книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

151

то В и Q в (3.7.8) - постоянные тензоры, выражения для ко­ торых в силу (3.3.15), (3.3.24) имеют вид

В = ( Х + Г Г 'п а , Q= (р +1ГУ'&(п)е , (3.7.9)

00

A°=(2hylnCn, T°=^T(xx,x2)[z(xx,x2)-\\dxxdx2, (3.7.10)

оо

В = (2hy' e(n)BQ(n), I f = \\Щхх,х2)[z(x,,х2)~ 1]dxxdx2.

-00

(3.7.11) Здесь использованы регуляции (3.2.16), (3.2.24), интегралы

Г и U° сходятся в обычном смысле, функция.z(x) продолжа­ ется нулем вне Q .

В случае эллипсоидальных включений и внешнего поля в виде полинома степени т решение уравнений (3.3.15), (3.3.21) можно построить следующим образом. Вначале най­

дем результат действия операторов Тх = А(х)+Т и UM= /u(x)+U

на однородный полином х*т), умноженный на т{х), х(т)=хх'х22,

qx, q2 - целые положительные числа и ql +q2 = m. Это будет полином, коэффициенты которого можно определить, вычис­

ляя значения последовательных производных по X от Txx{'m)z

и £/^x(m)z в точке х = 0. Затем, решая систему линейных урав­

нений, найдем коэффициенты полинома Qm(x), который пос­

ле домножения на z(x) переводится оператором Тх (UM) в од­

нородный полином вида х(т\ Решение для полиномиального степени п внешнего поля будет линейной комбинацией фун-

кций Qm(x)z(x),т= 0,1,2,...,п. Таким образом, задача сво­ дится к вычислению стандартных интегралов и обращению невырожденных матриц. Для среды с эллиптической трещи­

152

ной такой путь решения в случае постоянного и линейного внешних полей реализован в работах [1, 54].

Приведем здесь выражения для тензоров в правых частях (3.7.9) в случае изотропных матрицы и включений. Используя явное выражение для ядра Т(Х) (3.2.26), (2.6.11) и вычисляя

интеграл Т°, получим

в + = (X + r ) i = В / У ? +B2e«V ? +Въпапр, (3.7.12)

где е(|), е(2)- орты главных осей эллипса П, а коэффициенты

Тх ,Т2 ,Т3 определяются выражениями (2.7.11).

Для круговых в плане тонких податливых включений эти

формулы упрощаются и принимают вид {а х= а2=а)

(3.7.15)

где интегрирование проводится по всей плоскости хх, х2, функция z (х) имеет вид (3.7.1) и продолжается нулем вне по­ верхности П. Явное выражение для тензора К(Х) имеет вид (см. (П2.23) Приложение П2):

153

-3(Е 3(и) + E4(n) + 4E5(w)) +15E6(и)]}, n = x/\x\.

Подставляя это выражение в (3.7.15) и вводя координаты

щ х= ахco£ (p, /я ^ - а 2 sin2($?), /и12 = /и21 = а,а2 sin^cos^?,

Вычисляя входящие сюда интегралы, получим, что нерав­ ные нулю компоненты тензора U° в системе координат, свя­ занной с главными осями эллипса О , имеют вид

155

где /и, v - модуль сдвига и коэффициент Пуассона включения;

5= ад, /(2 h/л), Р\Р2 - элементы базиса (2.4.7).

Пусть Q - плоская лента шириной а простирающаяся

вдоль оси х ,. При этом а, —>00,0 , = а, а не равные нулю ком­ поненты тензора Л вида (3.7. ) определяются выражениями

§ 3.8. Численное решение уравнений для тонких включений

В тех случаях, когда тонкие включения отличны от эллип­ соидальных, для построения решений уравнений (3.3.15), (3.3.24) приходится обращаться к численным методам. При этом весьма полезной оказывается вариационная постановка задач, эквивалентных уравнениям (3.3.15), (3.3.24).

Рассмотрим операторы Ги U в уравнениях (3.3.15), (3.3.24) как операторы в гильбертовом пространстве L2(П) = Н(С1).

Областью определения Т и U можно считать функции из

плотного в Ьг(Г2) пространства С* (О) финитных, бесконеч­ но дифференцируемых функций, носитель которых сосредо­ точен во внутренних подобластях О . На таких функциях дей­ ствие операторов Ти t/определено формулами регуляризации (3.2.16), (3.2.24).

Можно показать, что Т и U - симметричные положитель­ ные операторы, то есть

156

(Tb,b) > 0 , (Uo,<j)> 0 , (/,?> ) = J/(*M *)d Q , (3.8.1) Q

причем равенство в (3.8.1) достигается только при Ь- О и <т=0. Для оператора Т это свойство доказано в работе [41].

отличаются от Т и U определенно положительными слагае­ мыми и потому также являются положительными. При этом из результатов [108] следует, что решения уравнений (3.3.15), (3.3.24) доставляют минимум функционалам

Следовательно, для приближенного вычисления функций

Ь(х) и Ъ(х) можно использовать прямые вариационные мето­ ды. В работе [28] вариационная формулировка использовалась для решения задачи о трещине в упругой среде (Л(х) = 0).

