книги / Составные стержни и пластинки
..pdfU 11 U 12 U 13 |
0,7071 |
|
0,3645 |
0,6059 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
LI21 |
LL2 2 |
яшт |
0 |
- |
0,8569 |
0,5156 |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
||
U 3 1 |
U 32 |
U 33 |
-0,7071 |
|
0,3645 |
0,6059 |
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, для четырехлистового пакета: |
|
||||||
|
7 |
(0,707iT1+0,364J Тгг 0,6059\ |
• |
||||
|
Т ~ {-06569 % + 05156 т3 )Л ?; |
|
|
||||
|
Т} =(-0,7071 Т |
+ 036957, t0 S S 9 f3 ) 'f^ |
; |
||||
|
f, |
- 0,7071 (Т ,- Т 3)/\Л ? ; |
|
|
|||
|
Tz |
= [0.36‘>5(T,+T3 )-a,a569T2 ] / f $ ; |
|
||||
|
f 3 = [0,6059 (T,+r3 )<-0,51S6rz ] / / t j ; |
|
|||||
|
/?,= 0,7071 ( А „ - А „ ) |
f t ; |
|
|
|||
|
Rz |
= l o . m s |
(A w t a 3 e)-OOSS9A20\ \ f ^ ; |
||||
|
R 3 » [0, GO59 <A10 1-A x ) - 0,5156 |
|
|||||
17.БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО СОСТАВЛЯЮЩИХ СТЕРЖНЕЙ
Втех случаях, когда число брусьев пакета щ стремится к беско
нечности, значение ^ (16.2) в уравнениях (16.3) стремится к нулю,
асами эти уравнения получают вид:
РТ ”= 2Т 1~Т2 +
=+2TZ ~T3 + А №г +f t ,
Эта система уравнений может быть представлена одним уравнением в конечных разностях:
Г. *Ay N° +М.
Символы Ау и означают здесь конечные разности первого и вто рого порядка, взятые по направлению у , перпендикулярному оси стержня. В пределе конечные разности переходят в дифференциалы й получается уравнение в частных производных:
д г Т |
д гТ |
с + с |
dfltQ |
+ /W. |
Л дх* |
д у г |
д у |
Подставляя сюда ( d — толщина пакета)
Jb = BF/4 = Edc/ $ ; T*s |
= t xy d , |
сокращая на е/с’н дифференцируя по х , прлучим:
E d |
d ztxy |
д2Рху _ |
i |
д г№ |
t_ д |
(17.1) |
|
$с |
дхг |
&уг |
dc |
дхду |
* |
||
|
Составной стержень при этом обращается в анизотропную пластин ку, имеющую продольный модуль упругости Е, модуль сдвига:
G * \ c / d |
(17-2) |
[ср. формулу (4.3) ], и, ввиду предположения об абсолютной жест кости поперечных связей, бесконечный модуль упругости в направ лении, перпендикулярном оси стержня.
Далее замечаем, что
д № / d x - - ) ( d c f |
(17.3) |
где X —объемная сила в направлении оси стержня.
Учитывая (2) и (3), запишем уравнение (1) в виде:
£_ д г Гху |
д Ъ х у |
дХ |
(17.4) |
G |
д у ^ |
- м ‘‘ 0. |
|
д у |
|
Получается дифференциальное уравнение для плоского напря женного состояния анизотропной пластинки с модулями упругос ти Ех —Е, Еу= оо и модулем сдвига G. 0 Величина /ч пропорциональна средней моментной нагрузке М /
/то, приходящейся на каждый стержень. Согласно (16.2):
f t - - к4 c/tnvz f t 1- - Q°c/mr\
Уравнение (4) можно получить методами теории упругости, для этого используем дифференциальное уравнение равновесия
д б л |
д Гх у |
+ Х = 0 |
(17.5) |
д* |
ду |
|
|
и уравнение совместности деформаций |
|
||
9 % . |
|
9 ' Г " _ |
|
в у * + |
д х г |
О хду ~ 0' |
( 17-6) |
Положив деформацию £у |
равной нулю и выразив деформации |
|||
и ^ через напряжения, получим вместо (6) |
|
|||
i |
дг6х |
1 |
- |
(17.7) |
Е |
д у * |
G |
d x t y |
|
(Коэффициент Пуассона, учитывая абсолютную жесткость попереч ных связей, считаем равным нулю)
Уравнение (5) продифференцируем два раза по у , а уравнение
(7) один раз по л :
(17.8)
дхду2 |
д у 3 |
д у г |
' д х д у 1 & д^ду |
Вычитая второе уравнение (8) из первого, получим
а3Г Х1/ |
В |
д 2Х |
+ |
е |
з * гду t дць |
и, интегрируя по у , придем к равенству
9Гху |
; |
В |
д £д.У , |
дх |
+f(x)=0, |
д у 2 |
' |
G |
д х 2 |
д у |
|
|
г |
|
т |
|
|
т.е. положив f ( *)=■-/*'(х) , к уравнению (4).
18. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ-РАСТЯЖЕНИЕ И ЧИСТЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ, СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
Эту задачу будем рассматривать в пределах малых гибкостей без учета дополнительных моментов, возникающих в результате
63
прогиба стержня. Для решения определим прежде всего свобод ный член уравнения (8.1):
N° N° М°с
4 = ~ ^ Г Ч г2 Г Е Э
(обозначения показаны на рис. 31, а). Так как значение А на зави сит от Л , то частное решение уравнения (8.1) будет Т0 = ~A/Z>а полное решение выразится формулой
Г= C ^sh A x |
А х - & / Г - |
(J8.1) |
Из условия симметрии заключаем, что член С1 sh Ах |
должен |
|
быть равен нулю. Остается решение |
|
|
Т = С г с Ь Л л - Д / г г |
(18.2) |
|
у кондов стержня суммарная сдвигающая сила Г равна нулю. Отсюда:
CzchXl-A/2T |
{*2 =А/(&сп АI). |
Таким образом, решение получает вид
^ |
А |
( |
c h Л х |
^ |
|
2Г |
\ |
Ch А I |
(18.3) |
|
V ' |
Сдвигающее напряжение Г будет
= A |
Ash Ах _ |
§ А |
s h А х |
(18.4) |
7Г |
C h A l |
A chAt |
||
X |
X I |
|
||
Как видим, эпюра скалывающих напряжений представляет собой гиперболическую синусоиду (рис. 31,6).
Максимальное скалывающее напряжение будет у концов стержня
Гт а . ^ ± ( 4 * / A ) - t h A l . |
(18.5) |
Сдвиг одного стержня относительно другого пропорционален сдвигающим напряжениям
X |
_ |
^ |
sh Хх |
4 |
” |
Л |
(18.6) |
ch ХЬ |
Сдвиги по шву не возникают, если 4 = 0. Пусть сила N° прило жена к первому стержню с эксцентриситетом е, по отношению к оси этого стержня, а сила N° приложена ко второму стержню с эксцентриситетом относительно оси второго стержня (рис. 32). Значение М° при этом
(18.7)
а значение А |
|
|
|
|
|
|
|
|
i k £ _ ) |
(18 |
.8) |
|
E1 F< |
|
ZED) |
||
|
|
|
|
||
Приравняв |
это выражение нулю, |
найдем |
условие отсутствия |
||
сдвигов по шву при внецентренном |
растяжении. При равенстве |
||||
Л — 0 эпюра |
продольных напряжений по |
высоте стержня |
не |
||
имеет скачка на линии, разделяющей плоскостной вполне подобна
эпюре напряжений |
в |
монолитном |
стержне. Составной стержень |
|
в этих случаях работает как не соединенный связями сдвига. |
||||
Напряжения в составном |
стержне находятся следующим обра |
|||
зом. |
|
|
|
|
Осевая сила в первом брусе |
f оЬД х |
|||
/V =/V |
- |
Т - Л / |
+ А |
|
|
о |
|
о |
|
1 1 |
|
z |
V ( ch\l |
|
во втором брусе |
|
|
|
|
А / ch Лх
ТГ\ch XI
Сдвигающие усилия создают дополнительный момент, изгибаю щий стержень. Суммарный изгибающий момент равен
М -М °~Т с= М°- |
Л с |
/ |
ch Ах |
|
2Г |
\ |
chA t ~ 1; |
||
|
и напряжения в первом и во втором брусьях определятся по фор мулам:
б , = /V, /F1 * MEi 2 / ( E E J ) ;
6 г = N Z >F2 + м в 2 Z / ( Z £ 3 ) ,
где z —расстояние от рассматриваемого волокна до центра тяжести сече ния соответствующего стержня.
