Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Составные стержни и пластинки

..pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
21.07 Mб
Скачать
☆

- 1,5315741 -0,1081/1*,;

0,1250rf£rfJ = - 2,86497,- —3,45957 -.,- 1,53157 + 6,12617 4 j - 0,4324 Mx \

Дальнейшее решение этой системы дифференциальных уравнений производится известными методами и не вызывает принципиаль­ ных затруднений.

61 . ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТОГО СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ

Центрально сжатым составным стержнем называется такой стержень, в котором продольные деформации всех составляющих стержней имеют одинаковую величину, постоянную по всему се­

чению. При этом значения

(56.3) равны нулю так же, как и

бимомент

а уравнения '(56.10) становятся однородными,

имеющими

тривиальное решение.

При вынужденных поступательных и вращательных перемеще­

ниях сечения центрально сжатого составного стержня

 

Мх~ Р (и - а у 9)} Ми *-р(у+ахе))

(61Л)

г д е и, у — п о п е р е ч н ы е п е р е м е щ е н и я ц е н т р а т я ж е с т и в с е г о с е ч е н и я с о с т а в ­

н о г о с т е р ж н я ;

в —п о в о р о т с е ч е н и я в о к р у г ц е н т р а и з г и б а , и м е ю щ е г о к о о р ­

д и н а т ы aXf ау

в г л а в н ы х ц е н т р а л ь н ы х о с я х в с е г о с е ч е н и я ; г* — к в а д р а т

п о л я р н о г о р а д и у с а и н е р ц и и в с е г о с е ч е н и я с о с т а в н о г о с т е р ж н я , в з я т о г о о т н о ­ с и т е л ь н о ц е н т р а т я ж е с т и э т о г о с е ч е н и я .

Подставив значения MXj Му и Зы ( 1) в выражение (56.10), по­ лучим

 

Ли/ Ск

,

 

 

2

Д х

СЦ

г/ г р [- Е Е З!л)

(а и + а .

v + r 9) + -------

У

*

 

°

ЕВЗ> ( и - а у &)+

 

ik

 

 

 

 

 

 

 

ЕЕЗ,а (- v ~ ах У*f

 

TEJ.си

 

 

[поскольку

N . К EF.) ~ N К E F . )

 

при центральном сжа-

тии]. Или

Дозс it

4

Ах

(к

■)и

+ (.

Д ш 1'к

Г«Ч(-Е Е J,UJ

+

Е Е З Я

CL —

 

 

 

E E Jш

Д у Ск

\

(

А и / к

г

 

 

 

 

Е Е З у ) V* \Е Е Э и То Е Е О х

 

Ж »

Система уравнений (56.10) после этого приобретает вид:

'ik

 

L ~

Tn sik ,it* д Tk A ^ , v , , t /

n\( Ашская

A^l<

]

 

/

Awika ,

A y ik \

 

k P l (

ЕЕЗЫ

+ Z E 3 j a

 

(

ZE3W *

Z E j J

(61.2)

/ й и скт£

А *екая

A y‘ka

 

\

 

TG]rp .

 

1

«_

Л

£ Е ^

2 5 J X

 

 

ТЕЗ.

 

1 в Г

Ш ^ й “

в:

Z E 3 в = - Г Т йй>‘ - Р ( а

у

и * а

*

У * т * В ) + в Э В .

 

со

ск

 

 

 

 

и

кр

 

При отсутствии обозначения области суммирования знак суммы распространяется на все стержни или на все сдвигающие усилия. Кроме уравнений (2 ), надо написать еще два:

- Z T

Ах1к- Р(и-а

8);

 

 

 

f

(61.3)

Z E Juvn- ~ZT Ay l - P ( v +а 8). /

 

у

Lk

*

 

Эти последние уравнения соответствуют продольному изгибу стержня в направлениях х и у без закручивания.

Неизвестными в уравнениях (2) и (3) являются Ъ , « . К В . От­ личные от нуля решения здесь возникают при равенстве нулю опре­ делителя этой системы уравнений, а значения сжимающей силы Р7 при которых определитель обращается в нуль, представляют собой критические усилия.

Для двух составляющих стержней, соединенных одной связью, имеем:

у "

Г ( А ы ) 2

(A*)2

( A y f

1

1

1 +

 

 

 

 

 

 

 

+ Z E J X

+

* EF,

* EFZ

J

♦ 4

F F 5 T

си

A OJVO

*(■ Z E J ,CJ

—Л х . ) u

+ ( . AU ,a*_____ ^

— ) у +

ZEDX )

Т { ИЕдш

Z E J y J

А х а у

ДУ°-х

Z G 1 кр

Z E J X

Z E J X

T

ДыВ,

i t

Z E J ^ ' ^ - T A i o - P f a ^ u - a ^ v t r l e J - E G J ^ e ,

ZE3xU ."=-TAx-P(u -UgS);

EE Jy v"= " T A y - p ( у + ах0).

Г л а в а 10. КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ

62. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ

Упрощенное решение задачи о колебаниях составного стержня получим, учитывая только те инерционные силы, которые действу­ ют перпендикулярно оси стержня. В большинстве случаев такой подход вполне приемлем, поскольку продольные перемещения стержней, как правило, значительно меньше поперечных. При этом к внешней поперечной нагрузке входящей в уравнения состав­ ного стержня,требуется лишь добавить инерционный член — т у где т —погонная масса всего составного стержня. Точками будс'

обозначать производные по времени

i , а штрихами и римскими

цифрами —производные по длине стержня х .

Продифференцируем два раза уравнения (33.2) и (33.3)

 

^ 1 АСкТк +^Со

(с

(62.1)

 

 

 

 

 

 

Z E J y W = Z c t T " - M °

и, считая внешние продольные силы

N° постоянными по длине

стержня, положим:

 

 

 

9 -

о ..

л « М°"сс

 

 

 

Д £в

Е £ П

 

Будем иметь систему дифференциальных уравнений в частных производных:

Ш

- £ Л . г

E E J 4

=

 

( £ = 1 ,2 ,...,л))

к

к * * - * '*

Z E J

'

 

E E Jy** tny

г*-

П

О

 

Z c t

rt

 

 

 

 

к-1 к

*

 

Для нахождения собственных частот и форм колебания состав­ ного стержня надо исходить из однородной системы уравнений, получаемой при отсутствии внешней нагрузки:

72

а.

tn с^ ..

Z E J y ^ m y - Z c J ^ O .

Полагая

у - Y ( х ) sin (cut * Ч>)\ Г. = в. (х) sin ( c u t -к Ч>),

гДе У> &

— ф ункции одной переменной Х\оо—частота;

Ч> —ф аза колеба­

ний.

 

 

 

 

 

 

 

Придем

к

системе обыкновенных дифференциальных уравне­

ний:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в ?

п

т со2с L

У -

0;

 

 

 

£ ? йк

E E J

 

 

 

 

 

 

 

 

ш

П

 

 

 

 

 

E E J у " - m u j Z Y~- Е С, &" = 0.

 

 

 

 

 

к-1 * к

 

 

Для стержня из двух брусьев эта система получит вид:

 

 

9 i

 

mui2с

 

 

 

 

 

£

^11в

E E J

Y -°>

 

 

 

Е Е З У а - т ш г У - с 9 п = 0 .

 

(62.2)

 

 

 

Исключая 9

из уравнений (2), получим:

 

 

 

0 *

(1/с)( E E 3 Y 2* -

1Л о / У

)

 

(62.3)

и вместо второго уравнения (2 )

 

Е Е J У Sf~ m u f Y * - A 0 ( ^ Е Э у ш- т ш г У)~

 

г Л2

т и>

(62.4)

п с

 

У = 0,

Д „ E E J

где

Учитывая тождественное соотношение

1-сг/ ( Д „ £ Е Э ) = £ Е О / ( Е З м),

где £

— жесткость на изгиб всего стержня, рассматриваемого к а к моно­

литный, можно написать уравнение (4) в виде

 

 

E J

( Z E U Y ^ - m c o Y " ) - * l

Е Е J ( E J ^ ~ п >UJ

Y) =0. (62.5)

Af

r

W

 

 

При абсолютно податливых связях сдвига

-

0 имеем про­

дифференцированное два раза уравнение формы колебаний двух параллельно работающих стержней, не связанных между собой связями сдвига:

Ш2 U

E E J Y - t n u f Y = О.

При абсолютно жестких связях сдвига Х9 =: со получим урав­ нение колебания всего стержня, как монолитного

Е3„ У ^ - т с и 2 у = о.

М

Для балки, шарнирно опертой по концам с торцами без пре­ пятствий сдвигам по шву, форма собственных колебаний имеет вид синусоиды:

Y - У sin ( k f T x j l ) , 9 = 9 sin. (ЬТГх/ l ) .

(62.6)

Подставив первое выражение (6 ) в уравнение (5) и сократив на sin (kjrx / 1 ) , получим алгебраическое уравнение

 

k 6JT6

г к г3 г \

 

ZEJ-£-7r-+mu)’ ~ 1 Г Г

■г

(

2

 

 

) - 0 ,

откуда

 

 

 

,

г . г

, 2

/ 2

 

т и

г- —к*

 

к

УТ

+ Л Q

I

(62.7)

I

cck'^JT2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<х = EJM/Z E D .

При этом суммарно сдвигающие усилия, согласно (3), будут:

el = ~ h ( z E 3

К ' я *

- т ю / Yk sin

( k f f x / i ) ;

I *

 

 

k z7Tz

 

( k fr x jt)

 

 

l 2

 

 

 

 

 

или, подставляя сюда (7 ),

 

 

C

EED

-f-QC

. , .

^ =

-------- ^ 7 J f T T ^ P ^ V

< * * * /tJ -

Из формулы (7) видно, что низшие собственные частоты при не слишком малых \ а t приближаются к частотам монолитной балки того же сечения, а высшие — к частотам балки, лишенной связей сдвига. Следовательно, спектр собственных частот составной балки несколько сгущается по сравнению со спектром монолитной балки.

В случае других граничных условий необходимо найти сначала общий интеграл уравнения (4 ):

..

£

Х:Л

(62.8)

Y = £.

с. е ,

 

i-1

L

 

где At- ( t — 1, 2, 3, 4, 5, 6)

— корни характеристического уравнения

E J M ( E E D X - m c f A 2) - ^

£ E J ( E J " X 6- m o JZ)=0

или

 

 

 

. 6 . 2 . 4

2 /

 

 

А ~

- trio; f-

(62.9)

 

 

При

Л2--►<» левая часть уравнения (9) отрицательна, при Л2= 0

равна

т ш 2’ \ дг J(ЕЭМ) 7 О »при Аг=Л%/ос она равна Л6о (Х-Л'^0,

так как <х> 1 , и при лг-»-«левая часть снова становится положитель­ ной. Следовательно, уравнение (9) имеет для А1 три действи­ тельных корня, из которых один отрицательный и два положитель­

ных. Обозначим эти корни через —fi*

и f i \ .

 

Тогда общее решение (8 ) можно будет записать так:

У= C^sirt Р 1 х + С2 COSД х

+ С3 sh

ч-

+ СЦchpzx +C5shJ33* + С6 chfi3л .

(62.10)

На основании (2) при этом:

 

 

0 = -^г [(Z E D уЗ* - т о / ) ( С 1 s i n f y х+Сг COSJ3, х ) +

.+ ( E E D f i l - т о / ) ( С3 shjb2 х У-

chfe2 x ) +

 

+ (EEDftl - rncu )(С5 shfi3X + С6 chfiy х/ | ,

9* л - [[ZED / - Z jf ) (ci

+с* ^

> ( 6 2 . l l )

♦

+(ZED Д - ^ jp r j (С3 shA X + C2ChА * ) +

+(z:EJJi3 - mp r ~ j ^ es s h A x * Cs chA * ) '

63. КОЛЕБАНИЯ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ

Рассмотрим собственные колебания составного консольного стержня (рис. 100). Граничные условия для Y такие же, как в мо­ нолитном стержне:

при

л —0

Y —У= 0;

 

 

А —I

>

( 6 3 .1 )

при

У== 0 .

