книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf
181
-^ г ? | п ^ [Ф 2( 1 - г , ^ ) + Ф , ( 1 + 5 д ) ] 1 ) / о ( а + с ч ^ ) . (4.3.6)
Рассмотрим случай стержня, для которого "геометричес кий" 8Хи "физический” 82 параметры связаны соотношением
8;'8х\п8х= о(1 ). (4.3.7)
В этом случае функция о^(<*) имеет вид (4.2.26). Подстав
ляя (4.2.26) в (4.2.28) и учитывая (4.3.4), (4.3.6), для невязки R получим выражекие
я = [ф. ( х ) + |
+ |
0 |
< |
‘5>°‘->) (4-3'8) |
|
Для компенсации главного члена невязки, который имеет |
|||||
порядок |
в окрестности концов стержня, к функции |
||||
необходимо добавить слагаемые а+т и <7~, зависящие от "быстрых" переменных
Т+= 0 - £ ) М > |
Т = (1+ £)/8х. |
|
(4.3.9) |
|
Уравнение для функций а+т и а~т получим, подставляя |
||||
сумму |
|
|
|
|
°т (£) = °т (£) + < |
( *+ ) + ( С ) , |
(4-ЗЛО) |
||
в (4.2.28), переходя к новой переменной |
г+(г_) |
и устремляя |
||
8Хк нулю. В результате получим |
|
|
||
« Х ( ^ ) - ( Ч О |
( ^ ) |
= -Ф о(^±) ^ |
)(± 1), |
(4-3.11) |
(M r<rJ(r) = j M r(T- |
|
(4.3.12) |
||
0 |
|
|
|
|
м х г)= \ (\ + -г) 3/2[ i - i S : ( i - i ^ |
- ) ] . |
|
||
Таким образом, (4.3.11) представляет собой уравнение Ви |
||||
нера-Хопфа [25]. Символ |
оператора М Топределяется |
|||
выражением |
|
|
|
|
182
МЦк) = аткКх(к) + - ^ к 2К0(к) , (4.3.13) 1 -* о
где ат> 1 определено в (4.2.28), K0,Kj - модифицированные
функции Бесселя. Поскольку функция М*Т(к) не обращается в
нуль на всей вещественной оси, то уравнение (4.3.11) в классе непрерывных ограниченных функций имеет единственное ре шение [25]. Результаты численного решения этого уравнения представлены на рис.4.1 кривыми 1-4, соответствующими зна
чениям параметра ат9 равного 1,01; 1,05; 1,20; 2,00. |
|
||||
а: |
Из |
этих |
графиков |
||
можно |
сделать |
следую |
|||
|
щие выводы. |
|
|
||
|
1) . Если |
ат-1 = 0(1), |
|||
|
то |
с г (г ± ), |
аналогично |
||
|
Фо ( г±) является функ |
||||
|
цией типа пограничного |
||||
|
слоя, локализованной у |
||||
|
края г= 0. |
|
|
||
|
2) |
|
. Если |
ат-> 1, то |
|
|
скорость убывания фун |
||||
|
кции сг (г±) при г±—ке |
||||
|
уменьшается. |
Измене |
|||
|
ние |
характера |
решения |
||
связано с |
вырождением символа М*г(к) |
в точке |
к = 0 при |
||
ат= 1.
Замечание. Качественно решение уравнения (4.3.11) ведет себя аналогично решению следующего уравнения ВинераХопфа:
(Lav)(т = av (т)-—\е ^ v ( - е \ (4.3.14) 2 о
|
|
|
|
|
|
|
183 |
Здесь La- оператор Винера-Хопфа с символом |
|
||||||
£ « (* )= а - г Л т - |
|
|
|
|
|
(4.3.15) |
|
|
1 + к |
|
|
|
|
|
|
При а> 1 решение уравнения (4.3.14) имеет вид |
|||||||
у\с/ |
г ----------------- |
-|САР |
|
_ |
м |
г |
(4.3.16) |
v( 7Л = |
------------------------------------------P Y H |
[ |
J |
||||
|
2| ■yja(a-l) + а |
|
|
ь |
|
||
и свойства 1), 2) здесь очевидны.
Пусть теперь г - быстрая переменная, аналогичная (4.3.9). Переходя в (4.3.16) к "медленной" переменной £ = £ , т, полу
чим |
|
|
|
|
|
Л |
|
\-*- <5,. (4.3.17) |
|
|
2 ^ j a ( a - l ) +а] Р[ у } |
> У = |
|
|
|
|
а- 1 |
|
|
Отсюда видно, что если у = 0(1) |
( V « - l = 0(82)), то функ |
|||
ция |
v(£) не является локализованной |
в окрестности |
края |
|
£ = 0 |
при любых 8Х. Если же у = о(1), то есть у —» О |
при |
||
8t —> О, то v(£) - функция типа пограничного слоя, которая
локализуется в окрестности края £ = 0 при 8} —>0 . Возвратимся к уравнению (4.3.11). Численный анализ ре
шения этого уравнения позволяет утверждать, что при
8~28] In 8г= о(1) функции сг* (^Д) и crm( ^ ) , компенсирую
щие главный член невязки R в уравнении (4.2.28), являются функциями типа пограничного слоя, локализованными в ок
рестности концов стержня при £ = ± 1 . Оставшаяся часть не
вязки компенсируется слагаемыми порядка 8^ ^ в выраже
нии для <тт , которыми можно пренебречь по сравнению с главным членом, имеющим вид (4.3.10).
184
Рассмотрим теперь случай, когда S^S^\nSl = 0 (1 ). При
этом функция а ^ (£ ) удовлетворяет уравнению (4.2.27), в ко тором а(<^) = 1
= |
(4.3.18) |
При подстановке общего решения этого уравнения в ле вую часть (4.2.28) и учете (4.3.4) - (4.3.6) оказывается, что вы ражение для невязки R, по-прежнему, имеет вид (4.3.8). Сле довательно, главный член невязки будет минимален, если
функция о ^ (£ ), являясь решением уравнения (4.3.18), удов летворяет условиям
|
^ Ч - 1 ) = ^ )0 ) = 0 . |
(4.3.19) |
|||
Эти условия позволяют найти значения постоянных в об |
|||||
щем решении уравнения (4.3.18). |
|
|
|||
Для |
функции |
|
удовлетворяющей |
(4.3.18), |
(4.3.19), |
выражение для невязки R в (4.2.28) принимает вид |
|
||||
R = |
|
- |
ч ' ( х ) V - ' 1*1)], |
+ ■° ( % |
- w ? ) . |
Ч'(<) = Ф,(0- |
аг„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4.3.20)
где *Р(-^) - функции типа пограничного слоя. Для компенса
ции главного члена невязки R вида (4.3.20) в уравнении
(4.2.28) |
к функции |
а^Ч1?) следует |
добавить слагаемые |
|
<W m ~(0-£)/<?i) и |
£,о£)+((1+ £)/<?,)• |
Функции |
а^)+(г+), |
|
( О |
удовлетворяют уравнению, аналогичному |
(4.3.11), |
||
правую часть в котором следует заменить на 'P(r+)Z)^a^)(1),
-Ч Ч г _ и > ,о « (-1 ) соответственно. Слагаемыми S]о^)+ и
|
185 |
можно пренебречь по сравнению с |
всюду, за |
исключением 8Х-окрестностей концов стержня, так как функ
ция ° S ? « ) исчезает при |
» ±1 в силу (4.3.19). |
Заметим, что при q » \ |
{S^S] In = о(1)) решение урав |
нения (4.3.18) мало отличается от (4.2.26). Исключения сос тавляют окрестности концов стержня - области экспоненци ального пограничного слоя. Следовательно, уравнение (4.3.18) с условиями (4.3.19) позволяет правильно определить медлен
но изменяющуюся часть поля о(<%) внутри стержня при всех
соотношениях между малыми параметрами Sx и 8г. Однако быстро изменяющиеся функции, входящие в главный член
асимптотики о ( £) при q » 1 являются функциями степенно го типа, отличающимися от экспоненциальных функций, воз никающих при решении (4.3.18), (4.3.19). Поэтому решение
указанного уравнения в окрестности концов стержня при |
1 |
отражает поведение главного члена о(£) лишь качественно. Точность аппроксимации решения уравнения (4.2.30) фун
кцией удовлетворяющей (4.3.18), (4.3.19), рассмотрим на следующем примере. Найдем решение модельного уравне ния, аналогичного (4.2.30):
ama - M 1a = -jS fln 8 1, ат= \ -\ q2S] 1п£,, (4.3.21)
где оператор Мх определен соотношениями (4.2.12), (4.2.13)
при £,(£) = <?,.
Изложенная выше схема построения главного члена раз
ложения решения уравнения (4.3.21) в ряд по |
8Хприводйг к |
уравнению |
|
- ^ Г ^ о)(£)-<72<г(о)(£) = - ! , |
(4.3.22) |
с однородными граничными условиями (4.3.19). Решение это го уравнения имеет вид
186
(4.3.23)
Рис. 4.2
Сравним эту функцию с результатами численного реше ния уравнения (4.3.21), представленными на рис.4.2 (£, =0,1) и рис.4.3 (£, =0,01) сплошными кривыми, штриховая кривая
- функция с/о)(£) вида (4.3.23). Кривым 1-4 соответствуют значения параметра q = 0,4; 1,2; 2; 10. Из этих графиков вид
но, что с уменьшением отличие с/о)(£) от <т(£), как и сле довало ожидать, существенно только в окрестности концов стержня.
Замечание. Для оценки близости решения уравнения (4.3.18), (4.3.19) к решению исходного уравнения (4.2.1) следу ет рассмотреть выражение для невязки R с правой частью
(4.2.1) при подстановке в его левую часть функции с/о)(^), полученной из решения (4.3.18) при условии (4.3.19). Можно показать, что указанная невязка представляется в форме
Л = е ( ^ { )о--(Й , (4.3.24)
где Q(t) - аналитическая функция, разложение которой начи нается с членов, линейных по /, c /o)(<ff) - главный член рас
187
сматриваемого асимптотического разложения решения урав нения (4.2.4).
Слагаемые, компенсирующие эту часть невязки в выраже
нии для сг(у), имеют порядок 5,с/о)(^) всюду, за исключени ем окрестностей концов стержня - областей степенного пог раничного слоя.
В [113] проводилось сравнение функции а*о)(£) >удовлет воряющей (4.3.18), (4.3.19), с точным решением задачи о рас тяжении упругой среды, армированной жестким стержнем. Это решение было получено с помощью метода конечных
элементов. Оказалось, что отклонение с/о)(<£) от сг(у) сущест венно только в окрестности концов стержня, что соответству ет полученным выше оценкам.
2°. Рассмотрим теперь стержень эллипсоидальной формы. В этом случае функция ^ (^ ) имеет вид
<?i(£) = < W £ ), 8x= a ll, «(£ ) = |
(4.3.25) |
где а и / - полуоси эллипсоида. Тем же путем, что и в Г, можно показать, что для операторов Мх и М2 в (4.2.12) спра ведливы оценки
Ш,<т)(й = l n ^ [ ( l - f J)a (| )]+ 0 (^ ),
Ш ) = < 5 ? ( 4 . 3 . 2 6 )
где о(4) - ограниченная гладкая функция порядка единицы. Таким образом, в отличие от случая цилиндрического стержня
(см. (4.3.1), |
(4.3.6)), |
главные члены разложения (М,<7)(£) и |
( М 2сг)(< £ ) в |
ряд по |
не содержат функций типа погранично |
го слоя. Из (4.3.26) следует, что для ограниченной функции о^°)(^), удовлетворяющей уравнению (4.2.27) при а(ф =у/\-%
£ ] [ ( l - ^ )o £ >( f ) ] - ? v ; > ( f ) = |
, (4.3.27) |
188 |
|
невязка R в (4.2.28) имеет оценку |
|
R = 0 ( s y : )). |
(4.3.28) |
Поскольку каждое из двух линейно-независимых решений |
|
однородного уравнения (4.3.27) |
имеет в окрестности точки |
£ = ±1 особенность типа (1 - £ ) -1 |
или (1+ £)"', то условие ог |
раниченности о^ (£ ) достаточно для определения постоян ных в общем решении уравнения (4.3.27). Слагаемые в выра жении для о(£ ), компенсирующие невязку (4.3.28) в (4.2.28),
имеют порядок (In <5,)"'о^) при всех £ е[-1 ,1] и ими можно
пренебречь по сравнению с а^ . |
|
Если ет- постоянная на оси стержня Г |
функция, то ог |
раниченное решение уравнения (4.3.27) имеет вид |
|
о « = - |
(4.3.29) |
2 + q |
|
и также является постоянным. Заметим, что в случае посто янного внешнего поля исходное уравнение (4.2.1) для эллип соидальной области Vимеет известное точное решение. Мож но показать, что главный член асимптотики точного решения
при £ , —»() имеет вцд с^!татр » гДе скаляр |
определяется |
соотношением (4.3.29). |
|
3°. Рассмотрим включение, имеющее форму остроконеч |
|
ного веретена. В этом случае функция |
имеет вид |
S,(Q = SM 4). <*& = 1 -1 4 |
( « М ) |
Оценим результаты действия операторов Мх и М2 для включения такой формы на гладкую ограниченную функцию а(£) порядка единицы. Начнем с оператора Мх, который представим следующим образом
л/, = м~ + м ; , |
(4.3.31) |
189
(wr<TX5) = j A / r ( f , ? M f ) r f f .
( w ,v X f) = jK U > fW ? V r .
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
A/,*(W )= |
|
||
|
|
2 [ ( i - ? ) 2 + ^ ( i T r t ! ]M |
|
Пусть |
H+(%) |
- функция Хевисайда |
(H+(g)=l, £>0; |
#+(£)=0, |
£<0), |
H_(£)=H+(-g); o +(%) - гладкая функция, |
|
заданная на положительной полуоси R+ оси |
% и определен |
||
ная на отрицательной полуоси R при помощи процедуры аналитического продолжения. Аналогичную функцию, перво
начально заданную на R_ , обозначим через <7_(^).
Представляя функции (Mf<7±)(£ ) в форме, аналогичной (4.3.2), и вычисляя входящие туда интегралы, получим
(Л/10)(4Ы #)-И 1п^[(Н #<Х й ]+Ф о(|)(о--(#)-о;(#))-
- о,ф ,( j[ а ( а + ст.(^)+ <т_ ( й - в { <т, ( г) ] -
-^■ [<'-(Й 1п(1+1)+о;(Й Ц 1-Й ]+ о (4 ),
(4.3.32)
190
где функции Ф0,Ф ,,Ф 2 определены соотношениями (4.3.5). Если <т±(0) * 0, то сингулярное слагаемое, возникающее при
дифференцировании |^|, здесь необходимо отбросить. С той же оговоркой можно записать:
(Mo-Xf) = ^1п#,в|[(1-|^|)! 0(й ]+ |
(«.33) |
Рассмотрим теперь уравнение (4.2.27) для главного члена разложения решения (4.2.1) в ряд по £,,£2 в случае веретена. Перепишем это уравнение в форме (q = (1/2 )q2):
(4.3.34)
Здесь, так же, как и в (4.3.32), (4.3.33), следует отбросить сингулярное слагаемое, возникающее при дифференцирова
нии |£|, если 0^ ( 0) * 0.
Общее решение уравнения (4.3.34) имеет вид
= |
(4.3.35) |
A = - I (3± T/ 1+8« ) . |
ч >(>. |
где ат(£) - ограниченное частное решение (4.3.34), с,,с2 - произвольные постоянные.
Поскольку упругое поле в окрестности конической особой точки на границе среды и включений должно быть квадратич
но интегрируемо [71], то постоянную с2 в (4.3.35) при неин-
тегрируемой на отрезке [-1,1] функции (1-|£|)Л примем рав ной нулю.
Подставляя (4.3.35) при с2 = 0 в левую часть (4.2.28) и ис пользуя оценки (4.3.32), (4.3.38), получим следующую оценку
невязки в окрестности середины стержня (£ = 0):