Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

22.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 297 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Круговое незамкнутое тонкостенное кольцо

	Наибольшее напряжение в
№к — —^—JtrfÔQ	точках А. В точках В на-
О	пряжение т = О
	пряжение т = О

Прямоугольное, h/6 ^ I
В		Нанбольшее напряжение
		возникает в серединах длин
JK = p/iô3	W K a hbn-	ных сторон сечения (в точ
JK = p/iô3	W K a hbn-	ках Л); в точках В напря
		ках Л); в точках В напря
		жение т — V --^к
		* W*

	Кв»ффи-					Зиаченнп коэффицнентоп a,			\|J и у в зависимости от h/b
	Кв»ффи-
	циент	1.00	1,20	1,25	1,50	1,75	2,00	2.50	3,00	\| 4.00	5,00	6,00	3,00	ю.оо	сю
		1.00	1,20	1,25	1,50	1,75	2,00	2.50	3,00	\| 4.00	5,00	6,00	3,00	ю.оо	сю
	а	0,208	0,219	0,221	0,231	0,239	0,246	0,258	0,267	0,282	0,291	0,299	0,307	0,312	0,333
О»	(J	0,141	0,166	0,172	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,291	0,293	0,307	0,312'	0,333
О»	Y	1,00	0,930	0,910	0,860	0,820	0,790	0,770	0,789	0,749	0,749	0,740	n.740	0,740	0,740

•С

Форма поперечного сечения бруса

Круглое сечение с лыской h/d > 0,5

Круглое с круговым вырезом,

D — 2R

Момент инерции при	Момент сопротивления	при	Положение точки, в которой
кручении J K, см*	кручении W , см3		возникает наибольшее напряжение

	Наибольшее	напряжение	возни
J к	кает в середине плоского		среза
	16	углах т = О
	(точка А). В	углах т = О

JK= 1ц11*	WK	R3	Наибольшее напряжение возни
		k2	кает по дну канавки (точка А)

		Значения	коэффициентов /?, и /г,		в зависимости	от r/R
Коэффициент			0.2	0.4	0,6	0,8	1,0
0	0,005	0.1	0.2	0.4	0,6	0,8	1,0	1.5
1,57	1,56	1,56	1,46	1,22	0,92	0,63	0,38	0,07
0,64.	1,22	1,22	1,23	1,31	1,52	1,91	2,63	7,14

Сплошное эллиптическое, a/b = л > 1

				Наибольшее напряжение в
JK = я	я3	б4	WK= пп fts	точках	А. Напряжение в
	7F + T		2	точках	qj
				точках	В х = тах

Равносторонний треугольник

Ь* _ ft4 46,19 25,98

Правильиий шестиили

восьмиугольник

J„ = k'dAF

Д ля шестиугольника

ft1 = 0,133;

для восьмиугольника

/г1 = 0,130

а>	d — диаметр вписанного крут

№к = 0,056» г • hl . L-	2У,<	В	середине	сторон,
12,99	ft	В	углах т =	0

WK= MF	В	середине сторон.
	В	углах т =- 0
*=■• 0,217;
к = 0,223

Рис. 1.35. Диаграмма деформирования (а) и распределение напряжений (б) и дефор маций (в) по радиусу круглого образца при кручении для идеально пластичного материала

сечения в виде кругового кольца (рис. 1.36, б) при условии гт = г0

	н _		4	г (г2 + ггт+		/Д)	(1.92)
	Т	=ТТ	3	(Г +	ГТ) (г* +	Г\)
							•
Приняв во внимание гипотезу прямых					радиусов, откуда гт/г = ут!у, приведен
ные выше зависимости для		ти могут быть представлены в функции от ут/у.
В работе [142] для деформирования с упрочнением							(рис. 1.37) для круглого по
перечного сечения	получено выражение
*н =	ym Q	У	3	d - G T) ( i -		I	(V /W 3 ] ;
		Vnu
							(1.93)

GT — GT/G.

Сравнение истинных и номинальных напряжений для образцов различного по перечного сечения при кручении в соответствии с формулами (1.90) и (1.91) при Ту = оТ/,2 выполнено на рис. 1.21 [108].

Можно решить, как и при изгибе, обратную задачу, т. е. по диаграмме деформи рования в номинальных напряжениях построить истинную диаграмму. Методика построения такой диаграммы аналогична методике при изгибе, описанной выше.

Рис. 1.36. Формы поперечного сечения образцов

Рис. 1.37. Диаграммы деформирования и распределение напряжений и деформации при кручении по радиусу при наличии упрочнения

Действительную диаграмму деформирования можно построить с использованием за висимости [142]

ти

(ЗЛ4К -f- ф

dMK

(1.94)

ltd3

dq>

Величина у в этом случае определяется

с использованием зависимости

(1.8 6 ).

Такой подход справедлив при любых зависимостях

т = f (у),

основные сложности

возникают при определении величины

dMK!d<p.

разрушения

практически

парал-

Так как диаграмма кручения вблизи точки

лельна

горизонтальной оси,

т. е. dMK/dq> — 0,

истинный предел

прочности будет

Т “

12МК

(1.95'

----

rofJ

что соответствует тому, что все сечение образца охвачено пластической

деформацией

при

т =

тт.

Разрушение пластичных материалов, как правило, происходит под действием

касательных напряжений по плоскости, перпендикулярной к оси образца.

по

Хрупкие материалы, например, серый чугун, разрушается при кручении

плоскости, наклоненной к оси образца под углом 45°,

что свидетельствует об опреде

ляющей роли нормальных напряжений, которые максимальны в этой

плоскости.

Если вырезать из образца, подвергающегося

кручению, элементарные элементы

на поверхности, как это показано на рис. 1.38, то картина напряжений

будет су

щественно

отличной.

По площадкам, перпендикулярным к осп образца, будут действовать касатель

ные напряжения т; такие же напряжения будут действовать вследствие закона о пар

ности касательных напряжений и по площадкам,

параллельным оси.

Нормальные

напряжения по этим площадкам равны нулю. Такое напряженное состояние назы

вается чистым сдвигом. По площадкам, наклоненным под углом 45°

к оси образца,

будут действовать максимальные нормальные напряжения, равные

по абсолютной

величине касательным напряжениям. Напряжения по другим площадкам могут быть

найдены с использованием

зависимостей (1.119), приведенных ниже.

со

Более подробно основы общей теории напряженного и

деформированного

стояния будут рассмотрены в следующем параграфе данной главы.

1.1.5.

Твердость.

Твердость представляет комплексное свойство материала, за

висящее как от характеристик его прочности и пластичности,

так и от метода

изме

рения. Часто твердостью

называют способность

материала

оказывать

сопротивле

ние механическому проникновению

него

другого, более

твердого

тела

(33,

39, 94].

вдаз-

Наиболее распространенные методы определения твердости основ .ны из

ливании индентора (в виде шарика, конуса или пирамиды) в исследуемый материл.:

Известны и другие методы определения твердости (метод качания маятника, цара

панья

и др.) |94]. При реализации каждого из методов определения твердости имеет

место свое соотношение между характеристиками фундаментальных свойств

мате

риала

(прочность, пластичность) и

характеристиками твердости, определяемыми до

этим методам. Определенные разными методами характеристики твердости различны

Рис. 1.38. Схема напряжения по граням элементарных площадок

по величине и размерности. Перевод харак теристик твердости из одних величии в другие проводится по эмпирическим формулам и таблицам.

Измерение твердости, как интегральной характеристики прочности и пластичности материалов, в первую очередь металлов, по лучило широкое распространение в практике благодаря простоте реализации и возможнос ти определения характеристик свойств без нарушения их целостности (вырезка образцов и т. п.). В основе определения характеристик твердости путем вдавливания индентора ле

жат достаточно сложные процессы пластического деформирования, неучет которых может привести к получению несопоставимых характеристик.

Кратко рассмотрим особенности такого пластического деформирования на при мере контакта упругого сферического индентора с идеальной плоской поверхностью

упругопластического тела, деформирующегося с упрочнением	[39].
На рис. (1.39) приняты следующие обозначения: R, Ru и	R' — радиус шара
и радиусы кривизны поверхности вмятины под нагрузкой и после нагрузки; h —
Глубина восстановленной вмятины; w1 n w 2 — упругое сжатие	шара под нагрузкой

и упругое восстановление контртела в центре контакта после разгрузкй; t* — полная


глубина вмятины под нагрузкой;		ау и а — обратимое и полное сближение контак
тирующих тел; d и	а — диаметр и радиус контура остаточной вмятины;				Р — кон
тактная нагрузка;	’F — угол вдавливания;			С, С„, Св — центры кривизны иедефор-
мированной исходной поверхности		шара,	поверхности вмятины под нагрузкой (по
верхности невосстановленной вмятины)			и	поверхности восстановленной	вмятины.

На начальной стадии нагружения											деформируемое						н
тело испытывает чисто упругую деформацию.														На этой
стадии внедрения сферы напряжения, деформации и пt-fkmax
ремещения			описываются				упругим			решением					Герца,							б*№
причем сближение двух							контактируемых тел является

степенной		функцией				нагрузки			(участок /,				рис.		1.40).
С возрастанием контактной нагрузки на													поверхности
тела возникает вмятина или отпечатка, которая явля
ется следствием пластической деформации (участок II).
После снятия нагрузки происходит упругое восстанов
ление	нндентора				(предполагается,					что остаточные						де
формации в инденторе отсутствуют) и материала
контртела.		Упругое				смятие		индентора				шг		исчезает,
а общая глубина					t* отпечатка				(вмятина)			уменьшается
на величину упругого восстановления w2и													становится
равной h, т. е. глубине остаточной (восстановленной)
вмятины. Геометрия, как							это видно из рис. 1.39, вос										Рис.		1.40. Схема сближе
становленного				отпечатка			будет		несколько				отличаться				ния		контактирующих тел
от геометрии				сферического индентора, что									в расчетах
обычно не учитывается.
Проведенные многочисленные исследования показали, что в широком диапазоне
нагрузки имеет место линейная зависимость между нагрузкой																			Р и глубиной отпе
чатка	/г. На рис.				1.41 показаны такие зависимости для различных материалов в со
ответствии с данными,						приведенными в табл.								1 .10 [39]. Аналогичный вид имеют за
висимости		Р — Л и в области высоких температур. Отклонение от линейной																				зависи
мости	наблюдается в					области			как	малых нагрузок, где							определяющими являются
отличие свойств поверхностного слоя и основного материала,																			релаксационные про
цессы и тому подобное, так и больших нагрузок,															где резко возрастает роль упругой
деформации индентора, а также возможны его пластическая деформация																					и разруше
ние. Выход за прямолинейные участки зависимости																Р — h приводит к					погрешнос-
Т а б л и ц а			1.10. Глубины восстановленных отпечатков														h в зависимости
от нагрузки на индентор при								комнатной				температуре (D — 10 мм)
СО^											Значения ft, мм, при нагрузках Р, кН
СЯ-чз*
ЛО^		Материал					ив,
Ч							МПа		4.9				9,8			14,7			19,С	24,5		29.4

ê а
X s*
1	Армко-железо						ИЗО		4 0 ,1 2			0,25				0,37		0,49		0,62		0,74
2	Сталь			10			1320		0 ,1 1			0 ,2 1				0,32		0,42		0,54		0 ,6 6
3
				35			1780		0,08			0,17				' 0,25		0,33		0,41		0,49
4				45			2070		0,07			0,14				—		0,27			—	0,42
5			ЭЯ1Т				1610		0,09			0,18				—		0,35		—		0,55
6			30ХГСА				2160		0,05			0 ,1 1				0,17		0,23		0,29		0,34
7			ЗОХГСА				2930		0,03			0,07				0 ,1 1		0,15		0,19		0,24
8			ЗОХГСА				3510		0 ,0 2			0,05				0,08		0 ,1 1		0,14		0,17
9			мягкая				1120		0,13		I	0,25				—		0,50			—	0,75
10	марганцовистая						1940		0,07			0,13				—		0,26			—	0,39
11	Чугун		У10А				3650		0,025			0,05				0,08		0 ,1 1		0,13		0,16
12			СЧ 21-40				I860		0,07			0,14				—		0,27			—	0,41
13	Медь		техническая						0,369			0,715				1,070			—		—	0,197 *
14	Латунь								0,107			0,204				0,301			0,397	0,493		0,0.37 *
15		ЛЦ40С
		ЛНМцЖА					_		0,161			0,309				0,455			0,594	0,744		0,086 *
16	Бр. ОЦС 5-4-5						—		0,223			0,447				0,618			0,816			►
																				0,9124 0 ,1 2 2
17	Алюминий				чистый				0,577			0,804 ***				—			—		—	0,283 *

* Р = 2,45 кН:

кН; «**Р = 6,7кН.

Р,кЯ			тям. Рассматривая				взаимосвязь между на
			грузкой (напряжениями) и глубиной (пло

			щадью) отпечатка,				устанавливаем				различ
			ные характеристики твердости.
			Твердость по				Брипелю			определяется
			вдавливанием			сферического				шарика диа
			метром	10,5 или 2,5 мм. Мерой твердости
			является
					НВ =		■—	МПа,			(1.96)
			где F — площадь поверхности сферическо-
							лО			----------
			го отпечатка,			F =	+4-		(D — у D2 — d2),
			или F = лОН,			где D — диаметр					шарика;
			d — диаметр вмятины;					h — глубина ori пе
			чатка.				твердости			по диаметру
			Определение
			отпечатка d надежнее,					чем по его			глубине
			h, точное измерение которой связано со
			многими		сложностями. Так как
Рис. 1.41. Зависимость силы вдавли
вания от глубины		восстановленного									(1.97)
отпечатка. Цифры у кривых — номера
образцов в табл. 1 .1 0		^	то одинаковые значения						НВ при испыта
			нии одного и того же материала шариками
разного диаметра могут получиться при PtD“=				/е = const. При испытании							различ
ных сплавов	k принимается равным или 30, или 10, или 2,5. Признаком правильного
выбора величины k является нахождение диаметра отпечатка в								интервале			0 ,2 D <
< d < 0 ,5 D .	Твердость		НВ, как это видно из	формулы (1.97),					зависит также от
отношения	dlD, которое определяется величиной				Р,	в связи		с чем целесообразно
указывать величину		Р,	при которой определялась твердость.

Существуют эмпирически установленные зависимости между пределом прочнос ти при растяжении и твердостью по Бринелю. Ориентировочно можно принимать для

кованой стали	ов =	0 36НВ, для стального литья ав = (0,3...0,4) НВ, для серого
чугуна ов =	НВ — 400
чугуна ов =	g------	.

Твердость по Виккерсу. В этом случае в качестве индентора используют четырех гранную алмазную пирамиду с углом между противоположными гранями, равным 136° ± 30'. Вычисляется твердость по Виккерсу по формуле

HV = —

-2P sinа1~ МПа,

(1.98)

где Р — нагрузка;

F — поверхность пирамидального

отпечатка;

d — диагональ

отпечатка; а — угол

при

вершине

между

противоположными

гранями

пира

миды.

Для

а = 136° при

P (Н) и

d (мм) HV =

1,8544

МПа.

При

измерении твердости

FIV применяется одна

из следующих

нагрузок: 50,

100, 200,

300, 500,

1000 Н. Так как пирамидальные отпечатки

геометрически подоб

ны, то для одного и того же материала числа твердости

HV не зависят от силы вдав

ливания.

НВ.

Угол пирамиды

136° принят с целью получения величин

ЯК,'близких к

Однако совпадение величин

HV и

НВ имеет место только при значениях НВ, на

превышающих 4000 МПа.

вдав

Твердость по Роквеллу. Твердость по Роквеллу характеризуется глубиной

ливания индентора в виде алмазного конуса с закругленным углом в вершине ос --

— 120° ±		30' или в виде стального термообработаш-гого шарика диаметром 1,588 мм
выраженной в виде условных единиц.
Характеристикой твердости является разность глубин проникновения индеи-
тора при двух нагрузках Р0 п Р при уменьшении последней до									Р„. За единицу твер
дости принята величина,				соответствуютдая		осевому		перемещению индептора на
0 ,0 0 2	мм. Твердость по Роквеллу измеряется по трем шкалам А, В и С. Измерение
твердости по шкалам Л и				С производится путем вдавливания в испытуемый образец
алмазного		конического индентора			при нагрузках Р() — 100 H,				Р = 600 Н	(шкала
А) и	Рп =		100 H, Р =	1500 Н (шкала С). '
Т а б л и ц а			1.11. Перевод чисел		твердости	по	различным шкалам
H V , МПа			НВ, МПа	H R B	//I’,	НВ,		HRC	Н V,	HRC
H V , МПа			НВ, МПа	H R B	МП а	МПа		HRC	МПа	HRC
						1
	1000		1000	52,4	2400		2400	20,3	4900	47,5
	1050		1050	57,5	2450		2450	2 1 ,2	5000	48,2
	1100		1100	60,9	2500	2500		2 2 ,1	5200	49,6
	1150		1150	64,1	2550		2550	23,0	5400	50,8
	1200		1200	67,0	2600	2600		23,9	5600	52,0
	1250		1250	69,8	2650	2650		24,8	5800	53,1
	1300		1300	72,4	2700	2700		25,6	6000	54,2
	1350		1350	74,7	2750	2750		26,4	6200	55,4
	1400		1400	76,6	2800	2800		27,2	6400	56,5
	1450		1450	78,3	2850	2850		28,0	6600	57,5
	1500		1500	79,9	'2900	2900		28,8	6800	58,4
	1550		1550	81,4	2950	2950		29,5	7000	59,3
	1G00		1600	82,8	3000	3000		30,2	7200	60,2
	1650		1650	84,2	3100	3100		31,6	7400	61,1
	1700		1700	85,6	3200	3190		33,0	7600	62,0
	1750		1750	87,0	3300	3280		34,2	7800	62,8
	1800		1800	88,3	3400	3360		35,3	8000	63,6
	1850		1850	89,5	3500	3440		36,3	8200	64,3
	1900		1900	90,6	3600	3520		37,2	8400	65,1
	i960		1950	91,7	3700	3600		38,1	8600	65,8
2 0 0 0			2 0 0 0	92,8	3800	3680		38,9	8800	66,4
2050			2050	93,8	3900	3760		39,7	9000	67,0
	2 1 0 0		2 1 0 0	94,8	4000	3840		40,5	—	—
	2150		2150	95,7	4100	3920		41,3	—	—
	2 2 0 0		22 0 0	96,6	4200	4000		42,1	—	—
	2250		2250	97,5	4300		4080	42,9	—	—
	2300		2300	98,4	4400		4160	43,7	—	—
	2350		2350	99,2	4500		4250	44,5	—	—
	2400		2400	100,0	4600		4340	45,3	—	—
	—		__	—	4700		4430	46,1	—	—
	—		—	—	4800		4520	46,8	—	—
	П р и м е ч а н и е . Погрешность перевода чисел твердости по Виккерсу в единицы Брьнел-
ля ± 200WB и единицы Роквелла до ± 3HRC (HRB).							Твердость НВ		соответствует нагрузке
30 кН.

Числа твердости в этом случае определяются по зависимости

HR = 100 — Я,

(1.99)

ft — h

,002

Твердость по шкале В измеряется путем вдавливания в испытуемый образец стального Шарика при нагрузках, равных 100 и 1000 Н. В этом случае

HR = 130 — Я.

( 1. 100)

Используя рассмотренные методы, можно определять твердость различных по своим свойствам металлов и сплавов. Для пластичных материалов используются НВ и HRB, для более прочных и твердых — HV и HRC.

Хотя абсолютно точный перевод чисел твердости по различным методам невоз можен, тем не менее такой перевод оправдай для практических целей. В табл. 1.11 приведен вариант такого перевода [33]. При исследовании твердости локальных объемов материала используется метод испытания на микротвердость вдавливаемой

2 P s in a /2 алмазной пирамиды. Твердость в этом случае определяется по формуле Н — -----— ,

аналогичной формуле (1.98), по результатам испытаний при существенно более низ ких нагрузках (от 0,05 до 5 Н).

В этом случае характеристики твердости должны сопровождаться указанием как нагрузки, при которой проводили испытания, так и диагонали отпечатка.

1.2. Общая теория напряжений и деформаций

1.2.1. Теория напряжений. В теориях упругости и п [7, 8 , 80] и в сопротивлении материалов [1 2 , 118] показано, что в случае изотропного материала напряженное состояние в точке полностью определяется девятью компо нентами напряжений (рис. 1.42, а), три из которых (ах, at/, аг) являются нормальны

ми, а шесть (хху, %Х2, хух, xJJZ, хгх, хгу) — касательными. Индекс при нормальных на

пряжениях показывает, параллельно какой оси7они направлены; первый индекс при касательных напряжениях показывает, по какой площадке оси действуют (к какой оси перпендикулярна площадка), а второй — какой оси они параллельны. В соот ветствии с законом парности касательных напряжений касательные напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам равны по значению и противоположны по знаку, т. е. хху = хух, %xz = xzx и xyz= xzy. С учетом этого число независимых ком

понентов напряжений в каждой точке уменьшается с девяти до шести. Располагая этими компонентами напряжений, можно найти напряжения по любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку.

Для площадки с нормалью v косинусы углов, составляемых нормалью v										и ко
ординатными осями	будут (рис. 1.43)
cos (v, х) =		/;	cos (v ^î)		= m;		cos (vfz) =	га.		( 1 . 101)
Тогда проекции pvx> pvy, pvz		на оси координат				х, у, г полного		напряжения		pv по
этой площадке запишем в виде
	Pvx =		Vxl +			+	Xzxn'>
	Pvy =		Xxyl +			+	Tzyn;		(1 .102)
		Pvz =	Xxzl +	xyzm +			Gzn.
Зная напряжения pvx, pvy и pvz, можно найти полные pv, нормальные									<JV и касатель
ные TV напряжения	по рассматриваемой				площадке;
		Р\ ~	~\/~Рух +		Р%у “Ь Руг>				(1.103)
		~	Рух1+	Руут +			Pvn’>			(1 • 104)
		Tv = V		t	i -	V				(U 05)

Приведенные выше девять компонентов напряжений образуют тензор напря жений

<*х, V - Хгх

Q	II
н

Хху>

Хгу

(1.106)

Xxzf Хуг> Oz

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 297 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги