книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1

Рис. 1,58. Схема концентраций напряжений в пластинке с отверстием из анизотроп­ ного материала

Приведенные выше зависимости получены для изотропных материалов. Значення теоретических коэффициентов концентрации напряжений для анизотропных мате­

ции напряжений при упругопластическом деформировании связан с большими труд­ ностями. Поэтому получили распространение приближенные методы, эксперимен­ тальные и численные методы решения краевых задач с использованием ЭВМ. При рассмотрении концентрации напряжений при упругопластическом деформирова­

нии следует учитывать отличие коэффициентов концентрации напряжений Kg и де­

формаций /Сё и их взаимосвязь с теоретическим коэффициентом концентрации напря­ жений а а. Такая взаимосвязь обычно представляется в виде формулы Нейбера (26, 143, 212]:

Коэффициент концентрации напряжений равен отношению максимальных на­ пряжений (обычно первого главного напряжения) к номинальным напряжениям в рассматриваемом сечении

Коэффициент концентрации деформаций равен отношению соответствующих максимальных деформаций к номинальным деформациям

Теоретический (упругий) коэффициент концентрации напряжения в соответ­ ствии с зависимостью (1.180) будет

Рис. 1.59. Геометрическая интерпретация формулы Нейбера

Рис. 1.60. График напряжений в вершине надреза при произвольной форме кривой деформации материала

Черточки в этом случае используются для того, чтобы отметить упругие напряжения. Формула (1.193) полученадля случая острого надреза при сдвиге [212]. Распро­

странение ее на другие случаи носит приближенный характер.

Помимо формулы (1.193) для описания взаимосвязи коэффициентов концентра­ ции используются соотношения [26]:

Применение формулы (1.193) может быть пояснено с помощью предложенной Нейбером геометрической интерпретации (рис. 1.59). Если деталь с надрезом, изго­ товленная из материала, деформирующего по закону ст = f (е), нагружена номи­

нальным напряжением он, то через соответствующую точку на кривой напряже­ ние— деформация можно провести равностороннюю гиперболу и найти точку ее пересечения с линией упругой деформации о = гЕ. Эта точка определяет

снова провести равностороннюю гиперболу,-точка пересечения которой" с кривой напряжение — деформация для детали даст реальное максимальное напряжение у основания надреза. Уравнения обеих равносторонних гипербол даны на рис. 1.59. Если эти уравнения разделить одно на другое, то получится формула Нейбера, что указывает на идентичность графического метода и формулы Нейбера.

Из выражения оП)ахетах = о^ ах/Е следует важный вывод о том, что независимо

от формы надреза при нагрузке, вызывающей в основании надреза максимальное уп­ ругое напряжение отах, при любой форме кривой деформации получается одинако­

вое произведение'à maxemax (рис. 1.60).

В работе [90] показано, что формула (1.193) может быть уточнена в виде

где о* и в" — соответственно номинальные напряжения и деформации, отнесенные к величине, соответствующей пределу текучести.

Показано, что для степенного упрочнения (огаах = ?^ах) функция F имеет вид

(œ^~H)°-5(1—m)[l—(ôH— 1/аа)] •

Для обычно встречающихся в практике случаев функция 0,7 < F < 1,0. Для случая линейного упрочнения зависимость между-, коэффициентами концентрации напряжений и деформаций имеет вид

где £ т — относительный модуль линейного упрочнения.

1.5. Механические модели предельного состояния

Достижение предельного состояния (возникновения пластических

значением и знаком главных напряжений. Учет этого фактора осуществляется путем построения механических моделей предельного состояния, позволяющих сформули­ ровать механические критерии предельного состояния, инвариантные к соотноше­ нию главных напряжений в точке. В этом случае предполагается, что два напря­ женно-деформированных состояния будут эквивалентными, с точки зрения достиже­ ния предельного состояния, если эквивалентные напряжения, подсчитанные по тому или иному критерию, будут одинаковы.

1.5.1. Максимальные нормальные напряжения. В соответствии с этим (первым) критерием ответственными за достижения предельного состояния являются нормаль­ ные напряжения. Эквивалентные напряжения в соответствии с этой теорией при по­

где стп — характеристики предельного состояния.

В зависимости от рассматриваемого случая такой характеристикой может быть предел упругости, предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре­ дел длительной прочности и другие, полученные экспериментально при испытаниях в условиях однородного линейного напряженного состояния, как правило, при рас­ тяжении (сжатии).

Механические критерии предельного состояния принято представлять в виде геометрических фигур в системе координат, соответствующих главным напряжениям. Для критерия максимальных нормальных Напряжений такой фигурой является куб. Для плоского напряженного состояния (о8 = 0) область безопасных напряжений, ограниченная квадратом, показана на рис. 1.61, а, где ор и ас — характеристики предельного состояния при растяжении и сжатии соответственно.

Эта теория из трех главных напряжений учитывает лишь одно, наибольшее, предполагая, что остальные главные напряжения не влияют на достижение предель­ ного состояния. Опытная проверка показала, что эта теория прочности подтеерждается лишь для весьма хрупких материалов (камень, кирпич и т. п.).

1.5.2. Наибольшие относительные удлинения. В соответствии с этим (вторым) критерием ответственными за предельное состояние являются наибольшие лишенные

Рис. 1.61. Геометрическая интерпретация критерия максимальных нормальных -напряжений (а), максимальных относительных удлинений (б) и наибольших каса­ тельных напряжений в плоскости (в)

В пространстве напряжений этот критерий дает правильную шестигранную призму. Предельная кривая для плоского напряженного состояния будет представ­

Уравнение (1.208) в пространстве напряжений может быть представлено в виде эллипсоида вращения с центром в начале координат. Этот критерий не нашел широ­

определяемые зависимостью (1.209), совпадают с точностью до постоянного мно­ жителя с касательными напряжениями на .октаэдрической площадке, что дало осно­ вание считать, что этот критерий может быть распространен в область пластических деформаций вплоть до разрушения, несмотря на то, что энергетические соотношения

тию, кручению и растяжению

Рис. 1.63. Геометрическая интерпретация критериев Мора (а) и Писаренко — Лебе­ дева (б) на плоскости

где Ор и ос — характеристики предельного состояния при растяжении и сжатии со­ ответственно.

В случае < р = ас критерий Мора Преобразуется в критерий максимальных касательных напряжений. Условие предельного состояния для этого случая имеет вид

равнонаклоненная к осям пирамиды. Для плоского напряженного состояния предель­ ная кривая в соответствии с критерием Мора показана на рис. 1.63, а.

Критерий Мора, с одной стороны, обладает Возможностями критерия макси­ мальных касательных напряжений, который достаточно хорошо применим к плас­ тичным материалам; с другой стороны, он дает новые возможности для описания

рис. 1.63, б, где для сравнения приведены предельные кривые, соответствующие критериям максимальных нормальных напряжейий (I), Мора (II) и удельной потен­ циальной энергии формоизменения (III).

1.5.8. Модель Фридмана. Критерий Я. Б. Фридмана [171] является дальней­ шим развитием идей H. Н. Давиденково и других исследователей о двойственной при-

Рис. 1.64. Диаграмма механического состояния в соответствии с критерием Фридма­ на

Рис. 1.65. Расчетная зависимость максимальной главной пластической деформации от степени трехосности

Рассмотренный эффект существенно проявляется при испытании образцов с кон­ центраторами напряжений, и особенно в вершине трещины в условиях плоской де­ формации.

Можно утверждать, что подобные работы в значительной степени способствова­ ли развитию исследований, которые привели к созданию механики трещин, чему посвящен следующий параграф.

Существует множество других механических критериев предельного состоя­ ния для изотропных и анизотропных материалов. Систематизация их выполнена в работе [95]. Некоторые результаты этой систематизации даны в табл. 1.20.

В табл. 1.21 приведены выражения для эквивалентных напряжений для различ­ ных случаев нагружения в соответствии с наиболее часто используемыми критерия­ ми предельного состояния.

Механические критерии предельного состояния широко используются при рас­ четах на прочность в детерминированной постановке. Основой расчетов на прочность являются соотношения

или

(1.217)

где [о] — допускаемое напряжение; оп — предельное напряжение, £оответствующйе

- В соответствии с зависимостью (1.217) определяется действительный коэффициент запаса прочности и принимается решение о его достаточности с учетом опыта кон­ струирования, изготовления и эксплуатации подобных деталей.

В справочном руководстве [149] даны общие рекомендации по выбору коэффи­ циентов запаса прочности. При повышенной точности расчета с широким использо­ ванием экспериментальных данных по определению усилий, напряжений и характе­ ристик прочности в случае достаточной однородности материала и качества техноло­ гических процессов принимают П = 1,3...1,5. Если объем экспериментальной ин­ формации о нагрузках и прочности недостаточен и результаты натурных испытаний ограничены, то при среднем уровне технологии производства следует принимать П = 1,5...2,0. При малом объеме или отсутствии экспериментальной информации о