Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

22.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			Ууг			"ffl65lyz
			Угх			+ 2 (вц . •а,.) т
							l12' lZX'
	Число независимых коэффициентов будет равно Б.
	_Если в каждой точке тела все направления эквивалентны в отношения упругих
свойств, то тело является полностью симметричным и изотропным:
	8Х *	Яц ОТ* +		ацОу -f- olaoz;
	&д = й12ох -f- йцОу +				fliaorz;
	8z — a\i^x 4~ aiiQy 4" an az>								(1• 173)
	Уху —				2 (aa + au )xXÿ;
	Ууг =					2 (aii — ais) xyz*
	Vzx=						2 (an -	a13) xzx.
Сравнив (1.173) c			(1.146), можно выразить			аи и а12через упругие		постоянные изо
тропного тела		Е, G и		р:	{I	,
			си ~	1	{I	,	1
			си ~	~~£~î	ata — —	2 (<ru — Оц) = ~Q~•
Обобщенный закон Гука для анизотропного материала можно написать									в виде	[8 ,
	Ц* =		Еи*х 4~ ^ ia e.'/ 4~ Е хзег +			ЕиУху +	Е16у^2 + Е1вугХ;
	С у =		£ахед:4" E a t e v 4~ Е23ег 4- Е ы У Ху ~Ь Е ъ*Ууг ~i~ Е мУгх>						(1• 174)
	Угх ~		^ 61^	4 - Ева8*/ 4 - r esez 4 -		+ ЕйьУуг + ^««7»»
где	Е ц — модули упругости материала.
	С учетом того, что			Ец — Ец. число независимых			постоянных	в уравнении бу
дет	2 1 .						рассматриваемых		выше,	бу
	Для частных случаев анизотропных материалов,						рассматриваемых		выше,	бу
дем иметь матрицы, записанные с использованием модулей упругости, по структуре

полностью подобные записанным ранее (1.170),		(1.171), (1.172), (1.173) с использо
ванием	податливостей.	_	__
1.3.3.	Методы прогнозирования свойств.	V J	t i f i u	Г —
Строгое	определение модулей упругости

(или податливостей) анизотропных компо зиционных материалов является сложной - задачей, для решения которой используют различные подходы. Весьма часто исполь-

Л 1

-	у /
	■4	1	1
_______			1
	0,2	0,0

!L—

0,6£

Рис. 1.52. Приближенный состав композита, армированного волокном.

А — упрочняющая фаза; В ~ матричная фаза

Рис. 1.53. Зависимость модуля упругости от объемного содержания стекловолокна

Рис. 1.54. Расположение волокна (а) и основные напряжения волокон (б) в системе координат

зуют «правило смесей», теорию ячеек, теорию ортотропного упругого материала [112]. При использовании «правила смесей» предполагается идеальная связь на границах раздела матричной и дисперсной фаз и используется принцип аддитивности.

Для определения свойств композита (модуля упругости, предела прочности) используют зависимость

T =	+		0-175)
где Y — характеристика свойств	композита	в [целом; ХА, Хъ — характеристика
свойств фаз, составляющих композит; VA. у в — объемное содержание			1этих фаз.
Для композитов с параллельными связями		т* = 1, для композитов с последо
вательными связями т* — —1.	армированный волокном, можно		представить
Предположим, что композит,

(рис. 1.52) двумя слоями: армирующего материала и матричным слоем. Направление

действия нагрузки параллельно направлению волокна и деформации двух		слоев
одинаковы. Тогда
Ec = aEfVf + EmVm;	(1.176)
ас = $ofVf + (<тт Ц
где Ef и Ет — модули упругости первого рода для волокна и матрицы; Ес и		< с —
модуль упругости первого рода и разрушающее напряжение	для композита;	Of —

разрушающее напряжение для волокна; (сгт )е^ — напряжение в матрице, соответству

ющее разрушающей деформации волокна;		а и	Р — коэффициенты, зависящие от
расположения волокна (при однонаправленном упрочнении равны 1 ,0 ;				при ортого
нальном упрочнении равны примерно 0,5; при случайном расположении					волокна
равны	примерно 3/8).
На	рис. 1.53 показана зависимость	модуля	упругости композита	с	матрицей
из полиэфирной смолы от объемного содержания стекловолокна {Ef — 7				7 •	10* МПа;

Ет = 0,38 • 10* МПа) при а =» 1 (кривая 1) и а = 0,5 (кривая 2). Точки соответ ствуют экспериментальным данным.

В теории ячеек предполагается, что модуль упругости волокна гораздо больше

модуля упругости матрицы, в связи с чем напряжениями, действующими в		матрице,
можно пренебречь. Предполагается, что волокно является длинным и	непрерывным
и имеет прямолинейную форму; нагрузка действует только на концах	волокна; из-
гибной жесткостью волокна можно пренебречь.		1.54, а.
Расположение волокон в принятой системе координат показано на рис.

Обобщенный закон Гука в условиях плоского напряженного состояния будет*

иметь вид
		<ух = Еи вх +			EiaZy +		ху'
		аи = Е12е,х +			Е22*у +	ЕмУху'				(1.177)
		1 хд = Еи гх +			ЕцЪд +	ЕщлЪсу
Для	плоского напряженного состояния деформация е9							в	направлении волокон
будет		е0 = ех cos2 0 +		ev sin* 0 +			.	_
		е0 = ех cos2 0 +		ev sin* 0 +		Уху s,n ® cos
Приняв, что напряжения в волокне пропорциональны деформации,										а распре-
деление углов		0 соответствует закону		я	/ (0) d9 =		1 и что составляющие			по х н у
деление углов		0 соответствует закону			/ (0) d9 =		1 и что составляющие			по х н у
функции	распределения ориентации			будут равны			/ (0 ) cos 0 ,		/ (0 ) sin 0 ,	получим
		я
	ах =	EfVf J (в* cos2 0 +	8*, sin2 0 + y x„sin 0 cos 0) cos2 0/ (0) d9;
		0
		Л
	Oy = E fV f\ (ex cos2 0 +		4y sin2 0 + yxy sin 0 cos 0) sin2 0/ (0) d6.

crz = EfVf f (еж cos2 0 + By sin2 0 + yxy sin 0 cos 0) sin 0 cos 0/ (0) d0 . ( 1.178)

Сравнение записей (1.177) и (1.178) дает следующие выражения для модулей упру гости;

					л
			Ец =		EfVf J	cos* 0 / ( 0 ) %
					О
					л
		Еы =		EfVf f cos2 0 sin 0/ (0) dB\
					6
					л
		Et2 =			EfVf Г sin4 0/ (0) d0;			(1.179)
					9
					л
		Eie =		EfVf \ sin3 0 cos 0/ (0) d0;
					0
					л
		Eu =		EfVf f cos2 0 sin2 0/ (0) d0.
					Ô
Приняв	f (0) = ~	r 0 <	0 <		я, получим Eu ~ E23=			3/8 EfVf; En = jEfVr,
Е1в = Егв =	0 . Модуль упругости первого рода						Ес, модуль упругости второго рода
Ос и коэффициент Пуассона			цс для рассматриваемого композита буду*
		Ес = Ег1 — Е\2!Ег%=					IfîlEfVf;
	00 =	Е „ =		1/8В?г.		Ис =	- щ - - 1 -	- f .

Для ортотропного композита	его характеристическими осями			являются	оси
L и Т (рис. 1.54 б). Направление	Т составляет с осью х угол 0. Для			рассматривае
мого случая зависимости между напряжениями			и деформациями будут иметь		вид
[172]:	oL		от
	oL		от
eL =	~~в[~ ~	VTL	»
гТ ~	llL7	<*L	°Т
гТ ~	llL7	—	Ет i

УL T ~ X L T !® L T >

где nTL, pLr — коэффициенты Пуассона,

Среди пяти постоянных упругости (EL, Ет, GLT, fiLT, цТ1) независимыми явля-

ются1четыре, так как на основе теоремы о взаимности		Вели
чины El , Ет и \iLT могут быть найдены при проведении испытаний	на	растяже
ние в направлениях L nT . Модуль упругости GLT может быть найден	с	исполь

зованием модуля упругости £ 45о, соответствующего направлению 46° по формуле

1	4____/ 1	! _	2V‘LT	\
@LT '	Е45в у Е{.	E7	EL	J *

Модуль упругости в произвольном направлении может быть найден с исполь

зованием зависимости
1	/4	т4	/ 1	2аLT \
■ в Г = _ £ Г + _ ^ ' + ' ‘” , ("5 1 Г _ _ Ё г ) ' = о м в ’ m = s i n e -
В случае,	если справедливо правило смесей, рассмотренное выше, то вели
чина EL может быть рассчитана по			формуле	EL =	aEfVf +	Em (1 — Vf). Если
проводить вычисления для случая последовательной					связи и	волокна матрицы,
то Ет можно представить в виде

р_________ EfEm_________

EmVf + Ef { \ - V f ) *

Для расчета коэффициента Пуассона можно воспользоваться зависимостью [223]:

___________ Ит — {2 (Ит — И;) (1 — Ит) SfVf)

PL T — Em (1 - p f) (1 - pf - 2 ^ ) + Ef {Vf (1 - цт - 2yQ + ( И - »т)}

где pm — коэффициент Пуассона матрицы; |ijp — коэффициент Пуассона волокна.

1.4. Концентрация напряжений

материалов,	Большое влияние на разрушение, особенно хрупких			металлов и
	подвергающихся воздействию повторно-переменных		нагрузок,		ока
зывает концентрация напряжений. Под концентрацией напряжений				подразумева
ется явление возникновения местных напряжений вблизи		отверстий, галтелей,
мест изменения ширины или диаметра детали и т. п.			концентратором.
Причина, вызвавшая концентрацию напряжений, • называется
1.4.1.	Общие сведения. Степень концентрации напряжений			определяется при
упругом деформировании теоретическим коэффициентом концентрации				напряжений,
равным отношению максимальных напряжений, вызванных		концентрацией,			к но
минальным	напряжениям:

«о = °т«х/ °Н «т = ‘W * 8-

(! • 18°)

♦

ТШ^гфшг

i W

п \* /п

s H

■ f

Рис. 1.55. Схемы концентраций напряжений

На рис. 1.55, а показана картина распределения напряжений в тонкой

пластинке

подвергающейся действию равномерно

распределенного

растягивающего

напряже

ния

а, с небольшим круглым отверстием. Как видно из рис.

1.55, а, в точках

п будет

высокая

концентрация растягивающих напряжений. Как показывает точное

реше

ние

[156],

теоретический коэффициент концентрации

напряжений

будет равен 3.

В точках т будут сжимающие напряжения, равные

о.

Если пластинку подвергать не растяжению, а сжатию (рис. 1.55, б) то в точ

ках п будут сжимающие напряжения, равные За, a в

точках т — растягивающие

равные

а. При таком нагружении хрупких материалов, например стекла, трещины

появятся в точках

т (рис. 1.55, в). Картину

распределения напряжений

около от

верстия

при кручении тонкостенного образца (рис. 1.55, г) можно получить наложе

нием рассмотренной картины напряжений при растяжении и сжатии.

Теоретический,

коэффициент концентрации

напряжений

будет равен 4. Помимо теоретического коэф

фициента концентрации напряжений используется эффективный коэффициент кон центрации напряжений, равный отношению напряжения, при котором достигается предельное состояние гладкого образца (предел прочности, предел выносливости,

предел длительной прочности и т. д.) агл, тгл, к соответствующему		номинальному на
пряжению образца с концентратором напряжения	т":
Ко = агл/<н> ^Чг==тгл/тн		(1.181)

Сравнение теоретического и эффективного коэффициентов концетрации напря жений позволяет определить степень чувствительности материала (в конкретных условиях испытаний) к концентрации напряжений. Наиболее часто для оценки чувствительности материала к концентрации напряжений используют коэффициент чувствительности к концентрации напряжений

Ка - 1

Если q* — 0, материал не чувствителен к концентрации напряжений, если эффек тивный коэффициент концентрации напряжений равен теоретическому, то q* = I. При экспериментальных исследованиях в первую очередь при испытаниях на уста лость, иногда значения q* > I. Очевидно, это связано с внесением повреждений в материал при изготовлении концентратора напряжений или с наведением в зоне концентратора напряжений больших остаточных напряжений растяжения. Для пластичных материалов при статическом или малоцикловом нагружении значение

может быть меньше единицы (т. е. q* < 0). Это обычно объясняется условиями

деформирования материала в вершине концентратора при наличии сложного напря женного состояния и значительных градиентов напряжений.

Концентрация напряжений,

помимо возрастания

местных

напряжений,

часто

•приводит к возникновению плоского или объемного

напряженного состояния в об

ласти концентратора, что вносит свои особенности в закономерности влияния

кон

центратора

напряжений

на предельное состояние.

1.4.2.

Особенности распределения напряжений около концентратора. Наиболее

подробно

распределение напряжений в окрестностях

концентратора напряжений в

упругой

постановке исследовал

Г. Нейбер

[23, 103]. Им был

получен ряд анали

тических

решений для случаев, когда профиль надреза

может быть описан в криво

линейных (гиперболических или эллиптических) координатах

выполнен

детальный

анализ фундаментальных

закономерностей

распределения

местных

напряжений

в зонах

концентрации напряжений.

гиперболической формы

Распределение напряжений вблизи глубокого надреза

определяется при плоском напряженном состоянии в системе координат х = sh и cos v,

у = sh и sin v, в которой

линии

и — const

являются

эллипсами,

линии

v —

= const — гиперболами.

При растяжении в направлении х (рис. 1.56, а). Нейбер получил следующее

распределение напряжений:
		ои— (Ф/Л2) ch и cos v [2 -+* (cos2 и0 — cos8 v)/h2];
		av = (Ф/ft2) ch и cos ь (cos2 v — cos8 o0);						( 1.183)
		%ua = (ф/M) sh и sin v (cos2 v0— cos8 o),
где
		Ф =	o“ [sin vaf(v0 + sin v0cos u0)];
			h2в sh8 и -J- cos8 v.
Номинальное		напряжение равно		нормальному		растягивающему напряжению
в минимальном поперечном			сечении	он = P/2a*t,		где	Р — нагрузка;	2 а* —
расстояние между вершинами боковых надрезов;					t — толщина пластины.
Для рассматриваемого случая теоретический коэффициент концентрации напря
жений	будет
I	а с =	m a x /ан =		2 (д*/р +	1) (а*/Р) 1/2			(1.184)
		m a x /ан =	(а*/р - f	1) arctg (а*/р) 1/2 4			- (а*/р) ,/2	(1.184)
			(а*/р - f	1) arctg (а*/р) 1/2 4			- (а*/р) ,/2
Таким образом, коэффициент концентрации					напряжений для глубокого гипер
болического надреза является функцией только					а*1р, где		р — радиус в вершине
надреза	а*/р = tg2o0.							от вер
Напряжение		ау имеет максимальное значение на некотором расстоянии						от вер

шины надреза при. у — а*{ 1 — 1(а*/р — 2 )/(а*/р— l)]1^2}. В толстых образцах может иметь место напряжение сг2.

Рис. 1.Б6. Система координат и распределение напряжений при растяжении плас тины (а) с глубоким гиперболическим надрезом и круглого образца (б) с глубоким кольцевым гиперболическим надрезом

Из уравнений	(1.183)		можно получить более простое уравнение для распреде
ления напряжений	ох по сечению
	.	„	% { 2	+ ( g * / P ) ( i - ( y / g * ) 2))
	Qx°	~	2 { l +	(a * /p )[l- (ÿ /« * )8I}3/2 ‘	(1Л85)

Из (1.185) следует, что ох = охтах при у = а*. Относительный градиент напряже

ний г] будет

1	дсх		2а„
Т\| = •	ày	■ = ± -	(1.186)
ан	ày

Коэффициент концентрации осевых напряжений ах для глубокого кольцевого гиперболического надреза при условии, что коэффициент Пуассона равен 0,3, вы числяется по формуле (рис. 1.56, б)

(fl*/p) V fl'Vp + 1 +	0,8Д*/Р + 1.3	[К а*1р + 1 4 - 1 ]
а*/Р +	0,6 Y a*Ip -{- 1	(1.187)
а*/Р +	0,6 Y a*Ip -{- 1	-f- 2

Для острых кольцевых надрезов (с*/р > 1) формула (1.187) дает aa ^Y a * /p . Окружные напряжения а0 в этом случае будут максимальными также у вер

шины надреза, и теоретический коэффициент концентрации (р = 0,3) будет

(0,6 У а*/р + 1 + 0.5J.

* /р + 0 ,б / с * / р + 1 + 2 Распределение напряжений ох, о0 и ог в глубокой гиперболической кольцевой

выточке показано на рис. 1.56, б. Градиент напряжений ох в случае круговой вы» 'точки будет больше, чем для плоского надреза.

Для плоского надреза (упрощенное выражение (1.185)) ох/он = аа (р (р + 4р)]1/2. Для кольцевого надреза (упрощенное выражение)

0x10я = а ар/(р + 2у).

На основе развитой им теории Нейбер рассмотрел широкий круг, задач концен трации напряжений для растяжения, кручения и' изгиба.

Теоретический коэффициент концентрации напряжений для надреза конечной глубины определяется в этом случае по формуле

1 +	(“ s —	11	О
“ а== [(ад -	l)* +		(1.188)
		(as - l ) 2l1/2 ’

где aD — коэффициент концентрации напряжений для глубоких надрезов, который определяется*отношением а*/р; as — коэффициент концентрации напряжений для

мелкого надреза, который определяется отношением t*lp,	где t* — глубина надреза.
Полученные результаты приведены в виде номограмм	(рис. 1.57), позволяющих
определить значение а 0 для концентраторов различной	геометрии при различных

видах нагружения, систематизация которых дана в табл. 1.17 (143]. Приведенные ре зультаты справедливы для гиперболических профилей надреза и эллиптических профилей отверстий или близких к ннм.

Рис. 1.57, б является дополнением к рис. 1.57, а для подсчета теоретических коэффициентов концентрации напряжений при наличии осевых отверстий. Правила пользования монограммами можно проиллюстрировать следующим примерами [143].

Рассмотрим двухсторонний надрез на пластине при	изгибе	при р =	2,5 мм, t* —
— 15 мм, а = 95 мм. Тогда У t/p — 2,45, Y a/p =	6,16.	По табл.	1.17 находим,

что для рассматриваемого случая для V /Vр следует воспользоваться рядом чисел

Ъ, а, для Y о*/р — кривой 2. На рис. 1.5, а от абсциссы !• а*/о — 6,16 проводим вертикаль до пересечения с кривой 2, затем из точки пересечения проводим гори-

3—1414

Рис. 1.57, Номограмма для определения теоретического коэффициента концентра ции напряжений

зонталь до пересечения с осью ординат. Эту точку соединяем с точкой Y t*fp — = 2,45 по ряду чисел Ь. Эта прямая касается круга с искомым коэффициентом кон центрации напряжений а с’ = 4,28.

Для внешней выточки на вале с осевым отверстием при изгибе при р = 4 мм, а* =

— 13 мм, t* = 36 мм, г = 25 мм имеем значения t*/p ~ 3, Y&*lp — 1.80, V г/р —

— 2,50. По рассмотренному выше способу при Y **/р =	3 (ряд чисел Ь) и У а*/р = 1,8
(кривая 5) по рис. 1.5, а находим аа = 3,60. Теперь	переходим к рис. 1.57, б. От

точки Y rip *= 2,50 проводим вертикаль до пересечения с кривой 2; от точки пере сечения движемся по горизонтали до пересечения с Осью ординат. Эту точку

Т а б л и ц а 1.17. Конструктивные случаи для определения теоретических коэффициентов концентрации аа и а т по диаграммам Нейбера

Вид выточек

ESS3H

		к	с& З	ПараметрV r/p	вспомогательдля коэффициентовных концентрации
		Е 2	с& З	ПараметрV r/p	вспомогательдля коэффициентовных концентрации
		§	■а
		IS3	■а
Вид на	Формула номи	Сь Д	а1
Вид на	Формула номи	н ш	а1
гружения	нальных напря	2 к	&&»
гружения	нальных напря	2 а	ï t; о
	жений	«а 2	2^о
		«3	£*« н
		Ряд	Кривая
		чисел	на рис.		1.57

Растя

жение

Изгиб

Растя

жение

Изгиб

Растя

жение

Изгиб

Растя

жение

Изгиб

Кручение

Растя

жение

Изгиб

Кручение

2da*

3М, Ma*2

da*

6МЯ

da*2

2da*

3MHi 2d (й3 - P]

----7? па*2

«а

па*л

2МК

па*2

я (га — с*)

4Л1иг я (г* — с4)

2Мкг

п (г*— с*)

ЬI

Ь2

b 3

b 4

ifh	*
	и

a fi

ь7

а9

b 0 1

b 8 2

Вид выточек

		к	Параметрy f а/р	глубокихдля выточек	ПараметрVWp вспомогательдля коэффициентеных концентрации
		С s	Параметрy f а/р	глубокихдля выточек	ПараметрVWp вспомогательдля коэффициентеных концентрации
		s
		\| а а
		1>- 0>
		I4-*э»
		г н
	формула но	О.Я
Вид на-	формула но	н и
Вид на-	минальных	2Î *
гружения	напряжений'	£ я
гружения	напряжений'	а ?
		д 3
		Ряд	1	Кривая
		чисел	1	на рис. 1.57

Растя	Р	b	5	5
жение	Я(6а — Га)	b	5	5
жение	Я(6а — Га)
Изгиб	4МИг	ъ	5	6
	я (6 4 — г4)
Кручение	2Мкг	а	10	8
Кручение	я (6 4 — г4)	а	10	8
	я (6 4 — г4)

пересечения соединяем с точкой (аа)г=ов = 3,60, лежащей на соответствующей оси. Круг, которого касается эта прямая, дает искомый а0 = 2,08.

В ряде работ [40, 208] сравнивали теоретические коэффициенты концентрации напряжений, подсчитанные по формулам Нейбера, с коэффициентами, найденными методами фотоупругости, и для некоторых случаев были установлены отклонения до 10 %. В ряде случаев для определения теоретических коэффициентов концентра

ции напряжений возможно использование			упрощенных	зависимостей [170, 214].
	При растяжении пластинки с эллиптическим отверстием при действии силы
перпендикулярно к большой оси а 0 =		1 +	2a*lb, где	2а* и 26 — соответственно
размеры большой и малой осей. Это выражение можно записать в виде
	« 0 = 1 + 2 YUFJp,			(1.189)
где	р — минимальный радиус кривизны эллипса.
	Для плоского стержня с односторонним неглубоким надрезом при растяжении
	а 0 =	1 + 2 Yt*Jp.		(1.190)
	Для вала с мелкой круговой выточкой
	«х =	1 +	VâFJp,	(1.191)
где	k уменьшается от 1 до 1/2 по мере уширения выточки.
	Для полукруглой выточки (например, профиль основания шлиц в валу)
	<хт = 1 + 1 / 2 у ^ 7 р .			(1.192)
	Весьма подробные графики и таблицы для теоретических коэффициентов кон

центрации напряжений для различных конфигураций деталей и видов нагружения даны в работах [21, 140, 214].

Наряду с расчетными методами для определения теоретических коэффициентов концентрации напряжений используются экспериментальные методы (фотоупругос ти, тензометров, муара и др.) [191].

Весьма важной характеристикой напряженного состояния в концентраторе на пряжения является градиент первого главного напряжения: Формулы для подсчета

относительных градиентов г) напряжений для различных случаев даны в табл. 1.18 [143].

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги