книги / Составные стержни и пластинки

Основную роль для решения принимаем ту же, что и раньше - стержень, лишенный связей сдвига. Выражения для приращения сдвига бу­ дут включать влияния единичных суммарных сдвигающих усилий и влияния внешней нагруз­ ки на основную систему. К сумме членов, учи­ тывающих эти влияния, нужно, кроме того, при­ бавить член, выражающий влияние единичного прогиба всего стержня в данном сечении. Это последнее влияние выражается в том, что появ­ ляется дополнительный изгибающий момент

который вызывает приращения сдвига. Таким образом, общее приращение сдвига в t -ом шве

Рис. 72

Значения А определяются по формулам (5.14). Коэффициент же’ A iy i который легко найти,применив формулу (5.12), выра­ жается формулой

Дополнительное условие, необходимое для определения всех неизвестных, имеет вид

Правая часть выражения (1) представляет собой общий из­ гибающий момент, который действует на составной стержень, лишенный связей сдвига. Умножив это уравнение на коэффициент

ZNDIZE0, получим

однородна. При однородных же и граничных условиях ее решением является Г. =■ 0, д — 0. Однако при некоторых значениях суммар­ ной продольной силы однородная система уравнений имеет реше­ ния, отличные от нуля, которые соответствуют формам потери устойчивости сжатого составного стержня. Эти значения суммарной продольной силы zr/V'являются критическими.

Возьмем простейший вид однородных граничных условий:

Эти условия соответствуют шарнирному опиранию концов стержня по схеме, показанной на рис. 73.

Однородная система дифференциальных уравнений при этих граничных условиях имеет решение

Подставив значения (3) в систему и сокращая на sin Х х , полу­ чим:

IS4

Решение этой однородной системы обыкновенных уравнений, в которой неизвестными являются ct^ й сси , отличается от нуля только тогда, когда определитель ее равен нулю.

Таким образом, для вычисления критических значений Z N по­ лучим следующее уравнение, которое сразу можно сократить на

Щ * '

Раскрывая определитель по элементам последней строки, полу­ чим уравнение вида

A fZ N ° + В - О ,

15S

из которого значение Z/V“находится однозначно; оно соответствует определенным размерам и упругости составного стержня, а также определенному целому числу А, входящему в выражение для х . Из физического смысла явления ясно, что все продольные критичес­ кие силы должны быть сжимающими, т.е. все £ № отрицательны. Наименьшее по абсолютной величине значение ГЛЛдолжно отвечать продольному изгибу по одной полуволне синусоиды, т.е. А, равно­ му единице.

Уравнения (3) можно обобщить, распространив их на рамные составные стержни (п. 13). При этом в левых частях л их уравне­ ний вместо значений ( 1 / t = 1, 2, ,п ) следует поставить, согласно (13.5):

45. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ, СОСТАВЛЕННОГО ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ

Для вывода уравнения сжато-изогнутого стержня, составленного из двух брусьев, воспользуемся уравнением, полученным в п. 34:

Здесь необходимо лишь добавить к внешним изгибающим мо­ ментам Мы и Мвмомент, возникающий вследствие отклонения сече­ ния от линии действия равнодействующей силы Р, равный -Z/V* =Ру}

сдвига. После переноса всех членов с у в левую часть искомое уравнение будет

или

Суммарное сдвигающее усилие при этом выражается, соглас­ но (35,3), формулой

где

Значения ^ и iJ2 являются корнями характеристического уравне­ ния

Р\г

f +\ TED = 0.

Из решения (5) по формулам (2) и (3) можно найти общие вы­ ражения для Т и г ;

Произвольные постоянные С4 , Cz г С3 и ^определяются из гра­ ничных условий. Для этого необходимо решить систему четырех (до числу необходимых граничных условий) однородных линей­ ных уравнений. В общем случае все эти постоянные должны обра­ титься в нуль и лишь в особых случаях, при обращении определите­ ля уравнений в нуль, появляются отличные от нуля неопределен­ ные по величине решения.. Эти решения соответствуют случаям по­ тери устойчивости и им отвечают определенные критические соот­ ношения между размерами стержня и значением сжимающего уси­ лия.

Рассмотрим, например, случай шарнирного опирания стержня по концам при свободно сдвигающихся торцах. Граничные условия при этом имеют вид

y(Q)~y(L)—0, T(Q)—T(L)=О

Граничные условия (7) удовлетворяются при

JTjL.

Отсюда находим критическую длину при заданной нагрузке

Для определения Р при заданной длине L проще подставить в уравнение (4) у -С 3sfn (XxfL), Тогда после сокращения на Csinffi/

158

Если податливость связей сдвига очень велика, то Л =0, и снова получается формула Эйлера

Формула (8) может быть представлена также в виде:

т.е. аналогично формуле для напряжении в балке с синусоидально распределенной нагрузкой (27.2). Место напряжений здесь занима­ ет величина, обратная критической силе. Приведенные выше фор­ мулы справедливы также и для стержня, симметрично составлен­ ного из трех брусьев,, причем А следует полагать при этом равным

Исключение представляют формулы (2) и (3), в которых Т и Т следует заменить при переходе к стержню из трех брусьев через 2Ги ZV.

Если в уравнении (1) положить ££7*0, то получим

Отсюда для критической силы Ркр получаем выражение Энгессера:

Это выражение легко может быть найдено и непосредственно из формулы (8), упрощая которую при Г ^ -^ п о п у ч и м

JT2/(L 2с2$)+ 1/(£а J0) " j r z/ ( c 4 ) + L г/(В0 70)

Осюда можно заключить, что формулы Энегессера и его теория учета "влияния поперечной силы” на продольный изгиб составных