книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

241

S2= E J E U. Связанная с этим ошибка имеет порядок

шах(<5,,S2). Отметим, что при относительно малом аспекте

(a/h<lO) и большой жесткости включений (Ео/Е п < 1(Г2),

когда параметр £ мал, увеличивается погрешность, связанная с заменой реальных чешуек включениями эллипсоидальной формы. С этим, по-видимому, связан подъем кривой Л(£)

при малых £ на рис.5.10.

Во-вторых, приближенным является учет взаимодействия между включениями. Анализ экспериментальных данных по­ казывает, что интегральный эффект взаимодействия в рассма­ триваемых композитах оказывается довольно слабым. След­ ствием этого является квазилинейный характер зависимости эффективных модулей от концентрации наполнителя. В рам­ ках предложенной теории степень взаимодействия связана с величиной параметра у, характеризующего форму корреляци­ онной ямы для типичного включения в случайном множестве неоднородностей. Заметим, что полное пренебрежение взаи­

модействием (у~1= 0 ) приводит к увеличению относительной

ошибки А (этому случаю соответствует штриховая кривая на рис. 5.10).

Итак, сравнение теории с экспериментальными данными позволяет сделать следующие выводы. Область применимости полученных формул для эффективных модулей упругости сре­ ды с тонкими жесткими включениями можно оценить с помо­

При £ > 0,15 эти формулы позволяют прогнозировать упругие свойства пластиков, армированных тонкими жесткими вклю­ чениями с точностью 10-15% практически во всем интервале реальных изменений концентрации наполнителя. Значение параметра у при этом оказывается равным половине среднего аспекта армирующих элементов. Отметим, что величина у должна определяться из статистического анализа картины распределения наполнителя в объеме композита.

242

§ 5.9. Тонкие податливые включения и трещины в однородной упругой среде

Перейдем к рассмотрению тонких включений* модули уп­ ругости которых существенно меньше модулей упругости сре­

ды (С(С)~' = 0(S2), S2« 1). При решении задачи осреднения для среды с такими включениями удобно считать, что фикси­ рованным является внешнее поле напряжений (<сх>=а). В

этом случае формулы, определяющие действие операторов К и S на постоянных, имеют вид (5.2.11).

Начнем с рассмотрения среды, содержащей однородное случайное множество тонких эллипсоидальных включений. Для описания взаимодействия между включениями восполь­ зуемся методом эффективного поля в одночастичном прибли­ жении. При этом, следуя §5.7, будем считать, что каждое включение ориентации тп находится в постоянном внешнем

поле напряжений а (тп).

С точностью до главных членов разложения упругих по­ лей по малым параметрам задачи б2 и S{ = hia(h и а - зна­ чения наименьшей и наибольшей осей эллипсоидов) поля на­ пряжений и деформаций в среде с тонкими податливыми включениями представляются в форме (глава III)

£(х) = е +^¥^(x-x')C°M(x')cf(iri)£l{x,)clx’, (5.9.1)

<з(х) = <7 +| ,У (х -х')М (х')ег (/»')Q (x')tfc',

поверхности / - го включения. Функция М(х) при х е Q, определяется из решения одночастичной задачи (§3.7). На­ пример, в случае сплющенного сфероида функция М(х) име­ ет вид

243

М(т) = MxP\tn) + М2Р6(т), z(x) = Jl-\xf/a2,

где а - размер наибольшей полуоси сфероида,

Здесь А,ц - коэффициенты Ламе включения, juo, vo - мо­ дуль сдвига и коэффициент Пуассона среды.

Уравнение для эффективного поля <j(ni) можно получить тем же путем, что и в (5.7.9), в форме

а(т) = <7 +J.S'(x:-x')^M(x')cr (тя')0(х;х')|х,/и^£с',

(5.9.5) где функция Q (x ;x ') определена соотношением (5.7.6).

Среднее под интегралом в этом соотношении в предполо­ жении статистической независимости свойств включений от их положения в пространстве имеет вид

{м{х')а{т')^1{х,х')\х,т^ = (М(т)<г (jriffi!m{ x - х' ) ,

(5.9.6)

M{m) = j m 2n°M(m) , (5.9.7)

где тензор M(m) определен соотношением (5.9.3), (5.9.4) в случае включений, имеющих форму таких сфероидов, а функ­

ция ^(ДГ) имеет вид (5.7.11) и обладает свойствами (5.7.12), (5.7.13). В дальнейшем будем считать, что эта функция имеет симметрию эллипсоида, соосного включению ориентации ш.

Вычисляя интеграл в (5.9.5) с учетом (5.9.6), (5.2.11) и ука­ занных свойств функции x¥m(X), получим соотношение

D(m)=\S(xil-4>m(x)]±e, D(m)=C°А {т )С -С , (5.9.9)

где тензор А(т) определен в (5.7.17). Домножим обе части (5.9.8) на тензор М{ТП) слева и осредним результат по

249

Здесь n - вектор решетки, образованной центрами вклю­

чений, П (дс-и)- дельта-функция, сосредоточенная на плос­ кости с нормалью т, проходящей через узел решетки с век­ тором п, штрих над знаком суммы означает пропуск слагае­ мого п - 0, а функция J(X) определяется выражением

где функция J{X) имеет на плоскости Q(JC) вид (5.9.28). Прямым вычислением можно установить, что среднее значе­

ние функции ^ ( х ) равно единице:

<5W 2)

rr w

Таким образом, выражение для тензора D(m) (5.9.9) при­ нимает вид

D(m) = D° + S | S{x)[l- j { x - п)П(х - w)]«fr + J S{x)dx,

(5.9.33)

где vnячейка периодичности, соответствующая вектору ре­

шетки П, тензор D° определен в (5.9.17) в случае изотропной среды. Ряд в этом выражении абсолютно сходится.

После определения тензора D(m) приходим к следующим

выражениям для эффективного поля напряжений <7 и тензора В*:

где детерминированный тензор М (т) определен в (5.9.7), (5.9.3).

250

Рассмотрим пример изотропной среды, содержащей кру­ говые трещины одной ориентации, которые образуют решет­ ку с тремя ортогональными плоскостями симметрии. При вы­ числении тензора D(m) (5.9.33) воспользуемся выражением (П2.2.4) Приложения П2.2 для функции S(X). Можно пока­

зать, что эффективное поле <т (5.9.34) принимает в данном случае вид

где скалярные коэффициенты а и /3 определяются соотно­ шениями

г, (*, I,т) = J d<pjg,(dxk +d0 TJC O S (p, d2l+d0rjsm<p, d3m)j( iprjdri,

0 0

d]=n°a\ dx =rid\, Щ = n d l2, d l= n d \, w° = {dxd2d2)'\

Здесь dx,d2,d2 - параметры прямоугольной решетки, обра­ зованной центрами трещин одинакового радиуса а , функция

/( £ ) определена правой частью (5.9.28).