книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов

3.Бвлампиепа С. Б. Итерационны» метод вычисления напряжен- по-деформироваиного состояния эластомерной матрицы, содер­ жащей включении со слоями (плоская деформация) / / Структурная механика композиционных материалов. Свердловск, 1983. С. 74-70.

4.Мусхелишвилн И, И. Некоторые основные задачи математиче­ ской теории» упругости. М.: Наук», 1906. 707 с.

5.Новицкий И. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

6.Сикстков Л. Л. Итерационный метод решения задач о нагруже­ нии бесконечною пространства, содержащего сферические вклю­ чения / / Структурная механика исоднородЕПлх сред.

Сверялопех, 1982. С. 6155.

7.Халиел» Д., Нрсннср Г. Гидродинамика при малых числах Рей­ нольдса. М.; Мир, 1976. 630 с.

8.Око И. 8., Л ето» Л. ТЬс нейиГюп оГИю еццаИоп оГйпсаг с1о81ю1у Гог ап тПпке гедок сотапищ; 1луоярЬспса! шс]ия1ои8 / / 1п1. Л. 8о1к1з 5Кшс1. 1978. V. 14, N. 5. Р. 331-848.

9.Гахсп II. / / Лгк1V. Мн1. Л»1гон. Гув. 1025. V. 19Л, N. 13.

10.5то1ис1ю№ак1 М. / / Пи11. [тег. Асас), Рокшыве 8с1. Ы.1. 1911. V. 1Л. Р. 28.

ГЛАВА 5

ПЛОСКИЕ КОНТИНУАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

С.Е. Еилампиеьа, 13. В. Мошеп

яНесосдующий о .тше.нотига

да кс оходмт о этот дом. 71

1. Введение

Плоские системы с некоторым приближением можно рассматри­ вать как упрощенные и Сюлсе наглядные отображения простран­ ственных структур. IIрадиол л галось, что некоторые результаты, по­ лученные на плоско!! системе, можно будет распространить хоти бы шественмо и на пространственные структуры. По решение задач о плоской постаноихе представляет и самостоятельны И интерес.

Объектом исследовании была выбрана упругая пластина (матрнць), содержащая круглые включения. Отличительная особенность лдякоП системы состоит и том, что матрица и включения сильно различаются по жесткости (на три порядка и выше) при высоком содержании дисперсно*! фаты.

Цель исследования — установить связь структурных параметров с эффективным поведетгем системы. Теоретическое исследование т о й связи затруднено из-за сильной пульсации напряжений и де­ формаций на масштабном уровне структурных элементов. Предста­ влялось, что наиболее подходящим инструментом для решения зада­ чи может быть аппарат теории функций комнлесного переменного, дозволяющий с высокой аналитической точностью решать многие краевые задачи механики.

В данной главе рассматриваются особенности напряженно-де­ формированного состояния матрицы (включении предполагаются абсолютно жесткими) на масштабном уровне структурных элемен­ тов. Поэтому такие напряжения и деформации в дальнейшем име­ нуются структурными. Элементы системы являются изотропными Гуковыми материалами к характеризуются модулем Юига и коэф­ фициентом Пуассона. Решения отыскиваются в рамках теории ма­ л а деформаций. Методы теории комплексного переменного для реиения упругих задач подробно описаны в классическом труде ака­ демика Мусхслшивилн [51] и не нуждаются в пересказе. Поэтому

ниже приводятся только результаты вычислении, отдельные детали хохорых при необходимости поясняются текстом.

Во всех случаях матрица находится и состоянии плоской дефор­ мации.

Напряженно-деформированное состояние п системе и большин­ стве елучаео представляется только двумя показателями — средним напряжением (т0 как мерой гидростатической интенсивности напря­ женного состояния н максимальной главной деформацией етлп как мерой формоизменения. Эти дне величины представляются доста­ точными для прояснения анализа.

2, Обзор литературы

К настоящему яреме ни в теории композитных материалов офор­ милось несколько направлений (вариационное, методы регуляриза­ ции, статистическое, методы самосоглпсования), каждое из которых имеет своп преимущества и недостатки, даст хорошие результаты для определенного хлисса материалов и может оказаться неприемле­ мым для другого.

13 двадцатые годы нашего столетия были предприняты первые попытки связать структуру неоднородных систем с их свойствами. Фойхт [99) и Рейсс [98] предложили формулы для оценки макро скопичсскнх модулей упругости на основе правила смеси. Решение Фойхта и Рейсса образует пилку эффективных модулей упругости, ширина хоторой зависит ох различия в модулях составляющих эле­ ментов — она пропорциональна квадрату соотношения модулей эле­ ментов.

В шестидесятые годы широкое разы пне получили варка цкоиные методы, направленные на уточнение оценок эффективных характе­ ристик композитов. В работах Хашнна н Штрихмана [91-93], осно­ ванных на теории поляризации [94], Хилла [73-75, 95), применив­ шего теории об упрочнении [73], были уточнены границы для перхисго н нижнего значений эффективного модуля. Эти работы пока­ зали, что вариационный подход может быть практически полезным только п тех случаях, когда упругие спойстпа элементов композита достаточно близки друг другу. 13 системах, которые характсрязу-

к>гся очень резким различном в жесткостях составляющих элсмектоо(нме1111о эти системы ииляются объектом нашего исследопания), вилка становится весьма широкой, ч го исключает возможность на­ дежной оценки эффективного поведения композита.

[Ьлмвос коли честно исследований, обзор результатов которых иожно найти и (6, 7, И!, 20, 80, 83), посвящено статистическому под­ ходу в изучении связи между структурой и аффективными свой­ ствами. Наиболее полно статистические методы изложены в рабо­ тах Берпиа [80], Крешера [%, 97] к Ломакина [44-48]. Этот подход также разнит и работах Фокина и Шермергора [72], Хо|ютуиа [63, 70-79], Подкопа с соавторами (б, 21, 22], Станропа и Подкова [67], Соколкина и Ташкиноиа [66, 66], Нашит [17, 18]. Им представляет­ ся, что с1Л131» структуры с эффективными свойствами выражается посредством корреляционных фулкциП, отображающих геометриче­ скую и физическую гетерогенность к о м п о з и т н о й системы. Опреде­ ление этих функций для конкретных материален требует постанов­ ке специальных сложных экспериментов. Некоторые опытные данЕЫе можно паЛтм в статьях Станрона н Фоминой [08], Ван Фо Фы с соавторами [М, 15], а также в работе Францевича и Кариииоса (38, 30]. Ряд исследователей спои теоретические построения основывают на априорно иыбранпых корреляционных функциях [61, 67].

Применение статистических методов к системам с сильно вы­ раженной механической неоднородностью существенно усложняет структуру корреляционных функций из-за частой и значительной пульсации микроиапряженнН и мик родеформаций. Эю сдерживает применение статистических методов в работе с материалами рассма­ триваемого нами тина.

Известное распространение получил метод самосогласованна [34, 49,87, 74]. Сущность его в том, что композит предстянляют некото­ рой шаровой частицей, помещенной в однородную среду, обладаю­ щую эф(|)сктипным1и свойствами композита. Задача заключается и ■опеке таких эффективных характеристик среды, которые совпада­ ютсэффективными свойствами ячейки периодичности. Результаты, полученные при рпботс но этому методу, соответствуют результатам Эшелби [85] длк рассеянных шаровых частиц п изотропной матрице. Панкиным и Салгапиком [9, 10] предложен подход, обобщающий данные [85] па случай иолидиспсрсных структур в предположении,

что включения разных размеров не взаимодействуют друг с другом. Указанный метол результативен для случая малокопцентрироваиных гетерогенных сред и среды, свойства элементен которой разли­ чаются несущ,сствсино.

Метод регуляризации предполагает правильно построенные си­ стемы. Он позволяет получать точные распределении напряжении п деформаций внутри композита, которые используются для получсиия эффективных упругих модулей. Существует два метода ре­ шении задач с регулярной структурой. Один из них состоит л при­ менении двоякопериодических функций (10 18, 12, 20, АО, СО, 70], а другой — в использовании симметрии для спадении задач к краевой задаче теории упругости для конечной области (3, 4, 8, 37, 55, 56, 04,09], Применение дпояхонсриодических функций дли. композитен можно найти н [24, 25, 71, 11]. В [12, 13) Нан Фо Фы указал точные н приближенные выражения дли модулей сдинга, и также для других эффективных модулей. Распределение напряжений дастся в [14,35].

При помощи соображений симметрии задача о композите с регу­ лярной укладкой волокон сводится к задаче о четырехгранной или шестигранной призме, содержащей одно волокно, а затем задача о призме решается каким-либо численным методом. Бахвалов [1-4] и]>едлож11Л метод осреднения дифференциальных уравнений н частпых производных с быстро осциллирующими коэффициенты]!, ко­ торый был применен к задачам линейной теории упругости и вязко­ упругости регулярных структурно-неоднородных сред в работах Победри и его сотрудникол (23, 52, 57-59, 84]. Метод основан на асим­ птотическом разложении решения по малому параметру, рапному отношению размера ячейки периодичности к характерному размеру тела, и нспо;п>эуст идею периодичности искомых функций.

На регулярных моделях можно получить удоплстворигельные результаты по определению механических спойсти композита, гем не менее в ряде случаев указанная модель может оказаться непри­ емлемой. Это связало с тем, что регулярная модель недостаточно точно отражает реальную случайную микроструктуру композита.

Приведенный выше анализ возможностей различных теоретиче­ ских методов, устанавливающих связь структуры с эффективными свойствами, показывает, что для матер иалой исследуемого нами ти­ па (зернистых пысоконанолиенпых композитов с резко иыраженио11

нехапичеекоИ гетерогенностью) наиболее подходящими нам предста­ вляются аналитические подходы, применяемые при исследовании регулириых структур, в частности теории функций комплексного переменного, получившая широкое развитие и работах Григолюка н Фнлыитинского [27, 43]. Теоретическое исследование задачи, ко­ гда пластинка ослаблена одним или несколькими рядами отоерстиП, проведено Мпхлнным [51], Спинным [02|, Шерманом [81, 32]. Мно­ го сделано Космаднмиаиским и сю учениками при рсиншии задач о напряженном состоянии пластины, содержащей кругайые отверС1ЛН, заполненные упругими ядрами или подкрепленные упругими кольцами [39-42]. Структурные особснности реальных высохонанояненных эластомерных композитои характеризуются рядом факто­ ров, которые требуют учета при изучении зависимости эффектив­ ных свойств от структуры и которые до настоящего лрсмени нс бы­ ли предметом специального исследования: распределение включе­ ний но размерам; существование иокруг них поверхностных слосп с изменеиными но сравнению с матрицей свойствами; нерегулярный характер распределения включении в матрице и т.д. Чтобы учесть зге факторы, требуется дальнейшее развитие аналитического мето­ да, позволяющего получать точные значения структурных напряже­ ний и деформаций и области концентраторов напряжении. Попытка ответить иа эти вопросы была сделана в [28-Л2, 53], что также опи­ сано иданной главе.

3. Парные взаимодействия

3.1, Включения одинаковых размеров

Основной интерес антороп монографии сосредоточен на исел«до­ мнии шеоконаполцепных систем, IVкоторых включения располо­ жены достаточно близко друг к другу. Очспидно, что в таких усло­ виях парные взаимодействия, между соседними включениями могут играть важную роль [89], и поэтому представляется целесообразным специальное исследование парных взаимодействий.

В расчетах принимали .модуль упругости матрицы Еш = 1, ко­ эффициент Пуассона ут = 0,5, пключення — абсолютно жесткими (кодеформнруемммн) элементами системы.

6

Рас. 2. Распределение средних напряжении (в) и мпкеиыалышх глины* дсфо|М1цай (6) вокруг удаленного иклю'мшгя

где I — мера влиянии правого включения; (ос)ь — среднее напря­ жете при расстоянии между частицами 6; (<тв)оо — среднее напря­ женке при бесконечно удаленных друг от друга включениях.

Очевидно, что для очень удаленных включений / раоно нулю. На рис. 3 показана зависимость I от 6. Видно, что заметное возрастание чуоетангелмгостн происходит, когда промежуток между включениими становится менее 4 радиусов включения (8-10% наполнения). Аналогичные зависимости получаются и лри использовании других показателей напряженного пли деформированного состояния.

Расчеты показывают, что по мере сближения включений сужссменно изменяется ноле напряжений и деформаций в промежутке мгдду 1Н1Д1Н, возрастают средние напряжения и максимальные де­ формации (рис. 4 , 5), отрывные и сдвиговые контактные напряже­ ния. Промежуток между включениями становится участком матри­ цы, в котором происходит значительное накопление упругой энер­ гии. Па внешней части включений и вблизи пик поля напряжении и

.^формаций меняются слабее.

Сравним темпы возрастания максимальных средних напряжении и максимальных деформаций при уменьшении промежутки между