книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

231

Здесь П,(Х) - обобщенная функция, сосредоточенная на срединной поверхности /-го включения Q.. Функция т=т(х)

при x e Q совпадает с нормалью т. к поверхности П(, а фун­

кция Л (х ) при х е Ц определяется из решения задачи для изолированного тонкого включения в однородном внешнем

поле деформаций е (mi). В частности, в случае тонких эллип­ соидальных включений выражение для функции Л(Х) при х еП, имеет вид

а тензор Л (щ) зависит от ориентации включения /я и моду­ лей упругости среды и включения ( § 3.7).

Введем функцию П (х ;х ') соотношением

i*k

С помощью этой функции локальное внешнее поле в точ­ ке X, принадлежащей срединной поверхности произвольного

включения (X E Q, П=иЦ),представляется в форме (ni =/я(х')) i

е {х ) = е —| к (х -х ')Л (х ')£ *(/я ')П (х ;х ')/& '. (5.7.7)

Осредним это равенство при условии, что точка х нахо­ дится на срединной поверхности включения с нормалью т.

Обозначим через <-|х,т> операцию указанного осреднения. Отождествляя теперь среднее < £*(х)|х,/я > с эффективным полем е (х ), в котором находится включение ориентации ТП

233

Тогда эллипсоид Ат , заданный уравнением

и имеющий полуоси а ,,а 2,а 3, характеризует форму корреля­ ционной ямы.

Подставим (5.7.10) в (5.7.9) и вычислим входящий туда ин­ теграл с учетом (5.5.19), (5.5.20). Если учесть также сферичес­

кую симметрию функции Ч/т (Ы ), то получим

Умножим обе части (5.7.16) на тензор А (т) слева и осредним результат по ансамблю случайных ориентаций и свойств включений. Разрешив полученное уравнение относительно

тензора < А(т)е*(т) >, найдем

(Л(т)£*(/я)^ = [е ' -^ А (/и)Л(/и)^] (А(т)}е°. (5.7.18)

Выражение для эффективного поля 6 (т) получим, подс­

тавляя в правую часть (5.7.16) < А(т)е (т)> из (5.7.18).

Осредним теперь выражения (5.7.1), (5.7.2) для фс) и о(х) по ансамблю реализаций случайного множества включений

(<т) = а - j S(x - х')В° (А(т)ет(m)^dx'. (5.7.20)

Здесь учтено соотношение

(Л(х)**(тя)П(х)) = (z(x)Q(x))(A(т)в* (т) ) . (5.7.21)

Предположим, что в задаче фиксируется внешняя дефор­ мация среды. Учитывая тогда регуляризацию (5.2.13) из (5.7.19) и (5.7.20), найдем

234

где С*- искомый тензор эффективных модулей упругости композита с множеством тонких включений. Перейдем к рас­ смотрению конкретных типов тонких включений в однород­ ной упругой среде.

§ 5.8. Упругая среда, армированная жесткими чешуйками и лентами

Пременим результаты предыдущего пункта для построе­ ния тензора эффективных модулей упругости композита, ар­ мированного тонкими жесткими включениями, которые пред­

ставляют собой сплюснутые эллипсоиды с полуосями a]ya2yh

(h/ a}9h / а2 « 1 ) . При этом функция Л(х) в представлениях (5.7.1), (5.7.2) для полей деформаций и напряжений в среде с включениями определяется из решения задачи для изолиро­

ванного включения во внешнем поле деформаций е*(т). Воспользовавшись результатами § 3.7, можно записать

Л(т) -Г-L

[2h

где С- тензор модулей упругости включения, тензор 0(т)

определен соотношением (3.2.4), U°(tri) имеет вид (3.7.18),

xt,x2 - главные оси срединной поверхности включения. Материал включения будем считать далее трансверсально­

изотропным с осью изотропии, направленной вдоль нормали

т к срединной поверхности включения П. Пусть Еп и vn - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала включения

в плоскости хих2. Тогда тензор 0(m )C "'0(/w ) принимает вид

237

висимы, то у имеет порядок alh - среднего аспекта включе­ ния ориентации т .

Перейдем к анализу выражения (5.7.23) для тензора эф­ фективных модулей упругости композита с тонкими жесткими включениями в конкретных частных случаях.

Г. Пусть включения представляют собой тонкие сферои­ ды (чешуйки) одинаковой ориентации. Тензор А(т), входя­

щий в выражение (5.7.23) для С* и определенный соотноше­ нием (5.7.10), имеет вид

где п - числовая концентрация включений, тензор А(т) оп­ ределен в (5.8.3). Здесь учтено равенство

= Й ! Ь 1 2 zi(* )Л("0 Ц (x)dx = ($ лп2А(т))п°.

С учетом (5.8.5) из (5.7.23) следует, что композитная среда будет трансверсально изотропной с осью изотропии, направ­ ленной вдоль общей нормали т к поверхности включений, а

ее тензор модулей упругости С* определяется соотношением

238

2°. Выключения представляют собой тонкие сфероиды, равномерно распределенные по ориентациям. Композитная среда при этом макроизотропна, и выражение (5.7.23) для

тензора С* принимает вид

где коэффициенты Л, 2 и А, 2 те же, что и в (5.8.3).

Сравним результаты расчетов по полученным формулам с данными экспериментальных измерений модулей упругости пластмасс, армированных чешуйками слюды с большим ас­ пектом (а/И » 1) [200, 208, 209]. В указанных работах изме­ рялся так называемый "изгибный" модуль упругости компози­ тов в плоскости чешуек. Ориентация чешуек была примерно одинаковой.

На рис.5.9 представлена зависимость модуля Юнга Еп (в

плоскости чешуек) от параметра т= 4л <аг > п / 3 для полиэ­

фирной смолы (Е0= 3.5ГПа, vo= 0.4), наполненной чешуй­

ками слюды со средним аспектом <a/h>=39, Еи= 175ГПа,

239

V12 =0.3. Параметр тсвязан с объемной концентрацией на­ полнителя р соотношением

(5.8.13) Кривые 1, 2, 3 на рис. 5.9 - расчетные зависимости Е*, из

соотношений (5.8.9) при ^ = 10; 20,оо соответственно; кривая 4 - зависимость Е33(г) при у = 20 точки - эксперименталь­ ные значения Е*, [200]. Различие между теорией и экспери­ ментом оказывается наименьшим при у =< a/(2h) >.

Более ста экспериментальных значений модулей упругости композитов с различными отношениями модулей матрицы и включений, аспектом чешуек и их объемным содержанием [200, 208, 209] было использовано для анализа величины

(5.8.14) представляющей собой относительную разность между теоре­ тическим Е*, и экспериментальным Е®, значениями эффек­ тивного модуля. Оказалось, что А мало зависит от концент­ рации наполнителя и определяется величинами параметров у и g=apJ(2hpn)&aE0/(2hEu). При этом наименьшее зна­

чение А в среднем по всем образцам достигается при значе­ нии у, примерно равном <a/2h>. На рис. 5.10 сплошной

линией показана зависимость А(£), построенная из условия минимизации и среднеквадратичного отклонения от "экспе­ риментальных" значений, изображенных на рис.5.10 точками. В качестве А выбиралось максимальное значение относитель­ ной разности по всем образцам с одинаковой величиной па­

раметра £, но различными значениями т. При £ > 0 ,2 откло­ нение Е*, от Е®, не превышало 10% вплоть до г=200. Объем­ ная концентрация чешуек при этом достигала р = 0,7 [200].

3°. Рассмотрим включение в виде тонких однонаправлен­ ных лент одинаковой ориентации. Среда при этом будет орто-

тропной, а тензор С* принимает вид

рис.5.11 приведены расчетные зависимости модулей Е’ , , Е22и Е*3 (кривые 1-3, соответственно) от параметра г= т° <а2 > (т=<а/И> р, р - объемная концентрация включений) для пластика, армированного стеклянными плитками с аспектом ath = 230 (Ес= 2ГПа, Уо= 0.25, Е„ = 59ГПа, Р12=0.26).

При y = a!2h теоретические

зависимости Е* ( г) оказывают­ ся практически линейными в области экспериментальных значений г и описывают экс­ перимент с точностью ~ 10%.

В заключение остановимся на анализе погрешности полу­ ченных в данном пункте фор­ мул. Она имеет два основных источника. Во-первых, это ис­

пользование только главных членов разложения решения за­ дачи об одном включении по малым параметрам 8x- h ! а и