книги / Составные стержни и пластинки

32. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Приведенные примеры показывают, что усилия в связях состав­ ного стержня во многих случаях могут быть определены сравни­ тельно просто. Решение для составного стержня получается в виде суммы частного решения, которое для всех случаев кусочно-равно­ мерной и сосредоточенной нагрузок совпадает с распределением сдвигающих напряжений в монолитном стержне, и общего решения однородного уравнения, являющегося суммой показательных или, что то же самое, гиперболических функций от аргумента, пропорционального координате л .

Предельные случаи работы связей соответствуют малым и большим значениям характеристических чисел А. При малых зна-

чениях Л. и Аж получим случай стержня с очень податливыми свя­ зями, при этом решение упрощается заменой s /тАж и th Ах через Ах, a ch Ах через единицу. Общее решение в этом случае выра­ жается линейными функциями я .

Большим значениям А или Аж соответствует второй предельный

щее решение дает достаточно большое значение напряжений лишь в зонах, близко расположенных к концам стержня, к точкам прило­ жения сосредоточенных сил и к другим характерным точкам, в ко­ торых сечение составного стержня испытывает какое-либо измене­ ние; при удалении от этих зон сдвигающие напряжения быстро за­ тухают по показательному закону и в местах, достаточно удален­ ных, могут считаться равными нулю.1 Если ограничиться требуемой точностью вычислений, например в 2%, то, учитывая, что г" =0,018, можно вполне считать значение Ах =4 бесконечно большим, а дли­ ну х =4/ А - бесконечно большой длиной шва.

При бесконечно длинных соединениях решение для составного бруса упрощается во многих случаях настолько, что не требуется почти никаких вычислений, кроме определения А и значений е ~А*. Так, например, для балки на двух опорах, нагруженных так, как показано на рис. 61 (все участки балки ’’бесконечно длинные”), эпюра т может быть построена непосредственно по эпюре ^м он о ­ литной балки после ’’скривления” скачкообразных участков последней эпюры кривыми вида Се ±А*.

Если участки балки или стержня не бесконечно длинные, то с помощью подобного рода ’’скривления” эпюры на глаз можно зара­ нее представить вид эпюры Г, что также весьма существенно.

Другой вывод можно сделать относительно значении напряжений в составной балке. Они всегда являются средними между значе-

Рнс61 -u t m im ln m n u t t

Рис. 62

ниями напряжений, определенными для монолитной балки, и для балки, лишенной связей сдвига. Общая формула для напряжений в составной балке, как мы видели, имеет вид:

сдвиге того же сечения и таким же обрезом нагруженной; V —коэффициент, который зависит от вида нагрузки и размеров балки.

В основном этот коэффициент V зависит от значениям, где L - пролет балки, характер же нагрузки (при обычных нагрузках) на него влияет мало. Поэтому во многих случаях <1 можно принять та* ким, как при синусоидальной нагрузке на балку:

причем он оказывается постоянным для всех сечений балки. Формула ( 1) дает возможность быстро определять знак и поря­

док величины напряжения в любой точке составной балки. Окончательная эпюра напряжений по высоте составной балки

представляет, таким образом, линейную комбинацию двух эпюр напряжений -линейной эпюры напряжений в монолитной балке и эпюры напряжений в балке, лишенной связей сдвига (рис. 62).

В тех точках, где напряжения и бА равны между собой, им же будут равны и окончательные напряжения б независимо от коэф­ фициента жесткости связей сдвига £ .

33. ОПТИМИЗАЦИЯ СОСТАВНОЙ БАЛКИ ПО ЕЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ

При увеличении числа связей сдвига составная балка приближа­ ется к монолитной, причем увеличивается ее жесткость и соот­ ветственно уменьшаются максимальные краевые напряжения в балке, определяемые по формуле (32.1). Действительно, при уве­ личении коэффициента жесткости связей сдвига $ возрастает зна­ чение \ г — §2т и значение ч1(32.2). Напряжения же О в материале балки приближаются к значениям, которые они имели бы в моно­ литной балке бм . В то же время увеличение £ создает большую концентрацию сдвигающих напряжений у опор, поэтому макси­ мальные напряжения V в связях сдвига увеличиваются. Таким об­ разом, несущая способность балки, определенная по максималь­ ным краевым напряжениям б , с возрастанием $ увеличивается, а определенная по максимальным напряжениям в связях сдвига t — уменьшается. Оптимальным коэффициентом будет такой, при котором несущая способность балки, определенная обоими этими способами, оказывается одинаковой.

Возьмем в качестве наиболее простого случая балку, шарнирно опертую по концам со свободными на сдвиг торцами, нагруженную синусоидальной нагрузкой (см. п. 27). Согласно (27.2), здесь

бразить в виде кривых, точка пересечения которых соответствует максимальной несущей способности фт а х удовлетворяющей требованиям прочности как самого материала стержня, так и свя­ зей сдвига.

Для определения а _ яу надо приравнять правые части формул

Далее можно положить, что предельно допустимое напряжение в связях сдвига ДО возрастает с увеличением густоты связей так же, как и коэффициент жесткости связей £ . Тогда

Для случая силы» приложенной в середине пролета балки, фор.

Заменяя fr] по формуле (9) получим трансцендентное уравнение:

из которого можно определить оптимальные значения X и [Т].

Гл а в а б. ПРОГИБЫ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ

34.ОБЩИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОГИБОВ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ

Для стержня, составленного из нескольких брусьев, прогиб мо­ жет быть определен после вычисления суммарного изгибающего момента

1=1 <• *

Далее находится выражение для кривизны

у " = - M / Z E J .

Интегрируя его дважды, найдем искомый прогиб. Таким образом, к системе уравнений (5.18)

здесь добавляется уравнение