Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

22.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 298 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Р ус. 1.42. Схема напряженного состояния в точке (а) и разложение тензора напря* жепий на шаровой тензор (б) и девиатор (в)

Общий случай напряженного состояния (см. рис. 1.42, а) может быть представлен

б гиде суммы двух напряженных состояний, характеризуемых в первом случае							оди
наковыми	нормальными	напряжениями а0 в			координатных	плоскостях	(см.
рис. 1.42,	б) и во втором случае (см. рис. 1.42, в) — нормальными					напряжениями
	$Х= Gx	®0>	sy =	Оо'	$2 = <7j — (JQ	(1.107)
и касательными напряжениями хху> %уг, тгх. Если принять
		п __	Gx +	Gy~ f G2		(1.106)
		0		з--------- ’		(1.106)
-то из (1.107) следует		0		з--------- ’
-то из (1.107) следует		sx ~hsy ~h §z —0.				(1.109)
		sx ~hsy ~h §z —0.				(1.109)

Тензор напряжений. (1.106), характеризующий напряженное состояние на рис. 1.43, б, называется шаровым и обозначается

О Л Ю )

а характеризующий напряженное состояние (см. рис. 1.42, в) называется девиата ром напряжений

							SX9	v *	Tz *	( 1. 111)
							Tx in	V	Xz y	( 1. 111)
	/						Txz*	Xyz>	$г
							Txz*	Xyz>	$г
Шаровой тензор характеризует изменение объе
ма,	а девиатор — искажение формы элемента.
	При изменении ориентации граней выделен
ного элемента меняются					и действующие на его
гранях напряжения. Можно провести такие вза
имно перпендикулярные площадки, по								которым
касательные напряжения равны нулю. Такие
площадки			называются		главными		площадками,
а нормальные напряжения, действующие по этим
площадкам,— главными напряжениями. Направ
ления,		параллельные		главным			напряжениям,
называются			главными	направлениями напряже
ний или главными осями					в данной		точке. Глав
ные напряжения обозначаются ст^							< 2 и	о3, при
этом предполагается, что в алгебраическом смыс
ле	«Tj >	< 2 > а3.				в котором		все три
	Напряженное состояние,					в котором		все три
главных напряжения не равны						нулю, называется

объемным напряженным состоянием; если не равны нулю	два	главных напряже
ния. то — плоским напряженным состоянием, и если не	равно	нулю	лишь одно
главное напряжение, го — линейным напряженным состоянием.		Зная	компоненты

напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам,					можно определить ве
личину и направления главных напряжений.			АВС главная. Тогда			нормаль к ней
Предположим (рис. 1.43), что		площадка
является главной осью. Они составляют с направлениями осей					х, у,	г углы, косину
сы .которых соответственно	равны	/, т, п.
Поскольку касательные напряжения по этой площадке должны Сыть равны ну
лю, то полное напряжение	о направлено по нормами v			н его	составляющие имеют
вид
Pvx = ol;		рщ = am;	pvz =	an.		(1.}) ?.)

С другой стороны, проекции полного напряжения на площадке .АВС выражаются

через напряжения	иа координатных гранях элемента	формулами	(1 . 1 0 2 ). Из них
с учетом (1. 112)	имеем
	(Од.. — а) I. + xljXm - f т2Хл =	0 ;
	+ (ff„ — а)т + хг!/и =	0 ;	(1.113)

ххг1+ хугт + (ага) п = 0 .

Система уравнения (1.113) относительно трех неизвестных /, т и п определяет поло жение главных площадок. Значения главных напряжений являются корнями куби ческого уравнения [80]

	-	h (Тс) (Т- -		Jo (Та) а -		J 3 (Та) = 0 ,		(1.П4)
где
		^1 (Та) =		СГд +	аУ“Ь aZ>			(1.115)
	(Т0) =	— охОц -	оъог — Огох +			х \у 4- Х% +	т;х;	( U 16)
^9 (^*<j)	Gz	*&хь“х:у	^V^zx		®z^xy	“^i//	•	(1.117)

Можно доказать [80], что все корни этого кубического уравнения вещественны. Поскольку главные напряжения не могут зависеть от выбора осей напряжений, коэффициенты кубического уравнения (1.114) также не изменятся при повороте осей координат, т. е. являются инвариантами. Они называются соответственно первым

J-i (Tff), вторым ./2 (Т0) н третьим У3 (Тд) инвариантами тензора напряжений.

Из формул (1.115), (1.116) и (1.117) следует, что выражения инвариантов тен зора напряжений йерез главные напряжения имеют вид

Ji (Т0) = ох -f- а 2

а 3;

J2 (Tff) =

/ 3 (TQ.) — 0-га 2а3.

Для определения направления какой-либо главной оси, например, первой, в урав нения (1.113) подставляют значения соответствующего главного напряжения, т. е. tfj, н из любых двух уравнений находят соотношения между косинусами углов- = a; mjrti = Ьг. Подставляя эти величины в уравнение lJ + w2 т я2 = 1. на

ходим пх = ± ~	г ..... , после чего 1Х= агпх-, тх = bxtix. Аналогично ре-
V	1+'в?4-&?

шаются задачи для других главных осей.

Плоская геометрическая интерпретация напряженного состояния дается в виде диаграммы (кругов) Мора (рис. 1.44), которая состоит из трех кругов, диаметрами которых являются разности главных напряжений. Координаты точек, лежакшх в за штрихованной области, представляют собой нормальные и касательные напряжения

в произвольно ориентировочных площадках, а координаты точек на окружностях I, II, III соответственно равны касательным и нормальным напряжениям по площад кам, параллельным главным осям 1, 2 и 3. Из диаграммы Мора следует, что макси мальные касательные напряжения, которые называются главными касательными напряжениями, по площадкам, проходящим через соответствующие оси, имеют вит

	Методика построения диаграмм Мора и определения по ним			нормальных ка
сательных		напряжений по	произвольным площадкам для плоского напряженного
состояния		(прямая задача)	и определения главных напряжений и главных площадок
(обратная задача) подробно			изложены в курсах сопротивления	материалов	fl2 .
118,	1391.				глав
	Существенно упрощается определение главных напряжений и положений

ных площадок при линейном и плоском напряженных состояниях. Линейное напря женное состояние имеет место при растяжении (сжатии) или чистом изгибе. Положе ние площадок, по который! отсутствуют касательные напряжения, т. е. главные пло

щадки, для	растяжения (сжатия) и чистого изгиба				рассмотрено в предыдущем
параграфе.	Напряжения по наклонным площадкам определяются зависимостью
(1.24). При плоском напряженном состоянии			(рис. 1.45,		а) нормальные и касатель
ные напряжения по наклонным площадкам			I, II, если известны значения			и на
правление главных напряжений, могут быть найдены по формулам
	аа =	cos2 а +	а 2 sin2 а;		(1.119)
		<х2	.	„
	та = ох — —у		sin	2 а
и
	Op =	sin2 а — cr2 cos2 а;			(1. 120)
	Тр =	(Ti — (Т2 .
		— ----- 9----- sin 2а.
Сжимающие главные напряжения .подставляются				в эти	формулы со знаком	'ми
нус», а угол а отсчитывается от алгебраически большего главного напряжения.
Величина и направление главных напряжений, если известны напряжения по
двум взаимноперпенднкулярным		площадкам,	определяются следующими завнсн-

Та б л и ц а 1.12. Примеры напряженные состояний

Напряженное состояние" Схема приложения нагрузок

Одноосное растяжение

Одноосное сжатие

Двухосное растяжение

Тензор напряжения

Линейные

Oj О О

V -	0	0
цх >	0	0
цх >

Т		=	0	0	0
Т		=	0	0	0
1 а			0	0	о3
		о3 <		0
Плоские
Т	=		О!	0		0
Т	=		0	< 2		0
1 а			0	0		0
	>		0	0		0
	>		0 ,	ст2 >		0

Пример

Испытание гладких образцов на растяжение (до образования шейки), чистый изгиб

Испытание на осевое сжатие (при смазке тор цовых поверхностен). Приближенно: сво бодная ковка, прокатка узких заготовок в гладких валках

сгх = а., — тонкостенный	полый	шар под
внутренним давлением;	. а х =	а 2 — тонко

стенный цилиндрический резервуар, подвер-.


гаемый внутреннему			давлению	и	осевому
растяжению;		Oj =	о2 — тонкостенный ци
линдрический		резервуар под		внутренним
давлением;	стх « 4о2 — растянутые				волокна
при изгибе	весьма широкого образца

Двухосное сжатие

Разноименное плоское напряженное состояние

Трехосное растяжение

Сп

D	0 0
т* 0 = 0	< а	0
0	0	а 3

ffi	0	0
Т = 0	0	0
А0	0	ст3
0	0	ст3

<г8 = сг3 — кольцевое сжатие образцов по бо ковой поверхности; сга Ф < 3 — прокатка в ручьевых валках, ковка в штампах, закры тых с двух сторон

о* = —а3— кручение цилиндрического стерж ня; -ф—сг3— внутренние зоны, толсто стенной трубы, подвергнутой внутреннему давлению

Объемные

Т	ах 0		0	°i —	— аз — гидростатическое		растяжение
	= 0	о2	0	в	центре быстро	нагреваемого		шара
1 а	0	0	а 3	(А,	Ф. Иоффе) ; Ох >	а2; сг2 «	сг3 — в	цент

ральных зонах растягиваемого круглого об разца с надрезом

Напряженное состояние-

Схема приложения нагрузок

Тензор напряжения

Пример

TG=	Oj	О	О	<7j-= оа =	сг3 —.гидростатическое		сжатие;
TG=	0	à,	О	Ф <Тг =	о3 — прессовка,	сжатие	иод гид
Трехосное сжатие	О	0	оя	ростатическим давлением,		закрытая ковка
				(в штампах), вдавливание (при испытаниях
				на -твердость при вдавливании и т. д.)

Разноименное объемное напряженное состояние

		Oj О		О
Т„ = 0			а,	О
о1 >	0 ,	О	0	и,
		а 2 > 0 , а 3 < 0
ох >	0 ,	oÔ < 0 , о3 < 0

Растяжение образца с шейкой под гидроста тическим давлением, волочение прутков, проволоки и труб

II II

H -- ю | ~

[ ° «	+	<*>, + У	(оа -	асу-	4 т \|] ;
					(1.1211
[ ° а	+	— ] / " (° « —		°р)* - г	4т^] ;
	*	“	т«		(1.122)
		а — а		*	(1.122)
		а 1 ^

Формула (1.122) определяет значение угла с<0, на который надо повернуть нор маль \у. .чтобы получить направление алгебраически большего главного напряжения.

При этом отрицательному значению^ а соответствует поворот по часовой стрелке. Рассматривая напряженное состояние з точке, можно отметить несколько харак

терных площадок. Так, наибольшее касательное напряжение

ai ~

шах

(1-1 23)

действует по площадкам,

параллельным

главному напряжению

о, и наклоненным

под углом 45° к главным напряжениям

п сг3. Этот вывод сделай

ранее на

основе

рассмотрения

диаграмм

Мора.

По площадкам,

равнонаклониым к главным осям, так называемым октаэдппчес-

им площадкам, действуют напряжения нормальные

„

<?1 +

(1.124)

°окт — сто —

и касательные

1/Г2 т / "

*> .

9 ,

а 2<у3 — <rcoi

vO K T

= - Ц — Г

03 +

°з —

—

(Ох —

Со)2 + ( а 2 — Ф))" +

(*.1 — <7l)n

( 1-125)

которые называются октаэдрическими. По касательным октаэдрическим нзпряже

ниям можно рассчитать интенсивность напряжений

(1.126)

wO K T

или

а ; =

- j Y

] "(О! — а а)а - f (<т2 — ст3)а + (о3 — Ох) 2 =

} / ~ (ï i +

aI — а1<*г — ст2аз — ^з0!-

(I-127)

Отметим, что все приведенные выше зависимости верны как при упругом,

так

и плас

тическом деформировании. Примеры некоторых напряженных состояний и условия,

при которых они реализуются, даны в табл. 1.12 [171].

1.2 .2 .

Теория деформаций.. Деформация любого элементарного параллелепипе

да может быть представлена состоящей из ряда отдельных простейших

деформация

(рис. 1.46) [8 ]. Имеется шесть таких составляющих: три линейных (е*, гу, ег) и трпгтгловых, сдвиговых (ух,г yuz, ууг). Линейные составляющие представляют собой отне.

сительное удлинение ребер элементарного параллелепипеда, и индекс при обозна чениях деформаций показывает, параллельно какой оси имеет место это удлинен:?». Линейные составляющие деформаций приводят к изменению объема и формы (на пример, переход от кубл к параллелепипеду). Положительными линейными счита ются деформации удлинения, а отрицательными — укорочения. Угловые деформации

Рис. 1.45. Схема определения напряжений по наклонным площадкам (а) и главных напряжений (б) при плоском напряженном состоянии

представляют собой сдвиг элементарного параллелепипеда по отношению к первона чальному положению. Положительному сдвигу соответствует уменьшение угла между положительными направлениями осей, отрицательному — увеличение тех же углов.

Углы сдвига, проектируемые на плоскость ху, обозначаются уху (или Уух), на плоскость yz — ууг (или уzy) и на плокость гх — yzx (или уХ2). Считается, что при

малых углах сдвига, которые реализуются при упругом деформировании, объем элементарного параллелепипеда при сдвиге не изменяется, а ребра не^изменяют своей длины. Если принять, что все грани параллелепипеда равны единице, можно най ти приращение объема 0 = (1 + гх) (1 + гу) (1 + е2) — 1. Если выполнить преоб разования и учесть, что произведения деформаций весьма малы, получим

0 — "Ь ~Ь б2,

(1.128)

Рис. 1.46. Обозначения компонентов деформаций

Рис. 1.47. Эквивалентные сдвиги

т. е. относительное изменение объема в точке равно сумме относительных удлинений по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Если принять

е0 = — (еж + z,j + 8Z),	(1.129)
то выражение будет иметь вид
0 = 3ео.	(1.130)

Один и тот же сдвиг, т. е. одинаковое искажение граней элементарного параллелепи

педа, можно представить самым разнообразным способом. Три из возможных		пред
ставлений показано на рис. 1.47, из анализа которого следует уху =	уух: ууг =	у	;
у2Х = уХ2. Наиболее часто представление сдвига осуществляется в	соответствии		с

рис. 1.47 в. Как и в случае напряжении, общую картину деформаций в точке можно представить в виде тензора

У2Ууг>

ev>

V2\'xz> 1/2Ууг>

1/2Т;

1/2у

(1.131)

Тензор деформаций можно разделить, как и тензор напряжений, на шаровой тен зор деформаций

е о	0	0	(1.132)
0	«о	0	(1.132)
0	0	8<

который характеризует объемную деформацию в точке, и на девиатор деформаций

СО II

ех ео> У2У„х*		1/2 V.X
W yx,f	&V— во,	1 2	Тг;/
		/

Vbyz* s2 е0

который характеризует формоизменение в окрестностях той же точки.

Удлинения какого-либо отрезка,	проходящего через данную точку, можно выра
зить через шесть компонентов деформаций той же точки		е = ехР -(- еутг + егп2-г
+ Уху1т + Уугтп + угхп1 где /, т,	п — косинусы углов	между направлением рас

сматриваемого отрезка и осями прямоугольных координат.

Можно показать [8 ], что между теориями напряжений и деформаций имеется полная аналогия, т. е. формулы в теории деформаций можно выражать ана логично соответствующим формулам в теории напряжений. Можно утверждать, что в каждой точке тела существуют три взаимно перпендикулярных направления, назы ваемые главными осями деформации, которые обладают тем свойством, что матери.- 1 по этим направлениям испытывает только линейные деформации, т. е. сдвиги при этом равны нулю.

Если подставить в уравнение (1.114) вместо компонент тензора напряжений ком поненты тензора деформации, т. е. изменить <т¥ на е*. хХу на 1/2 уху и так далее, то

можно получить кубическое уравнение, определяющее главные линейные деформации

е3 _

(Tt.) е2 — Jn (Те) е — Js (Те) = 0 .

(1.134)

Инварианты тензора деформаций будут иметь вид

(Тр) =

гх

в„ +

вг:

^ 2 (Тр)

Сд;8 г»-- 0

JI-

*Xlf

(1.135)

h (т а) =

«Л ** ~

YxWY«*Y« -

(e.vY1г +

% vL + «VY*/

Выражения инвариантов через

главные деформации запишем в виде

* *^i (Тг) =

&1~Г Е2 “Ь G3 *>

(1.136)

*/о (Tç) =

— Bifîo —

— 8jj£iî

J 3 de) =

е 1Е2е З-

По аналогии с напряжениями,

удлинение в

направлении, перпендикулярном

х октаэдрической площадке,

будет

-- « 0

(Е1 “Ь е 2 Ч~ Вд).

(1.137)

8 О К Т

-----

Сдвиг в октаэдрических плоскостях имеет вид

YOKT =

^ ( 8i

8а)а ~Ь (®2 ” "ез)2 “Ь (®л

ех)2

(1• 138)

дли

’Voкт = - g - ~ \ f (8ж ~

h ) 2 +

(By— 8Z) 2 +

(6z — Sx) 2 +

- у

(у% + У2уг +

YL ) •

(1.139)

Для наибольшего сдвига

по аналогии с

(1.123), имеем

Ymax =

е1 — ез-

( 1-140)

Интенсивность деформаций запишем в виде

8* =

(1.141)

2 Iх 2 ( 1

+ f i)

О К Т

или

Yoa

8t* ~

ji)’

^8l — е2)2 +

( е 2 — s3)2 +

(e1 — s3)2 .

(1.142)

1.2 .8 . Обобщенный закон Гука. Рассмотрение зависимости между напряжения ми .и деформациями в условиях линейного напряженного состояния (растяжения), выполненное в предыдущем параграфе, показывает, что при упругом деформировании напряжения и деформации пропорциональны друг другу

(Ti = £ e1,

(1.143)

а поперечные деформации обратны по знаку продольной и их значения могут быть найдены по формуле

е2 = 8 3 = — (xej_.

( 1.144)

Объемное напряженное состояние может быть представлено как наложение трех одноосных напряженных состояний. Для изотропных материалов, у которых модули

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 298 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги