Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Составные стержни и пластинки

..pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
21.07 Mб
Скачать
☆

Усилия в поперечных связях, передающиеся на i -й стержень, вычислим, взяв вторую производную от М ?:

( М ? ) " = s ,_ , - s , =

 

 

„

ECJi

_ £с Di

• h

r . 'c . .

▼

J

S E J

J =I

i *

Здесь f y —поперечная нагрузка, приложенная к t -му стержню

п-и

полная поперечная нагрузка на весь составной стержень.

Итак, нами получена система уравнений для определения уси­

лии S- в швах: 4»

“ S, = ?* + <

Ъ1 “

Г

TJ cJ +$ К

$1 ~ S2~ 9

г*

 

* ^2^2 ~

Z E J

^ - * з = ^ з ^

л ^

^

- - I #

Ф , *J CJ + 9>> (6.3)

- ^ а Г г 0 £ , 5 V J J -

Отсюда легко получить все

—1,2,.. ,/*) последовательным

сложением уравнений

(3). Сложив первые £ уравнения этой систе­

мы, получим

 

 

 

 

 

- л =

23

 

£ - 1

+Т‘ь.

( £ г'.с .-ч ), (6-4>

V

С

L

к-1

к~1

1 ь

Z1EJ j s1 J j г

 

 

£ r * к

Заметим, что, если для определения усилий в связях сдвига было безразлично, как провести разделяющую плоскость в шве, поскольку в коэффициенты уравнений (16) входили лишь суммы отрезков а - + Ъ- = , то для вычисления усилий в поперечных связях надо знать точное положение разделяющей плоскости, кото­ рая должна пройти через точки, где моменты в поперечных связях равны нулю. Например, для стержня с перемычками или планками (см. рис. 16) разделяющая плоскость должна проходить через нулевые точки эпюры моментов на перемычках (см. рис. 17).

Усилия s- и s . ^ для t-го стержня являются внешними силами, поэтому они должны вместе с поперечной нагрузкой на данный

стержень у . удовлетворять условиям равновесия, а именно —ра­ венству нулю суммы проекций всех сил на ось у и равентсву ну­ лю суммы моментов всех сил, включая сдвигающие усилия Т- и К..,, в связях сдвига. Если эти условия равновесия не выполняют­ ся, то усилия в крайних поперечных связях данного стержня следу, ет считать сосредоточенными. Предполагается, что вследствие абсолютной жесткости поперечных связей, последние воспримут эти усилия без деформаций.

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ

После определения усилий в связях сдвига основная система, лишенная связей сдвига, рассчитывается без труда.

Осевая сила Л^-в каждом составляющем стержне

N. = N? ~ Т. + Т. „

Внутренний момент в том же стержне равен (6.2):

Л/. =

L L

/ £ Е З - к Г. с .

В.

О. /(Е Е .Э ).

С

j - j J J

L

С

Продольные напряжения определяются по формуле

(7.1)

(7.2)

 

6 ^ N L/ F . + M . z . U . ,

(7.3)

где

расстояние от центра тяжести сечения

г-го стержня до рассматрива­

емого волокна.

 

Эпюра продольных напряжений в составном стержне получа­ ется ступенчатой, но с одинаковым наклоном к вертикали во всех

стержнях (рис* 25). Скачки в

эпюре продольных напряжений в

каждом шве равны

Г -'/£ 4- .

касательные напряжения Тх и в

Для того чтобы

определить

L-м стержне, рассмотрим равновесие призмы длиной dx и высотой

z£ +

вырезанной из /-го стержня (рис. 26). Проектируя

все усилия на ось х , получим:

 

 

вк->r*v=- -аГJ дШ6*

 

и с учетом формулы (3)

*£~г

 

Г

/V/

М-

S ( z c)

= — ------

F (z■.)

+ t L-1

*У

B ( Z . )

где F(z^ ), S(T^)—площадь части сечения

t-ro стержня, расположен­

ная выше уровня z{ , и статический момент этой площади относи­

тельно центральной оси сечения

/-го стержня,&(г О—ширина сече­

ния на уровне z . .