Другой путь построения решения уравнений (3.3.15), (3.3.24) состоит в использовании схемы, которая обычно при­ меняется для решения граничных интегральных уравнений теории упругости [119]. При этом поверхность Q разбивается

на N непересекающихся областей Q, , так что Q = ( /0 ,. Ис-

i

комые решения аппроксимируются линейной комбинацией стандартных функций с неизвестными коэффициентами внут­

ри каждой из областей Q (. Подставляя такую аппроксимацию в исходное уравнение и требуя его выполнения в конечном числе узловых точек, можно получить систему линейных алге­ браических уравнений относительно коэффициентов аппрок­ симации. Проблемы реализации такого периода для решения задачи о трещине в упругой среде обсуждались в [55,92,119]. Основные трудности здесь связаны с вычислением матрицы

157

коэффициентов указанной системы линейных алгебраических уравнений, так так вблизи диагонали этой матрицы ее эле­

менты представляются интегралами по областям Q, от быстро изменяющихся функций. В пространственном случае опреде­ ление таких интегралов с достаточной точностью требует большого объема вычислений даже при простейшей (кусочно-

постоянной) аппроксимации искомых функций в областях Q.. Более удобным для численного решения задачи о тонком включении является специальный класс аппроксимации фун­ кций, позволяющих свести уравнение (3.3.15) и (3.8.24) к сис­ теме линейных алгебраических уравнений, коэффициенты ко­ торых вычисляются аналитически. Рассмотрим некоторые

примеры в качестве иллюстрации такого подхода.

Пусть О - плоская область в R3 или отрезок прямой в R2. При этом ядра Т(х,х') и U(x,x') операторов Ти U зависят только от разности аргументов, а сами операторы можно рас­ сматривать так операторы свертки, если функции Ь(х) и ст(х) считать продолженными нулем вне П. Если Ь(х) и ст(х) -

функции класса S(Rn), и =1,2 (бесконечно дифференцируе­ мые функции, стремящиеся к нулю при |х|—»оо быстрее лю­

бой положительной степени |х|‘ '), то действие на них опера­ торов Т и U определяется формулами

Здесь интегралы распространены на всю плоскость (и = 2) или прямую (п= 1) и существуют в обычном смысле, Т*{к) и

U*(к) преобразование Фурье ядер Т(х) и U(x) (однородные функции степени единица).

Рассмотрим случай п —1 (плоская задача) и пусть область представляет собой отрезок (|х|< 1,^ = 0) на плоскости х,у.

158

Будем искать решение уравнений (3.3.15) и (3.3.24) для этого случая в виде следующих рядов:

где xi = -1 + /г(/ - ^) - узлы аппроксимации, Л = 1/ N - шаг ап­

проксимации, D - дисперсия. Выбор решения в форме (3.8.6) связан с тем, что действие оператора Т вида (3.8.5) на функ­

цию fi x ) = е х р [-(х - х,)2 / Dh2] , / tS(Rl) определяется дос­ таточно простым соотношением

где А - известная постоянная, Erjt(<£) - интеграл вероятности мнимого аргумента. Аналогичный вид имеет результат дейст­ вия оператора U на /(х ) .

Рассмотрим подробнее аппроксимацию (3.8.6). Прежде все­ го отметим, что имеет место следующее представление едини­ чной функции [10]

1 = ®(x,D) + R(D,h), R(D,h) = 0{exp(-n2D)), (3.8.8)

hDQ'(x,D) = 0{txp(-7?D) ) ,

где штрих означает производную по X. Пусть и(х) - гладкая функция, первая и вторая производные которой ограничены. Используя (3.8.8), представим и(х) в форме

159

Dh2

(3.8.9)

Так как u{x)-u{rnh) = {x-mh)u'{x)-{\/2){x-mhfu"{xm),

где xmG [x, mh], то отсюда и из предыдущего равенства имеем

Заменив сумму интегралом, можно показать справедли­ вость неравенства

Отсюда и из (3.8.8), (3.8.10) следует оценка

И * ) - щ (х)| < (||и|| + ||м'||)Д,{D, h) + \u"\h2D / 4,

где ||/1| - норма в пространстве непрерывных функций. Таким образом, при аппроксимации функции и{х) рядом uh {х) вида (3.8.9) ошибка зависит от двух параметров: "дисперсии" D и "шага" аппроксимации h .

Рассмотрим аппроксимацию (3.8.9) на примере функции w(x), имеющей вид единичного импульса: и{х) = 1 при |х|< 1,

и(х) = 0 при |х|>1. Результаты аппроксимации при различных D и h представлены на рис.3.1, в левой части которого (х<0)

160

h=0.02

Рис. 3.1

приведены графики функции u{x)-uh(x) для фиксированного

шага аппроксимации И= 1/50 и различных дисперсиях D, а в правой - графики той же функции при фиксированной вели­ чине дисперсии D=2 и различных И. Очевидно, что область наибольшей погрешности рассматриваемой аппроксимации сосредоточена в окрестностях точек х=± 1. Если параметр И порядка 0.1, так что в правой части (3.8.9) остается порядка 20 слагаемых, то наименьшая погрешность аппроксимации (3.8.9) достигается при Z)*2 (при этом |м(х)-мА(х)|<0.01).

Перейдем к решению уравнения (3.3.15) на основе аппро­ ксимации (3.8.9). Начнем с плоской задачи и пусть область Q есть, по-прежнему, отрезок |х|<1,_у=0 на плоскости х,у. В

случае изотропной среды и плоской деформации ядро Т(х) оператора в (3.3.15) имеет вид