книги / Составные стержни и пластинки
..pdfГ (0) \ £ЖЕС |
э |
<ch |
° ~ J S |
- ^ - |
- 0 Г |
* - |
|
|
|
|
QA |
|
|
|
|
|
|
|
0^0 |
2Л 2 |
|
|
|
W ) |
sh9 |
Z . E J |
Ma (ch9-'i) _ TED |
Q (sb j- 9 )= D , |
|||
|
Л |
17C |
|
|
M7 c |
||
которые можно записать в следующей табличной форме: |
|||||||
|
cD |
|
|
|
QA |
|
|
T(0}AZED |
|
»A |
|
л |
|
||
Sh 9 - 9 |
1-сы-^£ |
9 - s h 9 - ^ t |
-V0IXZJ} |
||||
ch 9- 1 |
- sh 9 - J59 |
i-ch9-££L |
-<f0 AD |
||||
Ш |
-sfn ) |
|
|
- |
|
Ш - » |
0 |
He |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Третье уравнение здесь можно сократить на |
ZEJ/JDC и вычесть его |
||||||
из первого, сократив остаток на~ 9 |
Тогда матрица коэффициентов |
|||
уравнений и столбец свободных членов получат вид: |
||||
|
Jb9 |
J3 |
|
|
1 |
г |
e |
w |
|
1-ch9 |
sh9+J59 |
, |
У ,* ! ) |
|
ch 9 -f+ |
2 |
|||
sh 9 |
1- ch 9 |
9 - s h 9 |
0 |
|
Определитель матрицы коэффициентов |
||||
2 3 |
Z |
Z |
|
|
~ j - s h 9 + —3 —+■ ~ j — Ch9- J 3 9 s h 9 + 9sh 9 +2-2ch 9,
а определитель, получаемый из него заменой второго столбца свободными членами:
1 |
|
>3v>2 |
|
6 |
|
1-ch9 |
Ч>М) |
fi9 2 |
£h9-1+:Lr |
||
|
о |
с |
sh 9 |
О |
9 - S h 9 |
= ip M >(9ch9-sh9 + |
|
0 &9г |
(41.16) |
+ ^ - s h 9 ) . |
Следовательно,
|
9 ( iCh 9 ~sh 9 + -^ |
~ $ h 9 ) |
|
|
г ( A t i l |
9jsfy9+(- |
2 #9 * |
J3y)i ' |
|
v /2 |
з |
- zjch 9+2+ ~~3~^ |
||
Если же заменить свободными членами третий столбец определите ля, то получим
1 |
4 ^ |
д,<-Л® |
1-Ch 9 sh 9+Ji9 |
ff0 AD % A D ( - e h 9 - :Y - s h 9 + i ) . |
|
s h 9 |
1-Ch9 |
О |
Отсюда: |
|
|
i/>g 2 |
9 Z [~ c h 9 - ( J S 9 / 2 ) s h 9 + i ] |
|
%± ~
»B MM4 + QAt s
4>aP |
v [ -(J^ - + i ) s h 9 |
+ 9] |
|
|
1 1 ГР ~ Т 7 1 Г Г 7 1 ^ Ж ^ |
\ |
Л>2~* |
||
|
||||
|
V l i ----^ 9+9j s h 9+ ( - ^ ----z ) c h * 42+ - 3- |
|||
При смещении правой опоры на значение сР в уравнениях (15) меняются лишь свободные члены, а именно, в первом уравнении свободный член будет равен <Г, а во втором и в третьем уравнени ях —нули. Соответственно вместо определителя (16) получим
л |
S A D |
Jb9z |
7 |
i |
6 |
|
||
|
|
|
|
д1>9 / P 9 Z |
9-9*9eh ^ |
1 - c h 9 |
0 |
Ch9-1 + 2 |
|
sh 9 |
0 |
9 - Sh 9 |
|
и, следовательно, |
|
||
м=-м=- |
19э |
у2(4- * h * - 1 + ch9) |
|
|
|
|
|
Точно так же находим:
-ЯУ
1 |
2 |
t 1 |
|
|
1-сЬУ |
sh't+fi') |
0 |
=—j - У ( Z -2ch y-J$ysh У ); |
|
|
|
|
• X |
|
shy |
1- ch У |
о |
|
|
|
|
|
^ %( 2 - Z c h ^ - f i ^ s h ^ ) |
ZMA |
|
|
|
Я У 3 |
t |
|
|
|
У+ 1^ Y ~ - 2 )c h f+ 2 + 3 |
|
Если один конец стержня шарнирно оперт, а другой защемлен, то при повороте защемленного конца при свободно сдвигающихся торцах имеем:
У(0)=0; у'(0)=ч>о ; Т(0)=0; у (х )= т (г)= М ^ О .
Здесь сохраняются первое и третье уравнения (15), а вместо второ го уравнения получим
МА + QA I =■О или МА HQA /Л)У = О.
Отсюда матрицу коэффициентов уравнений и столбец овободных членов получим в виде
1 |
/ЗУ |
./ЗУ2 |
|
V.AJ) |
2 |
6 |
|
||
|
|
|
||
S h y |
1- ch У |
У - s h y |
> |
О |
О |
|
У |
|
|
1 |
|
О |
Определитель этой матрицы
У - ic h * + (p //6)sh У-Я+shV- (fly(2)sh У-sh У- УсИ У-(р */3)sh У.
ДляА^:
1 |
%AD |
/ЗУ2 |
|
6 |
|
||
|
|
|
|
sh У |
О |
У-shy |
%AJ)9sh-y-, |
О |
О |
У |
|
(41.17)
_____ y ZS h У
^ Ь У - f c b y - ^ ± s h )> 3
Поперечная сила 0Аравна - МА /1.
При смещении правой опоры на д' свободный член первого урав нения (15) вместо - % 1 будет равен б , Поэтому простым умно жением (17) на —(tfVVJZ ) получим:
, , $ 1 ) |
V 2 sA J |
МА |
* ** |
s h * - i c h 9 - ^ - s h * ’ |
* |
Сводка формул для определения реакций во введенных в основ ную систему связей дана в табл. 1.
42. ПАКЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ БРУСЬЕВ, ИЗОГНУТЫЙ ДО ПОСТАНОВКИ СВЯЗЕЙ
Часто составной балке или пакету перед постановкой связей сдвига придают выгиб или строительный подъем. После освобож дения пакета связи сдвига оказываются напряженными, причем напряжения в них могут быть определены из уравнений составного стержня (5.17). Свободные члены этих уравнений вычисляются по формуле (5.13), где все N° следует положить равными нулю, а момент М—принять
М = J Z E J
ЗдесьуЭ - радиус дуги, по которой произведен выгиб стержня до постановки связей.
Таким образом, все A.Qравны
А.
LO
При пакете из одинаковых брусьев можно исходить из системы уравнений (16.3), в которой следует положить:
A N U o u - t z ,...,* .) ,
|
МрО _ |
E m ^ F c |
CBF |
^ |
t n v 2' f l m v z |
J3m r>z |
j d |
|
c z/ ( n j r zJ =<y.; |
J b ~ E F / $ . |
|
Граничные условия по концам будут
Г. ( ± 0 ^ 0 ,
где t — половина длины пакета.
Эскиз
< = M , V =
*»■
(Л
Торцы, закрепленные против сдвигов Свободные торцы
м, Ей30 |
Sh)> |
EQJQ |
д9 sh V |
о |
|
м. |
|
м< |
I |
Q |
|
__ •>? $h у* D j |
|
^cbV“ |
ts, |
|
|
|
|||||
l |
m s |
l |
m s |
|
|
|
|
|
|||
2S |
i5* |
*>x Ll)) |
>sh-» |
^U^-BhO) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
D |
V sh V |
2> |
f s h * |
D |
2?>> |
|
Z>^J |
|
Z>J>‘ |
(l-lch)* |
|
t2 |
25 |
|
25 |
25 |
|
|
7 * |
f |
m$2. |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+ |
sAV+1) |
+ |
5A |
+J3)>sh)>) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
V_ |
T |
|
|
D 7 Sh |
J> |
J Z5h )) |
|
|
D |
1 sh * |
|
v sh ) |
|
о |
U S, |
|
|
|
|
||||
г 2 s . |
|
г |
5 , |
|
|
t z |
S* |
||||
|
|
|
|
||||||||
Di> |
shV |
|
D |
У sh ^ |
D |
\>sh-)* |
Ъ |
J sh)> |
||||
l 2 |
$i |
|
7 |
|
|
~ S ~ U |
s 7 ~ |
t 3 |
s 3 |
|||
|
|
|
|
e h '> * - ) s h ') * - ^ /эЛ а »»; 5, |
з |
|
||||||
|
’ f i " ~ e |
T ’ |
s ^ 2 - 2 |
5 •*■4 |
|
|||||||
|
(J $ z 9 3 |
) |
|
, , |
|
t |
2^ |
2 |
|
|
|
|
|
S2 ^ \ — |
|
) |
|
v1+ |
|
|
|
||||
|
----- y ^ * » / 5Sh |
|
— “ — |
|
|
|
||||||
Рассмотрим частные случаи сплошных (без зазоров между
брусьями) пакетов, где |
|
|
с = А; |
r = h / V J I ; се —1Z/trt. |
|
При т —2 имеем одно уравнение |
|
|
f l T " = |
(<x.+2)T+fit = BTi-jM, |
(42.1) |
Если предварительный выгиб произведен по дуге круга, то ju -
— const f и
/ л |
/ |
ch А х |
CEF Л c h * x \ |
Т ~ 8 |
\ |
c h M |
|
'е |
^ f e T F « fe JJT W n . |
|
Максимальные напряжения на концах: |
|
|
W = |
т (±1)=± £ Ц А - Ш 1 = - C - j 2 j E t m |
= |
|
= o ,3 5 3 6 - ~ riJ E F th K T |
(42.2) |
При достаточно жестких связях, обычно применяемых в строи тельстве,iAyU можно считать равным единице и тогда
В случае пакета из трех брусьев имеем два уравнения:
(ос= 11/3=4):
J3T"=6T^JT2 +/»; 1
(42.3)
* Т г“ = 3 т<+ 6Тг ->/л. ]
Из условия симметрии относительно продольной оси пакета Складывая уравнения (3) и сокращая, получим
>37"= 9T+ff.
Сравнивая это уравнение с уравнением (1), найдем, что решение
(2)остается в силе при условии замены коэффициента 0,3536 =
—1/VfiT коэффициентом 0,333 — 1/^9". Таким образом, для обоих швов
Vm u . ^ 0 ,3 3 3 ( c / fi) \fT W F i
Не будем здесь приводить подробно решения для пакетов из большего числа брусьев, которые проводятся методом, описанным в пп. 21 и 16. Дадим лишь окончательный результат. Для пакета из четырех брусьев:
вкрайних швах
Тт а х ~
всредних швах
Т* а х =0' Ш ( с / / » Г Ш ' ,
Для пакета из пяти брусьев: в крайних швах
= 0,295 (c // » iJ E F >
в средних швах
r m a ^ a' 3 S B (c/f i ) f W F '
На рис. 68 приведено распределение сдвигающих напряжений по швам пакетов из двух, трех, четырех и пяти брусьев. Видим, что все Ртая близки друг к другу и располагаются вблизи значения
xm a x s 0 ,3 ( c / p ) 'T J W F ’
Можно предполагать, что эта формула будет приближенно спра ведлива для всех швов в случае любого числа брусьев в пакете.
Распределение сдвигающих напряжений по длине шва в рассмат риваемом случае начального изгиба в точности соответствует случаю загрузки составного стержня изгибающими моментами, приложенными по торцам. Эта нагрузка вызывает изгиб стержня, лишенного связей сдвига, по дуге круга, совпадающей с заданной выше линией начального искривления стержня. Напряжения от
Рис. 70
максимального значения Т (2) на концах стержня быстро убывают к середине длины, т.е. здесь имеют место резко выраженные пики
напряжений (рис. 69).
Распределение сдвигающих напряжений вдоль шва можно значи тельно улучшить, если придать начальный выгиб пакету не по дуге круга, а по кривой, кривизна которой уменьшается к концам стержня. Целесообразным будет изгиб по кривой, соответствующей действию сосредоточенной силы в середине пролета стержня, лишенного связей сдвига. Тогда в свободные члены Л-~ M°cLjZE'J следует поставить выражение М °, соответствующее изгибу балки сосредоточенным грузом, приложенным в середине пролета. Поэто му и распределение сдвигающих напряжений в связях, постав ленных после выгиба балки, соответствует распределению напря жений в балке, нагруженной сосредоточенным грузом (рис. 70). Таким образом, в связях сдвига предварительно изогнутой балки можно получить значительно более благоприятное распределение начальных усилий.
После раскружаливания балки наблюдается некоторое ее рас прямление. Можно подсчитать получаемое при этом изменение кри визны стержня. Ограничимся случаем кругового начального изгиба.
Согласно формуле (36.4), имеем при чистом изгибе |
|
||||||
|
■F |
|
|
|
chA 1-1 |
"I |
|
|
|
1Ео^о |
A z D c h A l |
) |
|
||
|
|
|
|
||||
Подставляя сюда значение М*= 7LE / р |
, получим выражение |
||||||
для величины уменьшения прогиба: |
|
|
|
||||
, ___ 1 |
( |
1г |
Z E J |
1 |
chXl-1 |
Z E J |
\ |
j } |
\ |
г |
* |
х2 |
сихг |
р |
/ ' |
Имея в виду, что начальная стрела прогиба |
i при относительно |
||||||
небольшом искривлении выражается формулой н |
|
||||||
можно определить прогиб, остающийся после раскружаливания:
г |
£ Е З \ ___1 C h A l-i ZED |
ост н ум 2р\* |
B0J0 ) JOA1 ChA I |
D |
Z E J |
|
2 |
+ |
2 |
|
F 3 |
X * |
A Z I Z |
A2 l 2 ch A l |
■) |
|
с 0 о |
|
|
|
|
43. СОСТАВНОЙ СТЕРЖЕНЬ С ГИБКИМ И ПОЯСАМ И
Положим в формуле (8.2) 21ЕЗ-*- О. Тогда первыми двумя членами в ней можнопренебречь но сравнению с третьим и считать:
2Г=сг/ £ Е й
У р ав н ен и е (34.7): |
|
Мм |
лг |
м 1 |
|
у - %иу |
Z E J |
• i * *0*0 |
при этом после умножения на ZEJ и пренебрежения малыми члена ми будет
U |
М |
м |
J L |
(43.1) |
У = |
I е |
|
Нс' |
|
|
|
|
Уравнение (1) совпадает с известным уравнением изгиба балки, учитывающим ’’влияние поперечной силы” , которое было дано Энгессером. Коэффициент $ с 2 может быть представлен в виде FC !<х, где F —площадь сечения балки (в данном случае сечения обоих поясов); 0 — модуль сдвига; сС —некоторое числовое значе ние, зависящее от формы поперечного сечения балки и вида связей сдвига. Например, в случае тонкой стенки, соединяющей пояса, из формулы (4.3) имеем:
с |
. |
1 |
_ |
1 |
_ |
i |
Г |
' |
4 с г |
~ d CTGc |
~ |
FG |
d CTc |
||
и ос равно отношению суммарной площади сечений поясов к пло щади сечения стенки dcjc.
При выводе уравнения Энгессера полный прогиб балки раз деляется на две части — прогиб y t , возникающий от продольных
деформаций волокон и подчиняющийся уравнению |
|
М /( Е З ) , |
(43-2) |
где М —изгибающий момент в балке; Е J —иэгибнам жесткость в сечении балки;
У2 - прогиб, возникающий вследствие сдвига в поперечном на
правлении и подчиняющийся уравнению. |
|
y ^ = « . 0 / O F . |
(43.3) |
|
Коэффициент *<. учитывает неравномерность распределения касательных напряж енкн в поперечном сечении балки.
Дифференцируя уравнение (3) и складывая с уравнением (2), получим уравнение Энгессера:
|
У* |
|
у " -- М/( |
|
|
|
(GF), |
<4 3 -4 > |
||
где 4 |
“ поперечная нагрузка. |
|
|
|
|
|
|
|||
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид |
|
|
||||||||
|
|
, |
Г |
|
Мм Ш |
М |
(i)\, |
(43.5) |
||
|
у - у(0)+у(0)х + / |
- - р у - |
+ 2 i -\(x - t)(U . |
|||||||
|
|
|
% |
I |
* о J o |
с |
* J |
|
||
|
Применив интегрирование по частям получим |
|
||||||||
^ |
ц |
|
|
|
|
|
X X |
|
|
|
J М (* }(х - ± ш =M °(t)(x-t)j +J М(ШЬ=-М°'(0)+М%)-ЩО), |
||||||||||
о |
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
тогда вместо (5) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
М °(х ) |
|
м °(0 ) |
. |
Г |
, |
м м |
\м „ ш |
|
|
|
У { х ) -- Т 7 - = У (0)— — |
+ |
У 0 ) - - Г Г * - Г Г Т < * ~ № . (43.6) |
|||||||
|
С2 $ |
|
Сг К |
|
L |
|
* |
t w o |
|
|
Найдем теперь сдвигающую силу (35.3) |
|
|
||||||||
|
|
|
т ~ { М * + т ; е э у и) / с |
|
||||||
при E E J - 0 |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Г = М°/с ; |
|
Г=М °/с = Q°/c, |
(43.7) |
||||
т.е. здесь вьшолняется условие пропорциональности сдвигов Г - 2'$ поперечной силе Q. Из (7) следует
М° — Тс
и решение (6) можно еще раз переписать в виде
Т(0) b « -W b fe f(х-Ш-Ь. (43.8)