*

Рис. 25

Рис. 26

С учетом (1) и (2) и, полагая

 

const, придем к равенству

 

 

 

Г

 

F~/

, u

\

<?ве4-Л*

г

-

«

 

t

L

1

 

 

 

 

 

'

7

F(zJ

 

z a p

 

 

 

Е,- J;

S ( z . )

 

_

1

 

+ E

r t. Ci.

L

L

 

 

 

 

 

 

Z E J

*

 

 

+ r - J '

 

J - 1

 

 

 

где

Q0~ M ° ’

 

 

 

 

 

 

 

8. СТЕРЖЕНЬ, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ

Если составной стержень состоит только из двух монолитных стержней, то вместо системы (5.18) будем иметь только одно уравнение

Г 7

$ = 7ГТ + А

(8.1)

Коэффициент Я и свободный член А здесь имеют значения:

(8.2)

Решение уравнения (1) можно записать в виде

о

где

произвольные постоянные и

 

X =

i s Г = (f/e, F, + 1/£2 F2 + c z / Z B 3 ) '

(8.4)

Усилия в поперечных связях, Передающиеся с одного стержня на другой, будут равны, согласно (6.4):

В частном случае стержня, симметричного относительно разде­ ляющей плоскости шва:

F ^ F Z '3 £ , = £ , = £ ;

 

а - Ъ - cfZ)

£ E J = 2 E J ;

Z

c z

. Д _ - K ° * NI __ M°C .

_

2.

Последняя формула показывает, что в случае симметричного стержня из двух брусьев или ветвей усилия в абсолютно жестких поперечных связях равны полуразности поперечных нагрузок, при­ ложенных к одному и другому брусу.

9. СТЕРЖЕНЬ ИЗ ТРЕХ БРУСЬЕВ, СИММЕТРИЧНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОДОЛЬНОЙ ОСИ

В этом случае (рис. 27) будем иметь два дифференциальных уравнения

(9.1)

"V

* ^22T2

J

Рис. 27

шW

ш Ш1

ЛЛА

где Л , , = A a “ ( E KFK) ' i + (Ec Fc) - U c * ( £ E 3 ) ;

= ^ , = - l E ' F j ' l - f l Z E F ) - *

(индексы к, с соответствуют крайнему и среднему брусьям). Обозначим:

 

(Г, + Тг)/г = Та ;

(Т,-Тг У2=Тс

 

 

 

(9.2)

Здесь

Та является антисимметричной частью совокупности усилий 7^ и 7Г, а

Г - симметричной.

 

 

 

 

 

 

 

Составим сумму и разность уравнений (1). С учетом

(2) по­

лучим

 

 

 

 

11Q+д 20

 

 

га

 

21

 

 

 

 

 

 

 

]■'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тс

= *

[<А, Г А » > ТС * —

 

г~Аг" J

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т1 = $ ( * а Та + А а >;

 

 

 

(9.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.4)

где

Эа. = А ч

+Аг = в - F .

+ ~ 2 е Т :

 

 

 

4* *

■Wг *>20___

NI

 

АГс

 

 

 

 

£к?К

 

E E J

!

(9-5)

 

 

 

4

%

 

• \ =/*!•' •

 

 

 

 

Е F

 

>\

1Ц6к>

 

 

7c = A i i - * 2 i = - £ с "к сс *с

 

 

 

Д*,-Д'22

Fх £i FC

Уравнение (3) относится к антисимметричной нагрузке, а уравнение (4) —к симметричной.

Усилия в поперечных связях при симметричной нагрузке

S ~~9K+r 'b,

(9.6)

при антисимметричной нагрузке

 

£ с 3с < 9 ^ г '*>-

Jx ( * c * z , h c ) *10

 

 

--------------------------------'

(9 Л )

где Лс—расстояние между разделяющими плоскостями швов.

10. РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ

Работа внутренних сил в упругом составном стержне склады­ вается из работы напряжений в составляющих брусьях и работы упругих связей сдвига. Приходящаяся на единицу длины работа напряжений в с-м стержне

 

А. =

0,5(М.2/ Е . J. + N * / E . F. ).

 

 

Подставляя сюда (7.2) и (7.1), находим

 

 

 

А -

-

 

 

д — '

J - T j j ■ — с ~ с +

)

_

2(ZLEJ)z

( № . Тг+Т* -гт; Г .

- 2N°T +ZNT' ).

с

L i t

L с

I с-1

Суммируя эту работу по всем стержням, получим

П+А

 

М

№

 

п+1

п

в. а. т.с.+

А= Ц А . -

 

(JZEdr

Е Е

£Tf

L

2ZEJ

 

 

 

 

i J J

 

п+1

/*.

л

 

 

 

>

п+1

/ y f

Z(Z E J ) 2-

П Е Е S . J . T . T C . C + H Е — к-

р

1 к=1 L

С j

« J *

2 t-1

EL FL

 

 

 

 

/>+*

 

2

 

 

1

Т 'Т ' а

 

Ч

 

 

Г,-_

 

г -

+ 42- с Е

 

Ч2г

ЙЕ

 

 

 

 

* с 1 с -1

£* F*

 

 

&

 

E;Fi

 

L

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л*-*»

/V/Т-

ht-1

v?7". .

 

 

 

 

 

- p

~ r ^

r + z J T Jf ±

 

 

 

 

 

i - 1

 

F t

 

£=1

E;

F'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‘ t

F

 

 

 

 

или» группируя члены по Т. ,

 

 

 

 

 

 

 

л

М ° г

£ ^

M vC j

 

 

1

г, п „ п

 

 

 

ZEJ Д

J

ZED +

ZZE3 Д

 

Д Д

Тк cj ск+

 

П+1

 

 

1

*

2

(

*

!

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ f - £

 

^

 

 

 

 

 

 

 

il El F;

 

ECt1Fi+r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L -

r

r .

(

 

 

 

<+7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

/ С, Т7

 

 

 

Мс'‘

1

 

п !

 

 

 

 

 

N°

\

1 Z E J

г i h £t Fi

 

h A Z £ J

£ c Fi

/

^

* £ Ti

(

Z E 3 +

B / F £

+ £it1 F.t1 У

 

 

+ ± £ ТМ - Т Г Г - ^

7 7 - 7

) + f

I

ri Tf

^{ ci c i.-1_______4___\

 

1

»

»

 

cCc- C,

 

V 27£ J

f • F[ ) * Z Д Д T£ T* Z E J

 

Воспользовавшись обозначениями (5.13) и (5.14), это выра­ жение можно переписать в виде:

А =

» М

 

, т , 2 +Лггт ^ - + а„„ г г) +

+

Ti rz

+ й 1, Т1 тз

+ й 1П т, г„ *

 

+ * 2 3 Г2 Тз+ *2< Т2 Т ^ ...* Л

т

т +

п - i

П

+ Д ^ Т + Д

20

Т + + Д

Т + Д

 

1й

1

 

 

2

 

по о

61оо *

 

где

 

 

 

 

 

П+1

 

 

 

Д „ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

£

 

 

 

 

00 Z Z E J

 

1Ei Fc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

A FT 0,5 JT

£

A v

T

.T. + £ Д

Т%+

£* 1

J*i

lJ

1

J £ * 1

LO *-

A

0 0

Работа упругих связей сдвига, приходящаяся на единицу длины стержня:

В = 0 5 £ ( т ' г/ $ . ) .

(10.1)

*

*

 

Суммарная работа внутренних сил в составном стержне

V =

( 10.2)

+ 2 & А 1аТ€ + 2Aoe)(tx.

При заданной внешней нагрузке эта работа должна иметь мини­ мальное значение. Условие минимума функционала (2) можно за­ писать в виде уравнений Эйлера—Пуассона:

дФ

d

дФ

(10.3)

дт-

d x

дт.т = 0 ( 1 = 1 , 2 , . . . , h ) ,

 

где Ф —подинтегральное выражение в (2 ).

Расшифровывая эти уравнения, получим

г Д A £j. TJ * 2А .0 - 2Т ."/$ ■ Ч =1,г,..., п )

т.е. уравнения (5.17), которые здесь можно считать выведенными другим способом.

11. СОБСТВЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ

Квадратичную форму

п

п

 

(1 U )

= TZ

г г

А £к Т1 Т к

 

£=1

к=1

 

 

с помощью линейного преобразования переменных 7- можно при­ вести к сумме квадратов. Поставим, кроме того, задачу, чтобы форма

л, z .

B,= z

т !

/*,.

i-1

L

1

преобразовалась в более простую форму

п л. , 2

(11.2)

В= Z т'

L-1

Очевидно, что для этого следует применить преобразование:

r .'t J Z f .';

T. = vs:?;.

( 1 1 . 3 )

t

L t

 

c

L

 

 

 

При этом квадратичная форма (1) получает вид

 

 

А

tL

ft

 

Л

Л

(11.4)

 

- 13

И

ос. .Г .

7". ,

где

7

*=■/

j=1

v

*

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с с . . = \ Г Г Г Д “

 

 

 

 

IJ

I

V

IJ

 

 

Найдем собственные векторы матрицы коэффициентов

, т.е.

такие векторы

и 1к ,

и2к , . . . ,и ак>которые линейным преобра­

зованием с коэффициентами^получают лишь одинаковый множи­

тель

Для всех своих составляющих

 

 

ос_ и л, ^ о с ^ и г>ь + ... + oc1/Tu hk = A lu

 

 

*11 1к

'12

2к

к “ 1к '

 

 

**-21 Utk * *22 а 2к *

* ^Zh Unk “ ^к U2k>

(П .5)

 

 

ь

 

—

 

 

*■„1 “ 1к *

“ «

+■■•+ Х п„ “ nk = *кl Uhk * /

 

Однородная система линейных уравнений (5) имеет отличные от

нуля решения при равенстве нулю определителя:

 

 

<*** - Л*

<*«

*1*

i

 

 

 

» ф

- К ** *00гп

= 0.

(П.6)

*П1

п2

••• <*■/*/* ~Лк

 

 

После раскрытия этого определителя получается алгебраическое уравнение «-ой степени относительно Ак, которое имеет я корней. Соответственно получим п систем уравнений (5) и я собствен­ ных векторов, являющихся решениями этих систем уравнений.

Для того чтобы решения для собственных векторов были опре­ деленными, поставим в дополнение каждой системе уравнений ус­ ловие нормированное™

S i t * . = 7

( к = 1 , 2 , . . ч п ) .

(11.7)

Покажем, что собственные векторы матрицы 1|ос-Л ||

обладают

свойствами ортогональности

 

п

и ; - 0

 

при

k * l .

(11.8)

 

12 и

 

Для этого выразим в

(8) значения

и .

через левые части уравне­

ний (5):

 

 

 

ik

 

 

П

П

“ ij Uj k

u - j r Ё Г и и и Л П Я )

53 и и - 22

г

ь=1 ik. it

{'г/

rl

л к

1 =1 J*1 lJ •**

lL

 

Затем проделаем такую же операцию с значениями и ,~L

 

Н и . . U . , =

£

 

‘ U j t

«

ik

=

 

i=1 i k i l

£=7

 

 

 

( 11.10)

1

п п

 

а

п h

 

 

 

 

 

 

= - г т ~ 5 3 12

о с и ~, и..

-

h \ f i i i T i

Jl i l jk

 

Л*

Ч Л

tk

 

 

Учитывая симметрию коэффициентов к-; -

oe.jt• , заключаем, что

равенство правых частей в

(9)

и (10), если

«

A *,

возмож­

но лишь при условии (8).

 

 

 

 

 

всех собствен­

Матрица (| и

Ц , образованная составляющими

ных векторов, благодаря

условиям

(7) и (8), является

ортого­

нальной матрицей.

 

_

 

 

 

 

 

 

Введем теперь переменные Т. по формулам:

 

 

 

 

М-21 TSL* ' ” 'h

 

1

Л

 

 

 

 

 

 

(11.11)

f z * и ,г t

* - *

, >

 

 

 

Т

 

 

+ и

hn

Т

 

 

 

К

 

 

 

п

 

 

 

Обратные зависимости имеют вид:

^ ~ ^

* и гл ^

• * U1n Т!г ?

 

% = и г1 Тг * игг Тг +.~ + и 2к Тц i

(11.12)

иПЛ

+ “ п г ^ +- + “ т Тп- J

 

Действительно, матрица преобразований (11) является обрат­ ной по отношению к матрице преобразований (12), так как произ­ ведение этих матриц равно единице;

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности