) = T (L ) =0 .

Замечая, что эпюра моментов по длине балки для данной нагруз­ ки выражается формулой

м „ = м " к Ч г * s , n (WГ'Jr/A','

49. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ СОСТАВНЫХ КОЛОНН

Из общего выражения критической силы в составном стержне (45.8)

можно получить формулы для определения критической силы при различных частных случаях составных колонн.

Для металлической колонны, составленной из двух одинаковых ветвей, соединенных планками (рис. 77), мы имели ранее (3.9):

r = f / ( ' f ^ c V r i £ J a ); Ж Е 3 ^2 Е Э а ; E „ 3 = e ( Z J ^ c z f; /2 l

получим

где FgH Jg — площадь и момент инерции сечения одной в е т в и ;Ua —момент инерции всего сечения колонны ; Jn — м ом ент инерции сечения планок; С — расстояние между осям и ветвей колонн; В — расстояние между планка­ м и; L— свободная длина колонны .

При бесконечно жестких планках ( j n = со ) формула (4) приобретает более простой вид

Рис. 77

2ЖгЕдв 30 +(jrZBcZFs )/(24LZ)

Видим, что в выводе последней формулы имеется противоре­ чие, состоящее в том, что в коэффициенте £ учтена конечная жест­ кость ветвей £ JB , а выражение для (45.9) соответствует нулевой жесткости ЕЗВ - 0. Таким образом, теоретически формула (5) неправильна, так как при выводе ее Тимошенко использовал неправильное предположение Энегессера о пропорциональности сдвига поперечной силе.

Заметим, что при выводе обеих формул (4) и (5) мы пользо­ вались выражением для 4 (49.2), в котором не учитывается влия­ ние продольных сил на жесткость элементов ветвей колонны. Это влияние может быть очень значительным при большом расстоянии между планками В . Тимошенко рекомендует его учитывать вве­ дением к жесткости Едв коэффициента

При этом формула (5) приобретает вид уравнения относительно Я. Введение коэффициента ч* (6) является приближенным, но достаточно обоснованным решением, поэтому имеет смысл приме­ нять это уточнение в формуле (5). Обоснование этого уточнения состоит в известной приближенной формуле для прогибов сжато­ изогнутого стержня, имеющей вид

y = y 0 / d - p i p * Ph

где у — прогиб сжато-изогнутого стержня; У0 — тот же прогиб при отсутст­ вии сжимающей силы P\Pkf)— эйлеровская критическая сила для стержня.

Тем не менее нельзя просто значение 2Вв формуле (5) заменить через Ч/Зя . Это следует сделать лишь в формуле (2), оставив выра­ жения для Г и 7 р неизменными.

Далее, учитывая (3),