 

Д л я

суммарных сдвигающих сил имеем:

 

при

л = 0

6>= 0 ;

( 6 3 .2 )

 

 

►

при

х —I

в — О

 

и, согласно (34.3), поскольку 0.(1) —0:

при

х = г

Z E D Y '" = c e '

(63.3)

Далее из условия отсутствия продольных напряжений в верхнем торце стержня получим

при х = l : Г'=бв / Ei -(JH /Е ^ = О;

(63.4)

г'= т"=о, е"=о,

где (SQ ,би— краевые продольные напряжения в волок-' нах первого п второго стержня, примыкающих к раз­ деляющей плоскости шва.

И наконец , считая распределенную продоль­ ную н а гр у з к у на стерж не о тсу тств у ю щ е й , бу­ дем им еть:

Рис. 100

при л е й ; г "

= о'е/Е,-б'н /Ег=В:

(6 3 .5 )

tr " -

т'" = 0

в " ' - 0 ,

 

так как производные

, М г’

/V' и N j в заделке стержня равны

нулю, ввиду равенства Т’~ 0.

Итого мы имеем восемь граничных условий в соответствии с по­ рядком системы дифференциальных уравнений (62.1). Впрочем, вместо 9 можно ограничиться вначале определением функции /9 "и тогда порядок системы (62.1) можно считать равным шести, и ус­ ловия (2 ) окажутся не нужными.

Подставляя в граничные условия ( 1), (3), (4) и (5) общее решение (62.8), (62.9), получим однородную систему уравнений:

С2 + С ^ С Б ^ ° Jil C l +Jiz C3 +fi3 C5 . 0

- Ci АГ s m f i 11 - с2 /3* Ci/S/3/1+ сз J32 S h fiz l +

* Сц Л ch/ d2 1 + c5J3l s h ^ 3 1 + сб А

1 =

( E E J fi] - tnujZ) ( / sinJ3i l + C2 c o s p 1 i) + ( £ E Jfi*-

- m u j 2) ( C3 s h

l + C*, C h j3 z l )+

tn c o 2y

x(Cb Sh J33 1

ir

c6 ch Jdj l ) ~ 0;

 

P 1 ( E E j p *

-

tn u j tl) C 1 + p 2 ( Z E D p l - m

u f ) C 3 +

+Jd3 { Z E a f i 3 - m c u Z)C5 = 0 ,

 

- c\ p* cosД

г

+ Cz Jdfsitt/% t + c3jb\ chfi2 1 +

+ t\J32 sh/32i + c5p \ ch/з3 1 + cGfi3shjd3l =

° - ( Д - Z E j f i , )

( ^ o s f i .l

-

Сг sin 0 ,1 ) +

 

 

+ c * s h ^ l ) +

+( ^ 3 ---- Z E J f i 3 }

l

*

^Gs h $ 3 ^ '

Для нахождения собственных частот и форм колебаний следует приравнять нулю определитель этой системы уравнений. При этом

надо помнить, что значения

представляют собой функции

искомых частот, являясь

корнями бикубического уравнения

(62.9), в коэффициенты которого входит и Таким образом, по­ лучим хотя и сложную, но вполне разрешимую для современных ЭВМ задачу.

64. УЧЕТ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ ИНЕРЦИИ

Более точное решение задачи о колебаниях составного стержня получим, учтя, кроме поперечных, также продольные силы инер­ ции. К этому решению можно прийти следующим образом. Сдвиг по t -му шву представим в виде

 

Г. = U .

-

и -

 

С£ У

 

 

 

I

L+1

 

L

 

 

 

где

и^ — продольные перемещения вдоль оси

*-го стержни,

или, выразив Г-

через сдвигающие напряжения 2^

 

Т. / i .=■

и .

-

и

I

•+ с . и*

 

 

t '

* L

 

с +1

 

 

 

с у

 

 

Из условия равновесия вдоль оси

д-го стержня имеем

 

E . F . u " +г . -

2 *. - m il. +р. = О,

 

 

L С

*■

 

L - /

С

С

где

/л- — погонная плотность

 

/-го стержня;

р л—продольная нагрузка

/-го стержня.

 

 

 

 

 

 

 

 

L

Наконец, условие равновесия в поперечном направлении дает приведенное ранее второе уравнение (62.1).

Итак, мы имеем следующую систему уравнений:

 

♦ се у ' - *

/*.■ =

0

<1‘ 1,2...., П);

 

Ei Fi и “~ т . а с * Г. - г._ = - р .

U = l 2,..., П Н );

, (64.1)

rg

h,

,

 

tn-1

 

E E J + m y ~ Z: V c = q

( m = Z m k )-,

J

 

k - i к *

'

fi-i K

всего в ней

2ft + 2 уравнений c 2 / t + 2 неизвестными: (T.~ 1.

2 .........ft)»

1 .2 , . . . ,fr+ 1)

и у .

 

1

Для стержня из двух брусьев ( п — 1) система уравнений (1) принимает вид:

EiFfU * ~

>

Е2 F2

—тг ц.^ ~~L ~ ~р% >

l E J y ^ + C m , * т2) у + c t '= f y .

Свободные колебания с частотой ш здесь описываются системой обыкновенных уравнений

 

U2 - U ^ - c Y ' - i Q f S ) ~ 0;

 

 

Ei F1 и ” + т 1 c o ’U1 + 6 - О ;

(64.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

El Fz иг

+тг

иг ~ 9

 

 

 

£ E J Y W- (т,+ т 9 )би-У - с в '= О,

 

получаемых из условий:

 

 

 

 

 

 

= U1 sin ( u t

+ Ч>);

uz = Uz sin/ { w t + Ч>);

 

у -

Уsin (t*jt + V); f -

9 sin (u rt + Ч*)>

 

где Uf ,

,

Yt &

—функции одной переменной А.

 

Характеристическое уравнение системы (2 ) имеет вид:

 

- 1

 

1

 

 

сА

' $

Ei F1Az+mi ^ Z

О

 

 

О

 

 

1

 

О

г- с- F

 

2

О

=&

 

E2 F2A+m£ bt

 

- /

 

О

 

 

 

ЕЕйА

-сА

После раскрытия определителя получим

 

~ (Et Fz

m2 “

X Z E ЗА*-m t LJ2) ~ [ E 1F1 * г+т , си*)*

X(E£UA —rnси )-с2 A (EfFjA +гп^ OJJ*

* ( £ ^ / * ^ ( 2 ) *

£,Ff A от, bJ2)(E2F2 А %

* ir>v‘ ) [ Z E V A l' - ( m ,*

тг ) а г ]= 0

относительно и>г имеет три действительных положительных корня (рис. 103). Таким образом, для каждого к существуют три собст­ венные частоты колебаний составного стержня, получаемые при учете инерционных продольных сил.

Г л а в а 11. СОСТАВНОЙ СТЕРЖЕНЬ С УПРУГОПОДАТЛИВЫМИ

ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И СВЯЗЯМИ СДВИГА

65. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим теперь более общую задачу о составном стержне на упругоподатливых связях сдвига и упругоподатливых поперечных

связях. При ее решении приходится

вводить две системы функ­

циональных неизвестных —усилия в

связях сдвига Т; и усилия

в поперечных связях st , причем получается система 2 tt уравнений с 2 л неизвестными, где п —число швов.

За основную систему выгодно принять составной стержень, ли­ шенный и связей сдвига и поперечных связей. Определим произ­ водные /V по длине стержня от сдвига вдоль /-го шва, вызыва­ емые действием различных факторов. Единичная суммарная сдви­

гающая сила

7^ — 1 , действующая в /-ом шве, дает значение этой

производной

 

Действительно, кроме осевых сил в /-ом и i+ 1-ом стержнях, равных единице, в этих же стержнях действуют моменты, равные

а-и Ь; , от которых возникают краевые напряжения

и b2J3ib1\

производная

r j представляет собой разность частных от деления

краевых напряжений на соответствующий модуль упругости.

Единичным суммарным сдвигающим силам Т._1 и 7\

, дей­

ствующим в

t - 1-ом и /+ l-ом швах, соответствуют производные

Г/ равные:

 

 
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности