книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

171

e?\Z,z) + jK({-?)C'e<->(?,z)d{’ = e-(z)- (4.1.7)

к

Здесь учтено, что S(X) и К (X)- однородные функции сте­ пени (-3)

Так как внешние поля a (z) , е (z) не зависят от коорди­

наты £, то в силу теоремы о полиномиальной консерватив­ ности (§ 2.3) решение уравнений (4.1.6), (4.1.7) внутри цилин­

дра V0также не зависит от £ и выражается через внешние по­ ля следующим образом:

Л° = lim — [К \к.,к2,бхкг)сШ, D° = С°А°С° -С°,(4.1.10) *1->°4я-^

где О, - поверхность единичной сферы в к - пространстве,

функция К*(£,,£2,&з)- Фурье-образ ядра К (х) (1.1.30), систе­

ма кх,к2,кг сопряженная У1,У2,У3- В случае изотропной среды

тензор А° имеет вид

где Р'(т)~ элементы тензорного базиса (2.4.7), т- орт оси _у3.

172

Отметим важное для дальнейшего свойства тензора А°.

Введем ортогональные проекторы ®'(т) и П '(т )

®'(т) = Р'(т) + 2Р5(т), ГГ(т) = Ра(т), 0 ' + П ’ = Е\

Линейное пространство, натянутое на базис Р'{т), при помощи этих проекторов разбивается на два ортогональных подпространства (0 ' и П '). Используя алгебру тензоров Р'

(Приложение П1.1) можно убедиться, что тензор А вида

А°(т)(А°(т))-' = (А°(т)ухА°(т) = ®'(т).

Рассмотрим теперь плотности о(г) и e(z) потенциалов во внешних предельных решениях (4.1.3), (4.1.4). Если модули упругости включений конечны, то в силу (4.1.9) конечными являются и решения внутренней предельной задачи. Отсюда и

из (4.1.5) следует, что при 8Х—>0 плотности a(z) и e(z) исче­ зают и внешнее предельное решение (4.1.3), (4.1.4) совпадает с невозмущенным внешним полем <f(x) и £°(х).

Рассмотрим теперь случай, когда вместе с 8, к нулю стре­

мится податливость включения (тензор В = С~'). При этом в силу (4.1.9) имеют место соотношения

Так как тензор А° (4.1.11) является вырожденным (принадле­ жит 0 '- подпространству), то при С -1 = В —>0 часть компо­ нент тензоров В1ст+ и С'е+ может стремиться к бесконечнос­ ти. Таким образом, в пределе при 8Х,В-Ь 0 плотности В'Ъ и С1е потенциалов в (4.1.3), (4.1.4) могут оказаться конечными.

173

Перейдем к подробному анализу случая жесткого включе­ ния и далее будем считать, что тензор упругой податливости включения В представляется в виде

где 52« 1 - малый безразмерный параметр.

§ 4.2. Формальная схема построения главного члена асимптотики поля напряжений внутри жесткого стержня

Рассмотрим сначала стержень с прямолинейной осью, когда область Vимеет форму тела вращения. Поместим нача­

ло декартовой системы координат _у,,у2,_у3 в середину стерж­

ня, направив ось у3 вдоль Г . Переходя к напряжениям по за­ кону Гука, запишем уравнение (2.1.23) для тензора е (х) внут­ ри стержня в виде

С~'а(у) + $K (y-y')C 'C -lo (y 'W = е (у ). (4.2.1)

V

Как отмечалось выше, предельное при 8Х—>0 решение этого уравнения является постоянным в поперечных сечениях стержня. Поэтому можно ожидать, что главные члены асимп­

тотики (4.2.1) по 8и8г будут тоже постоянными в поперечных

сечениях области V, по крайней мере, вдали от ее концов. Это обстоятельство позволяет упростить уравнение (4.2.1)

следующим образом. Подставим в его левую часть о(у)=о(у3) и рассмотрим полученное соотношение в точках на оси стер­

жня. Предварительно заметим, что для каждой точки у е V справедливо единственное представление

где у = У(У1,У2) ~ вектор в плоскости поперечного сечения

стержня П (у3).

Введ01 относительные координаты (21 - длина стержня)

174

$ = П = У/1, (4.2.3)

из (4.2.1) получим уравнение для функции &(£) в форме

1

0(0 В дальнейшем удобно считать компоненты тензоров С и

С° безразмерными величинами, причем

Для этого достаточно обе части (4.2.4) умножить на ха­ рактерное значение модуля упругости среды.

Выражение для ядра К (£, £') интегрального оператора в

уравнении (4.2.4) можно представить в виде (к=к (кх,к2,к3))

- Ь - ) т - rf]}dk,

(4.2.7)

где К*(£) - преобразование Фурье функции К(д:) (1.1.35). Меняя порядок вычисления интегралов в этом соотношении-

сперва по Q (£ '), а затем по кх,кг, получим

(4.2.8)_

Здесь функция К *{бх(£),кг) - символ оператора К - в случае изотропной среды представляется в виде следующего разложения в Р - базисе

(4.2.9)

к * ( < М з) = Е к ; ( £ , , * з) ^ ' ( » о >

176

Перейдем к описанию формальной процедуры построения главного члена разложения решения уравнения (4.2.4) в ряд

по малым параметрам SlyS2. Представим функцию £,(<£) в (4.2.8) - (4.2.12) в виде произведения

£ , ( « = <?,а ( й , < 5 ,« 1 , а ( # = 0 ( 1), (4.2.14)

где ос(^) - функция формы стержня. Разложим функции Бес­

селя в (4.2.11) в ряды по малому параметру 8Хи ограничимся первыми двумя членами этих рядов [131]:

K M ^ I ^ - ^ + ^ W + C H ) , (4.2.15)

к0(£,сфф = -In 5Х-1п(сфф + 0(1).

Врезультате из (4.2.9) - (4.2.11) получим следующее выра­ жение для символа ]£*(£,,£):

Ограничиваясь в выражении для символа К* оператора К первыми двумя членами разложения (4.2.16), получим, что уравнение (4.2.1) принимает вид

С М ? ) + А - С С М ?)- Й InS,)A‘ £ r l« !(?)<r(«]=*•(£)

177

Уравнение для главного члена а*о)(£) получим, подставляя (4.2.19) в (4.2.18) и сохраняя в полученном выражении члены старшего порядка по 8Х. В зависимости от соотношения меж­ ду малыми параметрами 8Хи 62 возможны следующие случаи.

Поскольку А°- невырожденный в подпространстве ©' тен­

зор с компонентами порядка единицы ((С °)-1), из этих соот­ ношений следуют оценки

<%(£)= оРС & п^+О С 1), o%(Z) = 0(S-2l). (4.2.25)

Выражение для осевой компоненты тензора </о)(£) следует из (4.2.21) и (4.2.22) и имеет вид

где Ет- модуль Юнга вдоль оси стержня.

178

2\ S'}S]lnSj= 0 (1 ), С°С 1=0(S]ln8l). В этом случае

уравнение для с/0)(£) в (4.2.19) совпадает с (4.2.18). Действуя

зора является решением следующего дифференциального уравнения

Таким образом, главный член разложения (4.2.19) поля на­ пряжений внутри стержня определяется неоднозначно, с точ­ ностью до двух постоянных, входящих в общее решение урав­ нения (4.2.27).

Оценим близость полученных формальных выражений для

с /о)(<£) к точному решению интегрального уравнения (4.2.4). Для этой цели подставим в его левую часть полученные функ­

ции а*о)(£) и исследуем невязку с правой частью (4.2.4). Если

с/о)(£) удовлетворяет оценке (4.2.25), то наиболее существен­ ной оказывается ГГ -составляющая невязки. Подставляя в ле­ вую часть (4.2.4) функцию с/о)(£) и действуя на результат опе­

где R(o^\ £) - искомая невязка, операторы Мх и М2 опреде­ лены соотношениями (4.2.12), (4.2.13).

+|м(^.1')[°(г)-о(^--о{<т(й(г-й4вМй(г-йгК,

(4.3.2)

л /*(£ ) = }м ( £ .Г Х 4 Г -0 * < * ? . * = 0,1,2, Dt = ± - -1

(4.3.3)

где ядро М, (£ ,£ ') определено формулой (4.2.12), в которой

следует положить £,(£ ') = 8У Вычисляя интегралы (4.3.3) и подставляя результаты в

■\ S\In <?,[ф,(1-- £.$) + ■Ф,(1.+ £,S,)]23{! ст(й + 0(<5J)

Здесь учтено, что интегральное слагаемое в (4.3.2) имеет порядок S*; Ф0,Ф ,,Ф 2 - функции типа пограничного слоя, локализованные в окрестности концов стержня £ = ±1:

Аналогично можно показать справедливость оценки