Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

22.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 294 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

а Р

'	г	4 -
z é		f t
г		f t
	М„=Ра
....... $	Ь	к
tÿ 1
W	.	...

Рис. 1.12. Схема нагружения и эпюры Ми и Q при изгибе двумя (а) и одной (<?}■ сосредоточенными силами

жительна, если ее векторы стремятся вращать части рассеченной балки по часовой стрелке.

Для выявления максимально напряженных сечений образца, т. е. сечений с мак симальными изгибающими моментами и поперечными силами, строятся эпюры изги

бающих	моментов и поперечных сил. Правила построения эпюр подробно изложены
в курсах	сопротивления материалов.	н
Следует учитывать, чго набор схем нагружения образцов при испытаниях мате
риалов на изгиб в лабораторных условиях невелик		и определение мест макси

мальных изгибающих моментов и поперечных сил не вызывает больших трудностей. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для приведенных схем нагружения

показаны на рис. 1.12. Особенностью схемы испытаний, приведенной на рис.		1.12, б,
является то, что в сечениях испытываемого образца на рабочем участке	изгибающий
момент остается постоянным, а перерезывающая сила равна нулю, т. е.	на	рабочем

участке имеет M ecto чистый изгиб. Внешняя нагрузка, которой в данном случае яв ляется изгибающий момент, уравновешивается системой внутренних сил, какими являются нормальные напряжения, действующие по этим сечениям. При плоском изгибе можно написать следующую систему уравнений равновесия:

$ o ,iF = 0 ,		(1.30)
F
j* aptlF =	О,	(1.31)
F
\ atydF =	Af„.	(1.32)
F

В отличие от растяжения, при изгибе напряжения по сечению распределены нерав номерно, т. е. имеет место неоднородное напряженное состояние. Картина распре деления этих напряжений подробно рассматривается в курсах сопротивления мате риалов [12, 118, 139], откуда можно сделать следующие основные выводы.

1.При чистом изгибе образца поперечные сечения остаются плоскими и повора чиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси образца.

2.В изгибаемом образце можно выделить слой, который не меняет своей длины при изгибе и называется нейтральным слоем.

3 . Анализ уравнений равновесия (1.30) и (1.31) показывает, что для материалов,

которые имеют одинаковые характеристики свойств при растяжении и сжатии, ней тральный слой проходит через центры тяжести сечений.

а0

а,

^	—
3	1
	1
А

)1 dx r n

Рис. 1.13. Схема деформирования элемента материала при чистом изгибе

4. Пересечение нейтрального слоя плоскость действия сил представляет ней тральную ось. Она совпадает с осью симметрии.

Волокна, находящиеся выше нейтрального слоя, если образец деформируется выпуклостью вниз (рис. 1.12, б), сжимаются, а ниже нейтрального слоя — растяги ваются.

Относительная продольная деформация волокна пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси (рис. 1.13), т. е.

8t =yJp,		(1.33)
где у — расстояние от нейтрального слоя; р — радиус кривизны		нейтрального слоя.
Подставив в уравнение равновесия	(1.32) выражение (1.33) и учтя, что et- =
= Oi/E, получим Е/р f y2dF = М„. Приняв JyMF = JZiполучим		следующее выраже-
F	F
ние для радиуса кривизны:
1	_ , М н •	(1.34)
р	EJZ ’	(1.34)
р	EJZ ’

где Л4И — изгибающий момент; Е — модуль Юнга; Jz — геометрическая характе ристика сечения (осевой момент инерции).

Выражение (1.34) можно трактовать как закон Гука при изгибе, поскольку он связывает дефомацию (кривизну нейтрального слоя l/р) с действующим в сечении

моментом.		GJE, получим вы
Подставив выражение для р из (1.33) в (1.34) и приняв si =		GJE, получим вы
ражение для распределения нормальных напряжений по высоте сечения
	at = Mny/J2ш	(1.35)
Максимальные напряжения,	как следует из этой формулы,	будут иметь место
в волокнах максимально удаленных от нейтрального слоя.
Если обозначить W *	будем иметь формулу для максимальных напря
жений
	Ошшк = Мя/ЧГг.	(1.36)

В дальнейшем при обозначении максимальных напряжений и деформаций в се чении образцов, подвергающихся изгибу и кручению, индекс «шах» не используется, так как при рассмотрении характеристик сопротивления материалов деформирова нию и разрушению при этих видах нагружения другие напряжения и деформации не рассматриваются. В то же время возникает необходимость индексаций этих напря жений, отображающих условия, при которых они достигают предельных значений.

Из рис. 1.13 следует, что длина отрезка dx будет равна pda/, тогда doc = dx/p. Подставив в это выражение величину 1/р из уравнения (1.34), получим

da =	.	(1-37)
EJ2
Работа изгибающего момента на угловом перемещении		da будет dU = -g- Muda.
Подставив da из выражения (1.37), получим	1	M"dx
Подставив da из выражения (1.37), получим	dU = ------1—ü-— .
	2	EJ2

Проинтегрировав по всей длине балки, найдем выражение для потенциальной энергии изгиба

С Midx

(1.38)

J 2EJZ *

При чистом изгибе балки (Ми — const) и постоянном ее сечении по всей длине потенциальную энергию запишем в виде

					U = M2Bl/2EJ					(1.39)
	Результаты			испытаний на чистый изгиб представлены в виде графиков в коор
динатах		Ми — итах, где утях — прогиб образца посередине. На рис. 1.14								пока
зана	кривая		изгиба, характерная для конструкционной пластичной стали.							Для
кривой		изгиба		характерно	отсутствие площадки текучести.			Весьма	пластич
ные	стали при изгибе не разрушаются во					всем диапазоне	деформаций,		которые
можно		реализовать при таком виде испытаний. Разгрузка					при изгибе,		как и при
растяжении,			идет по прямой, параллельной			начальному участ-ку		диаграммы. Диа
грамму		Ми — t/max можно			перестроить	в диаграмму о — в (рис. 1.15), где о —

максимальное нормальное напряжёние в сечении, а е — и аибольшее относительное удлинение, т. е. удлинение волокон, максимально удаленных от нейтрального слоя.

Переписав выражение (1.33) в виде е = утях/р и воспользовавшись уравнением

Рис. 1.14. Диаграмма изгиба для пластичного материала

Рис. 1.15. Условная диаграмма деформирования при изгибе

		Расчетное значение
Схема нагружения балки	при х	EJzymax
м.,	при х	EJzymax
	От
/И	х = 0	МР
/И	ДО	2
	ДО	2
	X = I

1 Р13

2 48

а	РЬ	/ а2 + 2ab
	31	\	3

при х

а2 + 2ab

н a JP				От
	Iй	* !,		От
	Iй	* !,	n	X— Cl	Рп				1
			Ра	До	JjL(3/a_4a«)				1
1----------~1				До	24				2
1----------~1				х = 1 — а
л У - Ш	♦ ♦ Щ		qP	I	5ql*				1
			8	~2					2
				J _	J 1 L U		- -		j _
				J _	24 I	16			j _
				2	_ За2	,	а4	\	2
					21*-		I*	}
П р и м е ч а н и е .		Начало координат совпадает а левым концом балки							(точка Л). Ооь у
направлена	вниз, а ось х — вправо.

Из зависимости (1.40) будем иметь

‘ = У т * -т щ --	(1-41)
Диаграмма, построенная с использованием формул	(1.36) и] (1.41) (рис. 1.15),

является условной, так как эти формулы справедливы лишь в пределах закона Гука, т. е. в пределах прямолинейного участка диаграммы изгиба.

Приведенные формулы (1.36) и (1.41) дают возможность определить для упругодеформируемых материалов (т. е. в пределах закона Гука) максимальные нормальные напряжения и продольные деформации.

Для использования этих формул надо уметь определить максимальные изгиба ющие моменты в испытываемых образцах, геометрические характеристики Jz н W2 для максимально напряженных сечений и прогибы в характерных точках образцов. Значения изгибающих моментов и прогибов для наиболее характерных случаев на


гружения			при изгибе приведены в табл.					1.6 [76].	Геометрические характеристики
наиболее часто встречающихся сечений даны в табл.									1.7 [76].
	Если воспользоваться приведенной выше методикой построения диаграмм в ко
ординатах			а — в и найти напряжения, соответствующие остаточным деформациям
0,2 % (пределы текучести), то окажется,
что найденные таким образом пределы теку
чести		будут		существенно	(на 20...30 %)
выше, чем пределы текучести, найденные
по	результатам испытаний на растяжение.
Это	объясняется в первую очередь тем, что
в случае пластического					деформирования
максимально напряженных слоев материа
ла образцов, подвергающихся изгибу, при
одном и том же изгибающем моменте будет
существенное				различие между истинными
напряжениями (рис. 1.16,					кривая 1) и на
пряжениями, подсчитанными						по формуле
(1.36) (кривая				2). В этом	случае		напря	Рис. 1.16. Распределение истинных (/)
жения,		подсчитанные по формуле					(1.36),	и номинальных (2) напряжений по вы*
называются			номинальными			он и	могут	соте сечения образца при изгибе

форма поперечного сеченнг

Площадь ссчсння F, см2 Осевой момент инерции, J J 2, см4 Момент сопротивления \ V^ Wv см1

Квадрат

IVz = W y = ь*_

Полый квадрат

Ьг — ь\	\vz = w	у —	b* — b j
			6	Ь

b t

*В

Полый тонкостенный квадрат, ô0 < -yg-

4Bô0

J~ — J ,, —

в %

Квадрат, поставленный.

Ь*

Полый квадрат, поставленный на ребро

Ь2- — Ь\

Прямоугольник

Jг — Jу	Ь*_	ь*
Jг — Jу	12	IVz=*Wy
	12	6У 2

ь* — ь \	Ь*— Ь\
J2 Jу —	Wг = Wу
12	6 У2Ь
	6 У2Ь

1г	h2	hb9	Wz	bh3	hb»
	12 ’
		12		6	6

Форма Поперечного сечения

Полый прямоугольник

Полый тонкостенный прямоугольник,

Площадь сечения Fi см* Осевой момент инерции, J ^ J г<см4 Момент сопротивления,, W^ Wг, см8

М» — ^ h f		6 ft3 — 6t ftf
= ................. .		w 2 -
12		6 ft
bh— bxh1	ht b\
ft6 3_	ht b\	ЛЬ3 — ftiftf
*	12	6 6

2 Ô (В + Я)

Сечение из двух равных прямоугольников

b ( h - h ,)

Треугольник, a0 = _ iL

T1 bh

b (h* - h\)

Ï2

b3 (h — hj)

/ y =

J — bh*

*2 ~ W ’

«l	=	bh3
«l		4 ’
		hh?
		12

1	1

Is	48

Wz	Ь (hs	-	ftf)
Wz	6h			f
	6h
Wu =	^		— ^i)

ÿ6

При вычислении напряжения в вершине треугольника

Г_

2 24 '

При вычислении напряжения в точке основания

г — b h *

Ï2~ *

»	*5
	24

ш	h

Трапеция

			,	_	А* (Ь* + 4Wt + 6J)
l J	§	\|	J J L ÈL . л		36 (b -J-
l J	§	\|	2	а
			2	а
Ы	щ		л , ,

Т рапеция

h b*— Ь*

48 6 — ôj,

Для точек верхнего основания

w	__	А» (6*-4-4^1 +	ft?)
2		12 (2ft -f- AJ
Для	точек нижнего основания
П7	_	А(6 + 4661 +	Ь?)
	2	12 (Ь + 2 ^ )

Г ,	ft	*4 - & {
	24	bn- — bbt

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 294 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги