книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов

Р)

Так как описываемая идееи структурно-механическая модель со­ стоит из линейно-упругих элементен, то совершенно очевидно, НТО связь между эффективными напряжениями н эффект]Iлиыми де­ формациями также будет носить линейный характер, т. с. подчи­ няться закону Гука

(«)

где В<— эффективны» модуль Юнга композита, а и€— его э«|к}юктпвныН коэффициент Пуассона.

Для определения Ес и 1/с в макронэотроппом материале доста­ точно рассмотреть лишь его одноосное нагружение, которое модели­ ровалось в стержневой системе следующим образом.

Пусть растяжение данного мсзоэлсмснта производится вдоль оси у. Тогда внутри него около 3- и 4-П граней (перпендикулярных на­ правлению приложении нагрузки) следует выдели7ь два граничных слоя с толщиной 6$) рапной примерно 1 -г 2 характерным разме­ рам ССЭ. При задании граничных условий первого роди ко всем

узлам, попавшим в один из этих слоев, прикладываются силы, со­ впадающие но направлению с внешисН нормалью к соответствую­ щей поверхности ыезоэлемента. Пели же задаются граничные усло­ вии в т о р о г о рода, то каждому Хг-му узлу из выделенного приповерх­ ностного слоя придается перемещение и*, величина которого пря­ мо пропорциональна расстоянию от данной Зточкн до верхней тра­ пп. Тем самым в рассматриваемом объеме моделируется макроодпородаое поле растягивающих деформаций. Далее решается обычная конечно-элементная задача и отыскиваются перемещения лссх уз­ лов стержневой системы. Зная кч перемещения, можно определить продольные деформации ССЭ и возникающие л них усилии (но из­ вестным жесткостям). Этой информации уже вполне достаточно, чтобы с помощью формул (5)-(7) получить недостающие значения макронапряжений или макродеформаций.

Данный способ определения компонент тензоров <г^ и е можно существенно улучшить, если перейти от осреднения по границам меэоэлемсита к осреднению по его объему, так как это ношюл яет более полно учесть все особенности его структуры. Некоторое усложнение расчетной схемы вполне компенсируется повышением качества ре­ зультатов. Основная идея перехода к объемному осреднению состоит и следующем.

Внутри области проводится набор из н секущих плоскостей, пер­ пендикулярных оси внешнего нагружения (в нашем случае оси у) и отстоящих друг от друга на рапных расстояниях. Число п выбира­ ется таким образом, чтобы количество ССЭ » каждом из сечений не сильно отличалось от среднего значения. При расчете суммарного усилия, действующего па 1-И секущей плоскости, для всех пересека­ ющих ее стержневых структурных элементов вычисляются возни­ кающие в них силы реакции на приложенную внешнюю нагрузку, а также нх проекции па ось у — Р*к (& — помер ССЭ). Среднее нор­ мальное напряжение, действующее на *-й плоскости, определяется но формуле

г д е пи — число структурных элементов П Г-М СС1СШШ.

Перемещение 1-Л секущеК плоскости п направлении у определи стся как сроднее арифметическое смещений всех пц точек ее пере* сечения со ^своими” ССЭ — и^*:

Зная эти перемещения, можно найти соответствующую дес[>ормацлю объема, '.включенною между любыми |’-м (у? = соиз1) и /-м (у? = сопз1) ссчсниими, как

(10)

Если граничные услопин заданы о перемещениях, то выраже­ ние (10) преобразуется к пилу

(И)

так как при выбранной схеме нагружения верхняя грапь мезоэлемента (у2 = сопя1) остается неподоижш>11, а перемещается лтныппкняя граница структуры. Н этом случае осреднение но объему эле­ ментарной области ДУ наиболее естественно проиоднгь, рассчиты­ вая деформацию сечений относительно закрепленной поверхности. Сравнение результатов расчетов, полученных при задании граличпых условии как о перемещениях, так и а напряжениях, показало, что первый способ позволяет более надежно и с меньшими искажени­ ями моделировать макрооднеродное поле растягивающих деформа­ ции, что и послужило основанном для выбора се в качестве базовой.

Середина еще раз {ау>}' и {е^)* по леем п сечениям, получим искомые значения компонент и

структурно-механическая модель, чтобы с достаточной точностью отображать эффективное поведение композита и б то же время не вызывать чрезмерных затрат компьютерных ресурсов.

Вопрос о нредс1,аш1телыюст11 объема для плоских структурных моделей, предназначенных дли описания свойств однонаправленных волокнистых композитов со случаи ной укладкой армирующих эле­ ментов, исследовался Г. И. Хаитом. Он изучал статистические рас­ пределения усилий и деформации, возникающих в плоских стерж­ невых структурных элементах при одноосном макрорастиженин си­ стемы н плоскости, перпендикулярно)! к направлению волокон. С помощью этих распределений была произведена оценка представи­ тельного числа структурных элементов в зависимости от требуемой точности результатов при различных плотностях укладки волокон. Было установлено, что при концентрациях в пределах от 0,5 до 0,86 от предельно достижимой 90%-н надежность расчета эффективных упрул1х характеристик композита обеспечивается системами, содер­ жащими от 800 до 500 СОЭ, что соответствует примерно 150 Ч- 250 волокнам.

Чисто геометрические исследовании плотных и разреженных слу­ чайных структур (см. главу 2) показали, что для получении устой­ чивых структурных характеристик требуются ансамбли, состоящие примерно из 150 -г 200 частиц, независимо от того, плоские это си­ стемы (из дисков) и л и и ростр аистпенные (из сфер), Отсюда можно предположить, что полученные Хантом результаты применимы и в пространственном случае, т. е. для падежного определетгя эффек­ тивных упругих характеристик наполненного зернистого композита с точностью порядка 90% достаточно иметь структуры, содержащие примерно такое же количество включений. Увеличение возможных локальных конфигураций взаимного расположения частиц, вызы­ ваемое появлением третьего измерения, будет учтено соответствую­ щим ростом числа ССЭ. Например, в случайной пространственной системе из 200 частиц их будет уже порядка тысячи.

Для того чтобы исключить искажающее влияние граничных эф­ фектов, а также для большей надежности исследования велись на структурах, содержащих от 300 до 500 частиц (примерно 1500 *г 2500 ССЭ). Такие объемы оказались оптимальными для расчетов, ток КПК они обеспечивали вполне приемлемую точность результатов, н

и то же время их обработки была вполне ноенльна для ЭВМ тина БЭСМ-6,"Эльбрус" и даже для достаточно мощных персональных компьютеров класса ШМ 486/ОХ. На определение эффективного модуля зернистого композита с монофрак ционпьгм наполнением на оснопе случайной системы из 300 частиц требовалось около 40 -г 45 ш ш на БЭСМ-0 и примерно 7 -~8 мни на"Эльбрусе4 Гласные нычиелнтельные проблемы заключались п том, что при решении трехмер­ ной хопечно-элсмеитной стержневой задачи со случайным рисиоложепием узлов формируется очень широкая глобальная ленточная матрица жесткости. Хотя для се "сужения" и применялись раз­ личные алгоритмы оптимально!! перенумерации уэлон (в частности, хорошо зарекомендовал себя метод Катхллла-Млкки [16]), ширни* ленты нее равно оставалась настолько целика, что для прямого ре­ шения системы линейных уравнений потребовалось использование специально предназначенной для таких случаев программы [82].

Для проверки того, в какой мере высказанные выше предположе­ ния о представительности объема моделирующей композит стсржиспой системы соответствуют действительности, были проведены сле­ дующие исследования.

Считалось, что для одних н тех же заданных па нхоцс в модель структурных и механических параметров значение эффективного

мого испытания. Исходя нэ этого независимо друг от друга синтези­ ровалось л объемных случайных структур из 300 ±500 включении одинакового размера* имеющих одинаковую концентрацию и для ка­ ждой структуры определялось свое значение аффективного модуля Юнга. Далее производилась статистическая обработка полученных результатов, т. е. вычислялись статистические оценки математиче­ ского ожидания < >, дисперсии 0(Е*) и определялись соответ­ ствующие доверительные интервалы

Оценка точности вычисления эффективного модуля зернистого ком но-зита

Так как < Кс > представляет собой сумму из п независимых оди­ наково распределенных случайных пеличин Е1С1то его закон распре­ деления можно приближен по считать нормальным и в дальнейшем аосиользоватьел стандартными методиками! для определения дове­ рительных границ [8].

