книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов

Пример решения задачи о нагружении двух сферических вклю­ чений показан на рис. 2. Для получения результата с точностью до 0,001 (точность удоалстворения граничных условий на поверхностях включений) совершалось 20 итераций. Разложение гармонических потенциалов осуществлялось но 25 сферическим функциям. Бремя счета задачи на персональном компьютере 1ВМ 486/1ЭХ2-66 соста­ вляло 4 с (без построения изолиний).

Время нахождения решения пропорционально произведению 12ВА/73 (*1»омс того требуется еще некоторое время па пересчет пра­ вых частей системы уравнений, пропорциональное 4Р2). Числом М обозначено выполненное число итераций; Р — количество сфериче­ ских функций в разложении гармонических потенциалов. В данной задаче получается очень удобная для вычислении ленточная ма­ трица с ширимой лепты, равной О. Ничего подобного нс происходит при решении задачи без иснол1*эоваимя итерационного алгоритма. При прямой реализация вычислений необходимо решить систему лилейных уравнений с полностью заполненной матрицей размером ВР х 8Р. На это затрачивается машинное лремя, пропорциональное произведению б Ш *3 (при условии, что задачу удастся решать без обменов).

Важное проймущесшо данного метода заключается в том, что при решении задачи со сферическими включениями не требуется хранить в машинной нам яти большом массив хоэффициентоо ма­ трицы системы линейных уравнений (нее величины вычисляются по известим формулам п момент, когда они нужны для осуще­ ствления нычислсннН), Однако метод становится расходящимся при приближении часгни наполнителя друг к другу. Можно достаточ­ но эффективно получить решение для значения зазора Н = 0, 1/21. Одппко для меньших исличи и з.чэора или алгоритм становится рас­ ходящимся, или требуется совершение большого числа итерации и «пользование большого числа членов гармонических рядов (алго­ ритм становится неэффективным).

4, Использование итерационного алгоритма при решении задам с помощью граничных интегральных уравнений

Возможно представление возмущении и, не только в виде рядоп по некоторым функциям, но и непосредственно через интегралы по поверхностям 5,- рассматриваемых включении. В частности, с помо­ щью метода граничных интегральных уравнении возмущения и,- в объемной задаче представляются равенствами

* которых тензоры О к задаются формулами [1, 2]

1

вМ 1 - и п-м* *

I Ж I I I I I I I I

Рис. 3. Гсол1С1|Ц1Ч плсамбли полостей и услампс нагружения, нспольтуемые для анализа эффсктинпосги итерационного алгоритма. Прямоугольником еко- л» центрального нклюпоиия обознамена область, в которой на ряс. '1 показаны

поля напряжении;

Время получения решения (при кусочко-лостаявпоВ аппрокси­ мации поверхностиих усилий и перемещений на элементах) должно было быть пропорционально произведению К М (Р + О)3. Время ре­ шения задачи "и лоб” без использования итерационного алгоритма пропорционально (УУР+С)3. Для нашего случая теоретический вы­ игрыш по времени должен был составить 181 раз. В реальности же эта величина оказались рапной Ы разу, так как формула дня оценки эффективности не учитывала. время подсчета вектора правой ча­ сти, производящегося и.т каждой итерации. Кроме того, применение нашего подхода позволило задействован, в Н 1 раз меньше компью­ терной памяти.

Полученные и результате счета распределения полей ннтемсивностиых (а) и гидростатических (б) напряжений и выделенной на рис. .1 области показаны на рис. 4. Полагалось, что па бесконеч-

где N — число включении. 1Ъэлгожиость представления искомого решения втаком виде следует нз фундаментального свойства линей­ ныхзадач: сумма частных решений уравнений равновесия является тожеих решением. Искомые перемещения к напряжения каждого из слагаемых целесообразно выразить через соответствующие каждому нэ них аналитические функции уч, «?,>, 0,>. Возмущения около Г-го ьключепия в связующем имеют вид

2я («1 + *и\) = 0 “ ^)р«- - .

|да д| — модуль сдвига материала включении; /1 — модуль сдвига матрицы; штрих у выражен иП у>ь ^»ч> Фи укпэыиаст па опера­ цию дифференцирования этих функции по комплексному числу ц ;

N

( 12)

где Л — число включений.

Рассмотрим т -с включение, тогда и выражении (12) необходимо перейти к координатам хт но нее* слагаемых. Подставляя (11) и ( 12) и (10) и прярашишая выражения при одинаковых степенях е1*, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ИД и В%\:

вычисления переполнений арифметического устройства при опреде­ лении напряжений около включений с радиусом, существенно отли­ чающимся от единичного:

«оИ '". + ( - п - 2)д;»+3)о- ^ ™ =