Усилия в поперечных связях, согласно формуле (8 .5 ) :
s= Е^ —^ CL
П Е 1
Е ^ Ъ - Ez j z a, |
Ch Л х |
(18.9) |
|
Я Е Э |
c h M |
||
|
Эти усилия, действующие на всей длине стержня, 21, уравнове шиваются сосредоточенными силами в крайних поперечных свя
зях у концов стержня |
и SB, равными по величине: |
||
4 |
р |
E~J9Q,~£ J £ |
к д |
SA= SB^ - j J s d x - |
- g j j |
у - th ЛЬ |
|
Если Ez J2a = £ Д Ъ I например в случае равных брусьев, то s —0 и
О.
При положительном Л , если Ег Эиа у Е1э 1Ъ> усилия •$, положительны, а 5 —отрицательны. Это значит, что по всей длине шва действуют прижимающие усилия, кроме концов, где один стержень отрывается от другого (рис. 33, а). При Е ^ Ь > Ez D2a и положительном Л прижимающие усилия действуют по концам стержня; по всей же его длине действуют усилия, отрывающие один брус от другого (рис. 33, б).
Кроме сосредоточенных сил в точках А и В действуют сосредо точенные пары сил, перераспределяющие внешние моменты между обоими стержнями пропорционально их жесткостям. В действи тельности, возникновение сосредоточенных сил и пар сил в попе речных связях не возможно, так как поперечные связи всегда обладают в какой-то мере податливостью. Поэтому теория состав ных стержней с абсолютно жесткими поперечными связями не мо жет дать полностью адекватного решения о распределении усилий в поперечных связях, но тем не менее некоторое представление об
О)
Рис. 33
их работе получить можно. Далее дается точное решение для состав ного стержня, учитывающее податливость поперечных связей.
Если произведение Л * сравнительно велико (больше трех-че тырех), что может быть при малой податливости связей сдвига, когда значение ф велико, или при большом значении х , то тогда, рассматривая усилия в шве вблизи концов стержня, можно счи тать, что:
в ^Х- О ; s h Ах - O h A x - 0t5 ch*'} i h Ах -1.
Формулы, относящиеся к этому случаю принимают следующий, более простой вид:
_ А ( е н |
) |
А |
Г |
А(х-Щ. |
||
Т(о)=, |
А . |
|
|
|
|
|
2Г |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А |
е |
|
* W |
- L |
' |
|
|
Д |
' |
|||
s ( o ) = 0 ; |
|
|
|
|
||
Sa~ Sb ~ |
Д |
ZJEJ |
|
|||
В этом случае составной стержень в середине работает как монолитный, сдвиги же и “касательные напряжения от некоторого максимального значения на концах затухают к середине по зако ну показательной функции.
Выведенные формулы можно распространить на случай симмет ричного составного стержня из трех брусьев (рис. 34). При этом внешнюю нагрузку следует разлагать на симметричную и анти симметричную, как показано на рис. 34, и затем рассматривать эти два случая отдельно, принимая каждый раз свои значения гГи А у определенные по формулам (9.5).. Формулы (1) — (6 ) при этом остаются в силе и для симметричного поперечного сечения стержня из трех брусьев, причем, как всегда, следует полагать
*= v w
"к |
а/; |
11о |
|
Ыс |
% |
|
|
*5 |
К |
Обратно-симметричная нагрузка
Рис. 34
Для определения усилий в поперечных связях следует исходить из формул (9.6) и (9.7). При симметричной относительно продоль ной оси стержня нагрузке
S - |
а г ’= а м |
chXc* |
s —s %~ —^ -1 |
th \ l. |
|||
|
|
|
c h X c t ' |
a. |
Ъ |
x„ |
|
При антисимметричной: |
|
|
|
|
|||
|
|
5: JCfl |
he |
|
C h b g X |
|
|
|
|
ZLED |
Ц |
c h \ a t |
|
|
|
c |
_ о |
EK0 Khc- E c Vc a |
|
|
|
||
S* - S> - ------ |
z F 3 ------------ |
|
J T t h X ^ - |
|
|||
Все сказанное в п. 18 относится также и к случаю чистого изгиба составного стержня парами сил, приложенными к составляющим брусьям по концам. При этом значения N? принимаются равными нулю и учитывается только м °= 2:м°.
19. ПЕРЕДАЧА ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЙ С ОДНОГО СТЕРЖНЯ НА ДРУГОЙ
Рассмотрим некоторые случаи передачи продольного усилия с одного стержня на другой с помощью связей сдвига, которые встречаются при стыковании растянутых элементов конструкций. Так, при встречной передаче усилия с одного стержня на другой (рис. 35) продольное усилие считаем приложенным на обоих кон цах стыка по одной линии, параллельной оси стержня так, что для равновесия его не требуется дополнительных поперечных усилий, действующих в поперечном направлении.
Так как продольные силы и моменты в основной системе посто янны, то общее решение для суммарных сдвигающих усилий имеет тот же вид, что и для случая внецентренного сжатия —рас
тяжения, рассмотренного в п. 18: |
|
|
|
T ^ C j S h A x |
+ Сг с/}Л х - Л /Г - |
(19-0 |
|
Для определения значения |
А |
следует учесть все силы, действую |
|
щие слева от рассматриваемых сечений. Поэтому |
|
||
4 = |
Р |
Ре<с |
|
F, |
Z E J |
|
|
|
|
||
Индекс ’’л’1здесь означает, что расчет ведется с левого конца стыка.
Стык можно рассчитывать с другого конца, для чего следует повернуть рисунок в его плоскости на 180°, при этом получим другое значение А = Ап, равное
А п |
Р |
Ре г с |
|
^2. ^2. |
Z E J |
||
|
Видим, что
е , + е 2 = с |
и А я +Ап = - Р г г . |
В качестве граничных условий следует учесть значения суммар ной сдвигающей силы Т на концах стыка. Из условия равновесия верхнего бруса при расчете слева
Т ( О ) - 0 ; T ( L ) = P . |
(19.2) |
Подставив в эти условия выражение (1), получим уравнения для определения произвольных постоянных С1и Cz:
cz |
h r = °; |
CjShAL + Cz chALАл /г ~Р,
откуда
J W . „ |
P+(Aj,IV)(1-ch\L) |
~А„-АЛchAL |
LZ 2Г * |
ShAL |
T sh A L |
Таким образом, получим решение:
T=T s i h r ~ U -A n -A sC h lQ sh b x +A„ shA L *
*(ChAx-1)] = |
ShA (L -x) -Ал $!Л1* |
|
09.3) |
- ApshA x ] j |
|
r= T < = r l hXL |
t - &* ChA I L ~X ) ~ a n c h * x ~i- |
Если производить расчет с правого конца, то следует Ал заменить на Дп, а х на L -х , причем, естественно, получим то же выражение для т.
Эпюра сдвигаю щ их напряжений имеет вид гиперболической косинусоиды (см. рис. 35). Наибольшие скалывающие напряжения
возникают у концов стыка: |
|
||
|
Л |
(й „ + Л л сНМ.); |
|
Г(о>* - TTshAL |
|||
|
А |
(19.4) |
|
г (/.)=- |
(&я+АасЬМ.). |
||
iTsbAL |
|||
|
|
||