]) таблице приведены результаты оценки точности н статистиче­ ской надежности расчетов Ь'с для монодиспсрсных зернистых ком­ позитных систем с различными степенями наполнения.

1р — < Ес > ±е/г есть доверительный интервал, вычисленный че­ рез распределение Стыодента и определяющий ту область значений нодуля, для которой выполнялось бы условие

П № ~ < Е с >\ < ^ ) = /3,

где Д — доверительная вероятность, т. с. такая, при хоторой данное событие можно считать практически достоверным, ер — целилниа, значение которой находят из распределения Стыодента по извест­ ным /7, п, 0(@с). В пашем случае колипесню независимых испыта­ ний для каждоП концентрации бралось ранным 0,

Анализ полученных результатов показал, что раэб]юс значении вычисленных для различных реализаций СММК, имеющих оди­ наковые макростру ктурные характеристики, оказался весьма незна­ чительным. Наше предположение о том, что объемные случайные

структуры, содержащие порядка 300 частиц, являются вполне пред­ ставительными для расчета эффективных упругих характсриепц

лалолценных зернистых композитов, подтвердилось.

3.Исследование эффективных упругих свойств наполненных зернистых композитов в зависимости от их микроструктуры

3.1.Зависимость эф ф ективного модули Ю т а зернистого композита с моно* н бцднспсрспым наполнением от концентрации и ф ракционного состава. П оиск ОПТИМАЛЬНЫХ СООТПОШСНИЙ структурны х характеристик

Описанная выше структурно-механическая модель наполненного зернистого композита позволила в явном виде связать механическое поведение материала на макроуровне с особенностями его микро* структуры, 0 качестве одного из главных достигнутых результатов можно указать на полученные с помощью данного подхода зависи­ мости эффективного модуля Ю т а от концентрации наполнителя И его фракционного состава [11, 12]. При этом рассматривались си­ стемы как с монофрак ционноН, так н с бифрак цнонноН дисперсной фазой. Модуль Юпга наполнителя Ер в ДО1 раз превышал модуль матрицы Еть т. с. включения по отношению к связующему можно считать абсолютно жесткими и недеформируеммми в процессе на­ гружения. Так как наибольший интерес для пас представляли ком­ позиты с эластомерной матрицей, то было принято, что материалы обоих компонент являются несжимаемыми {ир = V^п = 0,5) и, сле­ довательно, эффективный коэффициент Пуассона г/с также должен быть равным 0,5 .

Напомним, что в качестве входных параметров СММК использо­ вались следующие структурные характеристики:

1)концентрация наполнителя *р

2)отношение радиусов частиц крупной Л* и мелкой Лм фракций

Ф = Л*/Ям;

Е./Е.

3) объемная доли крупной фракции Хк, равная отношению суммар­ ного объем» крупных включений к общему объему дисперсной фазы.

Для монофрак ционнмх структур \^ = ]а а. -ЛГК= 1 или 0 и варьи­ ровалась только степень наполнении

На рис. 5 представлены расчетные зависимости /?Г/Я,„ <я V и V* дли зернистых композитных систем с даухфракционнмм на­ полнением ири одниаконом соотношении объемных долей фракций Хи - 70%. Кроме того, штриховой и штрихпунктирной линиями показаны нижние грани цы оценок эффекта иного модуля компози­ тов с абсолютно жестким наполнением по Фойхту [78) н ХашинуШтрнкмэиу [68, 09] соотпетстаенно (как известно, верхней границы для таких систем по этим методикам не существует — она ровиа +оо).

Оценка но Фойхту, которая выводится исходя из предположения об однородном напряженной состоянии в к о м п о з и т н о й среде в соче­ тании с теоремой о минимуме дополнительной энергии, определяет­ ся для нашего случая следующим выражением:

Оценка нижней границы эффект ипиого модуля композита, дан­ ная Хашкиым, более точная, чем у ФоИхта. Ока также выводится на основании теоремы о минимуме дополнительной энергии в упругой